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Zur Entstehung der überthermischen kosmischen Radiofrequenzstrahlung Academic research paper on "Sociology"

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Zeitschrift für Naturforschung A
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Academic research paper on topic "Zur Entstehung der überthermischen kosmischen Radiofrequenzstrahlung"

BAND 10a

ZEITSCHRIFT FÜR NATURFORSCHUNG

HEFT 12

Zur Entstehung der überthermischen kosmischen Radiofrequenzstrahlung*

Von R. W. Lakenz

Aus dem Institut für theoretische Physik der Technischen Hochschule Hannover

(Z. Naturforschg. 10 a, 901—913 [1955] ; eingegangen am 2. September 1955)

Im Anschluß an frühere Untersuchungen über mit Ladungstrennung verbundene Strömungen großer Amplitude im kompressiblen Plasma wird ein einfacher, auf dem Zusammenwirken von Plasmaströmungen beruhender Medianismus für die Entstehung der „gestörten" Radiostrahlung ohne Zuhilfenahme statischer Magnetfelder angegeben, der die beobachteten Intensitäten ohne Schwierigkeiten zu erklären gestattet und das gelegentlich festgestellte Auftreten von Harmonischen der Plasmafrequenz verstehen läßt. Im Gegensatz zu bekannten Plasmawellentypen können die aus dem behandelten Medianismus resultierenden Wellen sich mit der Plasmafrequenz bei endlichem Brechungsindex ausbreiten.

In einer im folgenden mit A bezeichneten Arbeit1

war gezeigt worden, daß sich im Plasma zwei Formen adiabatisch reversibler, longitudinaler, schallwellenartiger Dichte- und Raumladungsschwankungen ausbilden können. Diese abkürzend als Ionen-und Elektronenschall bezeichneten Plasmawellen breiten sich mit einer oberhalb der Ionenschallgeschwindigkeit bzw. der Elektronenschallgeschwindigkeit liegenden Fortpflanzungsgeschwindigkeit aus. Hierbei sind den Elektronenplasmawellen Frequenzen oberhalb der Plasmafrequenz zugeordnet, während Ionenschallwellen ins Gewicht fallender Ladungstrennung durch die Umgebung der um einen Faktor Yme/mi (m — Teilchenmasse) unter der Elektronenplasmafrequenz liegenden Ionenplasma-frequenz gekennzeichnet sind. Zeichnen die radioastronomischen Beobachtungen einmal schon deutlich die Elektronenplasmafrequenz aus, so ergaben vor allem die Abschätzungen über die Größenordnung von Potentialdifferenzen und elektrischer Feldstärke in A, daß als Ursache der Entstehung der überthermischen kosmischen Radiostrahlung im wesentlichen nur makroskopisch hydrodynamische Elektronenbewegungen verantwortlich gemacht werden können. Für die Zwecke der vorliegenden Arbeit sei daher nur eine Elektronendichteschwankung zugelassen und damit die Betrachtung auf das Gebiet des „Elektronenschalls" beschränkt.

Dichteschwankungen und Ladungstrennung müssen wir unbedingt zur Erklärung der kosmischen Radioemission heranziehen, zunächst einmal aus dem einfachen Analogiegrund, daß bei terrestrischen Radiosendern stets Raumladungseffekte im Spiel

* Vorgetragen auf der Tagung der Nordwestdeutschen Physikalischen Gesellschaft in Aachen am 23. 4. 1955.

1 R. W. Larenz, Z. Naturforschg. 10a, 766 [1955].

sind wie entsprechend auch beim Empfang und bei der Registrierung elektromagnetischer Strahlung, zweitens aber, weil es viel leichter zu verstehen ist, daß longitudinale Ladungsträgerbewegungen bei der Entstehung der Strahlung primär beteilig sind, da die Strahlung ihre Energie aus Gasströmungen beziehen muß, für die letztlich longitudinal wirkende Ursachen (Stoßwellen) sehr viel plausibler sind als reine, in sich geschlossene, raumladungsfreie Wirbelbewegungen mit schwer zu übersehendem Antriebsagens. Hinzu kommt, daß raumladungsfreie elektromagnetische Plasmawellen sich mit der Plasmafrequenz bekanntlich nicht ausbreiten können, da der Brechungsindex bei dieser Frequenz verschwindet. Plasmawellen, bei denen neben einem Transversalanteil ein longitudinaler auftritt, erhält man zwar schon, wie aus der Ionosphärentheorie bekannt, wenn sich elektromagnetische Wellen in einem statischen Magnetfeld ausbreiten, dessen Feldrichtung nicht mit der Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit zusammenfällt. Aber auch in diesem Fall, wo der Longi-tudinalanteil im allgemeinen nur die Rolle eines durch das Magnetfeld bedingten sekundären Effekts spielt2, ergibt sich bei der Plasmafrequenz ein Verschwinden oder sogar Imaginärwerden des Brechungsindex (solange, wie im Normalfall, die Lar-morfrequenz nicht größer als die Plasmafrequenz ist). Dagegen gibt es einen sehr einfachen Strömungsmechanismus, der, wie wir in dieser Arbeit zeigen wollen, ohne Zuhilfenahme statischer Magnetfelder zu gekoppelten elektromagnetischen Transversal- und Longitudinalwellen führt, bei denen die Longitudinalbewegung den Primäreffekt darstellt

2 Zwischen Longitudinal- und Transversalanteil besteht eine Phasenverschiebung von rr/2; das Magnetfeld wirkt also reaktiv.

und denen ein Brechungsindex zugeordnet ist, der für die in Frage kommenden Frequenzen Ausbreitung zuläßt.

§ 1. Der Mechanismus

Reine longitudinale Dichte- und Raumladungswellen in einem im Mittel ruhenden oder in Wellenrichtung strömenden Plasma sind bekanntlich nicht von einem Magnetfeld begleitet, da sich Leitungsund Verschiebungsstrom kompensieren. Sie können daher auch nicht zu elektromagnetischer Ausstrahlung führen. Dies ändert sich jedoch, wenn eine Raumladungswelle, die sich z. B. in der x-Richtung (s. Abb. 1) ausbreiten möge, überlagert wird durch eine allgemeine Plasmaströmung, deren Geschwindigkeit $>d mit der Ausbreitungsrichtung der Raumladungswelle einen endlichen Winkel $ einschließt.

Abb. 1. Zur Veranschaulichung des Mechanismus.

Diese als „Driftbewegung" bezeichnete Plasmaströmung braucht nicht von Dichteschwankungen begleitet zu sein und sie soll das Plasma als Ganzes, also Ionen und Elektronen in gleicher Weise erfassen. Die aufeinanderfolgenden positiven und negativen Raumladungen der Dichtewelle stellen für einen ortsfesten Beobachter einen Wechselstrom dar, der infolge der überlagerten Driftströmung nun eine zur Wellenfortpflanzungsrichtung transversale Komponente jz proportional | £>d | sin besitzt. Diese 7ransi>e/\sa/komponente des Plasmastroms ist natürlich mit einem ebenfalls transversalen Magnetfeld Hy verbunden, dessen Feldrichtung senkrecht zu der von Driftgeschwindigkeitsvektor und Wellengeschwindigkeitsvektor aufgespannten x—z-Ebene liegt. Da es sich um ein zeitlich sich änderndes magnetisches Feld handelt, wird ein elektrisches Wechselfeld Ez parallel zur Richtung des ursprünglich als Konvektionsstrom zustandegekommenen Transversalstromes induziert. Das induzierte Feld wirkt auf die Transversalströmung zurück und es ergibt sich so eine gekoppelte elektromagnetische Longitudinal- und Transversal-

welle. Eine weitere Kopplung zwischen den beiden Bewegungsrichtungen ergibt sich noch durch die Lorentz-Kraft. Da das magnetische Feld und die quellenfreie Komponente des elektrischen Feldes senkrecht zur Richtung der Dichtewellenfortpflanzung liegen, hat der aus beiden Feldvektoren gebildete Poyntingsche Vektor des Strahlungsstromes eine Richtung parallel zur Dichtewellenausbreitung. Von dieser Vorstellung ausgehend hat man also eine Ausstrahlung analog derjenigen einer Langdrahtantenne, für die (bei gegenüber der Wellenlänge hinreichend großer geometrischer Länge) Strahlungsausbreitung und Laufrichtung der Raumladungswellen zusammenfallen.

In den folgenden Paragraphen werden wir diese Vorstellung quantitativ behandeln, wobei wir bei dem einfachen Bild ebener, seitlich nicht begrenzter Dichtewellen bleiben, um die mathematischen Schwierigkeiten nicht größer als nötig werden zu lassen. Allgemein wird man immer ein elektromagnetisches Strahlungsfeld in ionisierten Gasen erhalten, wenn Raumladungsschwankungen mit beliebigen Strömungen zusammenwirken; mit anderen Worten: bei Vorliegen kompressibler Turbulenz.

§ 2. Differentialgleichungen

Wir legen die gleichen Voraussetzungen zugrunde wie bei der Elektronenschallbehandlung in der Arbeit A, also ein Plasma mit einem der adiabatischen Zustandsgieichung gehorchenden Elektronengas von der Ruhetemperatur T0 und der mittleren Dichte N0, die gleich der unveränderlichen Ionendichte ist. Die Grundgleichungen, die wir benötigen, Eulersche Bewegungsgleichung, Kontinuitätsgleichung und Max-wellsche Gleichungen, lauten daher zunächst:

(ögrad) i>}= -e/v|©+[^]|-gradP

P=N0kT0(N/N0y>,

M + divWö = 0, dt

-^£ = rot 21,

(5= - — -grad 0 , c dt 6

9«2T dt2

4 ,~r e ■

und £>d = Driftgeschwindigkeit des Plasmas,

div ® = 4jie(N0-N). (6)

Wir berücksichtigen also entgegen der in der Plasmawellentheorie sonst üblichen Gepflogenheit die Lorentz-Kraft als Rückwirkung des Eigenmagnetfeldes der Plasmaströme. Ferner berücksichtigen wir den Einfluß des Elektronendrucks P, der, wie sich in A gezeigt hat, für die Begrenzung der Ladungstrennung maßgeblich ist. Nach der in § 1 entworfenen Vorstellung werden wir Lösungen der hydrodynamischen Plasmagleichungen aufsuchen, bei denen die Zustands- und Feldgrößen nur von einer Raumkoordinate x und der Zeit t abhängen. Um auf gewöhnliche Differentialgleichungen zu kommen, werden wir entsprechend dem Verfahren, das sich in A bewährt hat, quasistationäre Strömungen untersuchen, für die alle Größen nur Funktionen vom Argument x* = x — v0 t sind, so daß ein mit der Geschwindigkeit Vq in :r-Richtung mit der Strömung mitbewegter Beobachter ein zeitlich nicht veränderliches Strömungsbild wahrnimmt3. Bei Transformation obiger Gleichungen auf das Koordinatensystem des mitbewegten Beobachters, Komponentenzerlegung der Vektorgleichungen und Ersetzung von (S und 5p durch 21 und 0 gehen diese Gleichungen in die folgenden über, wenn wir Ableitungen nach x* durch einen Strich kennzeichnen und die Orientierung des Koordinatensystems wie in § 1 beibehalten, so daß die für den Vorgang wichtige Driftgeschwindigkeitskomponente | £>d | sin $ = v in die z-Richtung fällt.

vxvx'-c&+ {v + vz)Az' + ^l^)k' =0, (7)

2m \NJ

vxvz -vxAz = 0, (8)

(N VjrY = 0 oder gleich integriert vx/v0 = NjN , (9)

*" = af(N/N0-l). (11)

Dieses Differentialgleichungssystem, in dem die Geschwindigkeiten jetzt auf das mitbewegte Koordinatensystem bezogen sind, kann, wie wir im Rest dieses Paragraphen zeigen wollen, auf eine einzige für das Problem charakteristische Differentialgleichung zurückgeführt werden.

Gl. (8) läßt sich sofort integrieren zu

A.-vB, (12)

wobei eine Integrationskonstante dadurch berücksichtigt ist, daß wir die Elektronengeschwindigkeitskomponente in z-Richtung von vornherein in den konstanten Driftanteil v und den Wellenanteil vz zerlegt haben. N, Az und nach Differentiation von (7) auch 0 lassen sich leicht aus den Gleichungen eliminieren. Wir führen nun die dimensionslosen Variablen

vx/v0 = w, vz/v = u, | = 2 ji x*¡1 = x* 0)/Vq

ein und bezeichnen durch einen Strich in Zukunft Ableitungen nach f. Führen wir noch mit n = c/v0 den Brechungsindex, mit

ae = y5 h Tj3 m

die Elektronenschallgeschwindigkeit ein und schließlich noch die Abkürzungen

ct)p/oj = a, v/c — e. und4 ajc — r],

so bleiben die gekoppelten Differentialgleichungen 2. Ordnung:

{w2 + 3w2 n2 w~*ls + £2 n2(l + u)2}" = —— 1 (~<2>"), (13)

2 a2 w

(n2-l) u"la2= (l+u)/w-l (^>AZ"). (14)

Auf Grund der Identität 2 y" = d(?/'2)/d?/ läßt sich (14) auch schreiben

u; = d(l + u)2/d{(n2-l) u2/a2 + 2(1+«)} (14a)

und (13) läßt sich unter Berücksichtigung von (14) bzw. (14 a) einmal integrieren zu

—^y {w2 + 3 r/2 n2 + f2 ti2(1 + u)2}'2 <P'2) (15)

— const — (w — 1)2 + 3 ra2w~~*Ji — + £2 n2f~^u2 + 2 (1 + u) - (1 + k)2| .

3 Die Geschwindigkeit v0 sei dabei auf das mit der Drift- tung strömende Medium bezogen; sie soll also diese für das geschwindigkeitskomponente | üd [ cos # einheitlich in z-Rich- Weitere unwichtige Komponente nicht enthalten.

4 n2 = Ke in Arbeit A.

Hierin kann man w nach (14) einsetzen und erhält dann eine Differentialgleichung dritter Ordnung für «(£), die sich jedoch mit (14 a) in eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für u (u) oder in den Variablen der rechten Seite von (14 a) überführen läßt. Schreiben wir

t=(l+u)2, <p = T^u'2 + 2(l+u), cr

so lautet (14a) w = dC/d(f, und (15) geht damit in die für das Problem charakteristische Differentialgleichung über

1 - tf n<

+ £2 rf 2"\ (<p- 2 VC)

) n- — 1

nach deren Lösung nur noch eine Quadratur durchzuführen ist, um «(s) zu erhalten5.

§ 3. Diskussion der Differentialgleichungen und spezieller Lösungen

Die beiden nun folgenden Paragraphen beschäftigen sich mit der Lösung der vorstehenden komplizierten Differentialgleichung (16), enthalten also vorwiegend mathematische Überlegungen. Ihr Ziel ist es, das elektrodynamische Feld des zugrundeliegenden Strömungsvorganges und damit den Strahlungsstrom sowie die Dispersionsformel aufzufinden. Eine exakte Integration der Gl. (16) ist allgemein nicht durchführbar. Aus einer qualitativen Diskussion über das Verhalten der Lösungskurven und die Lösungen einiger Spezialfälle ergibt sich ein zweckmäßiger Ansatz zur näherungsweisen Lösung der Gleichung, der sie auf eine schon in Arbeit A behandelte und gelöste Gleichung zurückzuführen erlaubt.

Die linke Seite von (16) ist, wie ihre Herleitung zeigt, proportional dem Quadrat von Es sind also nur solche Lösungen physikalisch sinnvoll, für die diese linke Seite > 0 ist. Ferner muß w = dcT/dcp stets > 0 sein, da es umgekehrt proportional der Dichte ist. Betrachten wir also den Verlauf der Lösungskurven in einer C-c/;-Ebene (Abb. 2), so ergibt sich folgendes:

Die Extremwerte von u, für die u' = 0 gilt, liegen auf Grund der Definition von C und (p auf der Parabel t = <£<2/4 oder 99 = 2 VC , die also von den Lösungskurven geschnitten werden muß. Da nun auf dieser Parabel die linke Seite von (16) verschwindet, so sind diese Schnittpunkte gleichzeitig die Endpunkte physikalisch sinnvoller Lösungen;

5 Eine äquivalente, aber nicht weniger komplizierte, für das Problem charakteristische Differentialgleichung 2. Ordnung läßt sich für die Variablen 0 und <P' ableiten.

und zwar verlaufen für n2^> 1 bzw. <C 1 diese Lösungskurven unter bzw. über der Parabel. Durch die Bedingung $'2 = 0 an den Endpunkten ist dann auch die Konstante auf der rechten Seite von (16) festgelegt. Da w = dC/drp ~ 1/7V wie schon festgestellt stets >0 sein muß, verlaufen sämtliche Lösungen zwischen den Schnittpunkten mit der genannten Parabel monoton und es kommen nur (f ^ 0 und u ^ — 1 zugeordnete Lösungen in Frage.

t ä/ X ^

o' -i-

Abb. 2. Das Aussehen der Lösungskurven von Diff.-Gl. (16).

Damit für eine bestimmte Lösung eine eindeutige Zuordnung zwischen u und w möglich ist, muß auch dC¡dq> eine monotone Funktion sein. Lösungen, die mit größerer Ladungstrennung bzw. Dichteschwankung verbunden sind, bei denen also w = dC/d(p stärker variiert, zeigen einen stärker gekrümmten Verlauf. Für n'2^> 1 sind nur Lösungen mit d2C/dy2 V2 möglich, w und u sind in Phase. Für

<1 existieren Lösungen mit es gibt gleich- und gegenphasige Bewegungen für

»v / &/ 7c

n<1 yS / Xvy^

/ */ /// 7 /7/

w und u; der Grenzfall d2£/d<"/?2 = 0, w = 1 wird für ri~ = 0 erreicht, was einer Welle mit verschwindender Dichteschwankung entspricht.

Wir sind in erster Linie an Lösungen interessiert, die mit nennenswerten Dichte- und Raumladungsschwankungen verknüpft sind, die wir bei unserem Mechanismus als primäre Ursache der Strahlungsentstehung bezeichnet haben. Der Betrag der wahren longitudinalen Elektronengeschwindigkeitsamplitude ist durch

vl = | vxm - »o | = -- (wm - 1 | = - 1

n n Nm

gegeben. Sollen die hydrodynamischen Geschwindigkeiten in vertretbaren Grenzen bleiben, mindestens aber kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c sein, dann muß, wenn gleichzeitig stärkere Dichteschwankungen möglich . sein sollen, der Brechungsindex n 1 sein. Ist umgekehrt n wesentlich kleiner als 1, so können wir vom physikalischen Gesichtspunkt aus keine großen Dichte- und damit ^-Schwankungen erwarten. Für diesen letzteren, uns hier weniger interessierenden Bereich würde es daher genügen, die Differentialgl. (13) und die mit l/w = l + d fast lineare Gl. (14) etwa mit einem zweigliedrigen Fourier-Ansatz näherungsweise zu lösen.

Für größere Dichte-Amplituden müssen wir die Ausgangsgleichungen in allgemeiner Form zu lösen versuchen. Die auch bei Fortlassung der Druckglieder (r) = 0) komplizierte, nicht rationale Differentialgl. (16) läßt keine exakte Lösungsangabe in allgemeiner Form zu. Wir müssen daher zu Näherungsverfahren greifen. Das monotone Verhalten der Lösungskurven von (16) und ihrer Steigung legt es nahe, diese durch Parabelbögen mit d2£/dcp2 = const anzunähern (etwa im Sinne des Ritzschen Verfahrens). Bevor wir dazu übergehen, wollen wir noch kurz spezielle Lösungen von (16) bzw. (13), (14) und (15) diskutieren, die ebenfalls eine Näherung der skizzierten Art für den allgemeinen Fall nahelegen.

I. Bei endlichem u" und a ist bei n2 = 1 Gl. (14) mit 1 +u = w exakt erfüllt. Gl. (13) bzw. (15) nehmen dann bis auf konstante Faktoren die gleiche Form an, wie die aus der Arbeit A bekannten „Elektronen-schall"-Gleichungen, deren Lösung durch Quadratur gewonnen werden und auch mit sehr guter Näherung durch einen einfachen analytischen Ausdruck angegeben werden kann (siehe auch § 4).

II. In den Lösungsbereichen, für die

u2 < I u ' < ! w - 1

gilt, kann (14) näherungsweise geschrieben werden

n2 — 1 " 1 i * "\

—V- u —---1 <I> ~ Az ),

und in (13) kann e2 n2(l+u)2" durch

ersetzt werden. Gl. (13) nimmt dann bis auf konstante Koeffizienten wiederum die aus A bekannte Form mit der einfachen Integrationsmöglichkeit an. Wenn man die Rechnung durchführt, zeigt sich, daß obige Bedingung für n2 > 1 zutrifft (praktisch n2 3, „langsame" elektromagnetische Wellen mit schwacher Rückwirkung) ; wir haben hier also eine asymptotische Lösung vor uns.

In beiden hier untersuchten Fällen für n2 = 1 und ri~ 1 ergibt sich die gleiche Lösungsform w(£) wie in A; diese Lösungsform wird daher die exakte Lösung auch für die übrigen Wertebereiche von n2 gut annähern. Wir erhalten diese Lösungsform stets, wenn wir (1 + u)2" = w2"lC mit C = const setzen. Im folgenden Paragraphen werden wir sehen, daß ein solcher Ansatz gerade dem Vorschlag äquivalent ist, die Lösungskurven von (16) durch Parabelbögen anzunähern.

In Arbeit A haben wir den für die Bestimmung der maximal möglichen Ladungstrennung wichtigen Grenzfall untersucht, daß in Gl. (15) in Abhängigkeit von w für

w = ws = {r)2 n2/(l-f f2 ra2-d(l + u)2/d (tv2))}*'*

links und rechts eine doppelte Nullstelle auftritt, was zur Ausbildung einer Dichtespitze mit unstetiger Ableitung führte. Dieser Fall kann hier niemals eintreten, wie man an der speziellen Lösung I für rc2 = l, 1 -\-u = w sofort erkennt, denn an der Spitze müßten wegen der unstetigen Ableitung von u magnetisches Feld und die z-Komponente der elektrischen Feldstärke unstetig werden, was unmöglich ist. Könnte im allgemeinen Fall (n- =f= 1, 1 w allein

eine Spitze haben, so müßte dort du/dw; = 0, d2^/dcp2 = oo sein, was zu Widersprüchen führt, wenn man damit in die Diff.-Gl. (16) eingeht, w kann sich dem Wert wg beliebig nähern, die Lorentz-Kraft sorgt aber dafür, daß er nicht angenommen wird.

§ 4. Allgemeine Näherungslösung

Mit dem durch die vorhergegangenen Untersuchungen nahegelegten Näherungsansatz

C = A + Bcp + Ccp2/4 (17)

wird nun die Integration der Differentialgl. (16) durchgeführt. Die Lösung w($) kann dabei unmittelbar aus der Arbeit A übernommen werden, so daß

die Rechnungen dieses Paragraphen in der Hauptsache die Bestimmung der Koeffizienten A, B und C unseres Ansatzes betreffen. Aus den Beziehungen zwischen den Koeffizienten ergibt sich zwanglos die Dispersionsformel (27). Aus der Lösung u(f) werden dann die Feldgrößen Ez und Hy beredinet und damit der Ausdruck (30) für den Strahlungsstrom Sjr gefunden.

Wir haben darin bereits die bei der ersten Integration von (13) auftretende Integrationskonstante durch die untere Grenze wx des Integrationsintervalls von w ausgedrückt. Diese untere Grenze, wie auch die äußerste obere Grenze w2^> \ bestimmen sich dadurch, daß der Nenner Ф') im Integral (20) verschwindet. Die untere Grenze w1 kann den angegebenen Wert wg, für den auch der Zähler Null wird, nicht unterschreiten. Wie in Arbeit A ausgeführt, handelt es sich dabei um eine (praktisch nur bei n—>l/r]^>l, d.h. v0-+ae wirksame) Grenze, die der Druckeinfluß der Ladungstrennung setzt. (Siehe auch Schluß von § 3.) Das Integral läßt sich, wie in A näher besprochen, mit sehr guter Näherung durch einen analytischen Ausdruck darstellen, wenn man Zähler und Nenner bis zu Gliedern zweiter Ordnung in w — 1 entwickelt, wodurch keine wesentliche weitere Beschränkung (mathematischer Natur) für die Amplituden von w eintritt.

Es ergibt sich

.{l + ^-^l+^-X^arcsin^ - v>,-lp- (w-l)2 (21)

in , e2 n2 5 о 2 10 2 2 / 1 • jl+ ■ — + -rfn2-—ifn2(w- l)j

mit W\

Für vernachlässigbaren Druckeinfluß (>/ n 0) ist (21) die strenge Lösung von (20).

Aus unserem Ansatz (17) folgt

w = d£/d(p = B + C (p/2 (18)

und daher als Beziehung zwischen s = (1 + u)2 und w

(1 + u)2 = A-B2/C + w2/C. (19)

Bei Differentiation nach £ resultiert der zweite in § 3 nahegelegte Ansatz, der also mit dem ersten gleichwertig ist.

Um nun angeben zu können, müssen noch

die Koeffizienten A, B, C des Ansatzes (17) bestimmt werden. Gl. (21) entnimmt man, daß im Rahmen der hier durchgeführten Näherung für die Grenzamplituden w1, w2 die Beziehung

1 — w1 = w2 — 1 oder w1 + w2 = 2

besteht. Andererseits gilt nach (18) für die Grenzwerte wli2 und <pli2 = 2(1 + u1>2) bei u =0

w1 + w2 = 2 B + C (2 + ux + u2)

und w2 — w1 — C(u2 — u1).

Schließlich muß der Ansatz (17) nach dem im § 3 Gesagten an den Grenzen der Bedingung £ = (p2/4 genügen, woraus folgt, daß

(1 -C) (2 + Ui + Ua) =2B

sein muß. Alle diese Beziehungen sind nur miteinander verträglich, wenn gilt

U1= -u2 = (w1 -1)/C = (1 -w2)/C,

I U1 I = I U2 I = »m= 1(^1 - 1)/C | (22)

und B=l-C. (23)

l/C gibt also das Verhältnis der Amplitude von u

zur w-Schwankung an, d. h. also das Verhältnis der

normierten Transversal- und Longitudinalgeschwin-

digkeitsamplitude.

Mit (22) und (23) folgt aus (19)

«m2 = l+i~ = |K-l)/C|2- (24)

Eine weitere Beziehung zwischen den Koeffizienten ergibt sich, wenn wir fordern, daß die Diff.-Gl. (16)

Mit diesem Ansatz hat man als Lösung von (13), wie in Arbeit A gezeigt,

• {»(] f f2 n2/C) -r? n2 w~sU) dw

± а £

/ (l + £2 n2/C) { (ttJj — l)2— (и; —l)2}—3 rj2 n2{%w1~sl'—wi~t,l*-%w~sl*+w~*l'}

mit wr>wg = {rj2 n2/( 1 + £2 n2/C) }3/8 < 1 .

außer an den Enden des Gültigkeitsbereiches noch in einem Zwischenpunkt streng erfüllt sei. Als eine solche mittlere Stelle wählen wir w = dt/d^ = 1, was der mittleren Dichte N = N0 entspricht, um die die Schwankungen erfolgen. Für w = \ ist

C = 2 + A-C=l+ K-l)2 (1 -C)/C2

und (p = 2

"(u> = 1) =

1 —re2 2 a2

Wenn wir bei Berechnung der Konstanten in (16) die mit gebrochenem Exponenten behafteten Druckglieder konsequenterweise wie bei der analytischen Darstellung des Integrals (20) bis zu Gliedern zweiter Ordnung in w—1 entwickeln, ergibt sich nach einiger Rechnung:

i+ /i+

w. — \

• (25)

Setzt man in (21) den zu £ = 0 gehörigen Wert w — oder w = iv2 zu £ = n ein, so entsteht die Beziehung

-, , £z TT -2 2

+ ~c--T n~

Gin. (25) und (26) bestimmen die Konstante C als Funktion von a, n und der Amplitude

| W1 - 1 | = | C Um | .

Die beiden Beziehungen stellen gleichzeitig die amplitudenabhängige Dispersionsformel dar. Man sieht, daß C — n2 für e2 n2/C - rf n2 < 1 ist. Für kleine Amplituden führen (25) und (26) zu

{1 + £2 n2/C — yf n2} • (C — l)/(n2 — 1) = 1 , (25a) a2 = 1 + £2 n2/C — rfrr, (26a)

und damit ergibt sich die Dispersionsformel

C=l + (rc2-l)/a2 = £2 n2/(a2-l+rfn2)

mit a = coe/co,

die man natürlich auch finden würde, wenn man die Ausgangsgleichungen für kleine Amplituden lineari-siert, denn unsere für beliebige Amplituden aufgestellte Näherung muß selbstverständlich in die hierfür gültige lineare Näherung übergehen. Neben der Lösung «;(£) nach (21) ist nun

u(|)=uMf))

tvt — 1

(1-C) +

w2 (f) - 1

-1. (28)

Die damit ermittelte allgemeine Näherungslösung für u enthält natürlich auch die im § 3 besprochenen speziellen Lösungen, wie man dies unschwer am Beispiel 1 erkennt. Gl. (25) verlangt hier C= 1, womit (28) 1 + u=w liefert.

Diese letztere Lösung ist dadurch ausgezeichnet, daß Dichte- und Transversalgeschwindigkeitsschwankungen so erfolgen, daß der resultierende transversale Plasmastrom gerade Null wird. Es handelt sich also um eine „Pseudo-vakuumwelle" mit | Hy(<;) [ = | Ez(£) | .

Zur Berechnung der elektromagnetischen Strahlung interessieren uns die Feldgrößen

j~! m 3Az m r

Ez=---~ = -ojvu

e dt e

Яm c a/iz e ax

Da mit Gl. (20) w (!) bekannt ist, ergibt sich

u (?) =-— = ± a'—--

2C(1 + B) C

1 + 1/1

1V1 — 1

mit w(i)^>wg nach Gl. (21).

-rf n2w;(|r)-!/»||/l +

wi~~ 1 \

(1-C) +

Darin kann auch das Druckglied w~BI' noch entwickelt werden, wie wir das bereits im Zähler getan haben. Für ^2n2<CV 10 sind die mit diesem Faktor behafteten Glieder praktisch bedeutungslos, sofern nicht zu große Elektronen Verdichtungen d=\fwt betrachtet werden, die in die Nähe der in (20) an-

gegebenen unteren Schranke von fallen. Abgesehen von dieser Begrenzung ist bei der Wahl der Amplituden zu beachten, daß neben | wt — 1 | auch um = \(w1 — l)lC\ stets kleiner als 1 sein müssen, (u — 1 nach § 3) ; weiter muß natürlich die wahre hydrodynamische Geschwindigkeitsamplitude der

Elektronen = (c/n)\w1 — 1 j kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c sein. Der Bereich der zweiten speziellen Lösung von § 3 (n2 3) ist dadurch gekennzeichnet, daß die Wurzel im Nenner von (29) mit wachsendem n sich immer weniger von 1 unterscheidet.

Das Maximum von u liegt in der Umgebung von iv = 1 (wenn sich w dem Wert wg nicht zu sehr nähert). Setzen wir also zur Berechnung des Strahlungsstromes

4 71 X 4 71

in (29) w= 1 und beachten (26) bzw. (26 a) sowie 1 + [ (w1 - l)/C]2 (1 - C) ~ 1 , so ergibt sich hierfür etwa der Betrag

w1 — 1 \2

2 we2 C2

= jy m tr vi?

°2 c C2a

i, (30)

wenn d die maximale Elektronenverdichtung bezeichnet. Ein Beispiel für Elektronendichteverteilung und elektrisches bzw. magnetisches Feld in der Welle ist in Abb. 3 wiedergegeben.

worin F bei exakter Gleichungserfüllung Null sein sollte, und tragen darin unsere im wesentlichen auf der Integration von (13) aufbauenden Näherungsausdrücke ein, so ergibt sich F als Funktion von w in Form eines länglichen Ausdrucks, auf dessen Anschreiben wir hier verzichten. Die Größe von F im Vergleich zu den auf der linken Seite stehenden Termen ist dann ein Maß für den Grad der Genauigkeit unserer Lösung. Wir haben diese Prüfung durchgeführt im Gebiet größter Abweichung von den speziellen Lösungen für n2 = 1 und n2 1, was in der Gegend von n2=2 zu erwarten ist. Wir haben dabei eine der Amplitude | t^j — 1 j = 0,6 (Verdichtung d=2,5 entsprechend Abb.3) hier zugeordnete hydrodynamische Geschwindigkeit von 0,6 c/ \/2 zugrundegelegt und den Druckeinfluß vernachlässigt (rj2n2=(ae/vo)2 1 für Elektronentemperaturen unter 108 0 K). Es ergab sich bei dieser extremen Geschwindigkeitsamplitude F dem Betrage nach im Mittel kleiner als 5°/o der Summe der Glieder eines Vorzeichens der linken Seite von (14 b) und ferner war die Gleichung an zwei günstig gelegenen Stellen exakt erfüllt etwa derart, als ob die Koeffizienten A, B, C des Ansatzes (17) durch eine Fehlerquadratmethode bestimmt worden wären.

Der Ansatz (17) stellt wegen der Bedeutung von qp eine Differentialgleichung erster Ordnung für u (£) dar, die durch elliptische Integrale gelöst werden kann. Die daraus resultierenden Funktionen erweisen sich aber gegenüber unseren mehr im Anschluß an Gl. (13) abgeleiteten Lösungen jedenfalls im hier hauptsächlich interessierenden Gebiet nennenswerter Ladungstrennung als schlechtere Näherung.

Abb. 3. Elektronendichte und elektromagnetische Feldgrößen als Funktion des Ortes in der Welle.

Der Poyntingsche Vektor besitzt neben dem Strahlungsstrom Sx noch eine Komponente in z-Richtung, die proportional zu Hy ist. Diese Komponente hat jedoch im Fall seitlich unbegrenzter ebener Wellen physikalisch keine Bedeutung, da sie zwar zeitabhängig, aber divergenzfrei ist (3/3z = 0); sie entspricht dem Feld des Poyntingschen Vektors, das einer Anordnung aus ruhenden Ladungen und Permanentmagneten zugeordnet ist. Elektromagnetische Energie kann nur durch ein divergenzbehaftetes [6, £)] -Feld übertragen werden.

Die erforderliche Nachprüfung, welches Vertrauen man in unsere mit den Gin. (20) bis (29) gewonnene Näherungslösung setzen kann, erfolgt zweckmäßig an Hand der Gl. (14). Schreiben wir

§ 5. Die Dispersionsformel

Nachdem nun mit der Lösung der Differentialgleichungen der vorwiegend mathematische Teil der Arbeit abgeschlossen ist, soll jetzt die Untersuchung der Ausbreitungsmöglichkeiten der bei unserem Strömungsproblem auftretenden elektromagnetischen Wellen folgen.

Gl. (27) läßt sich leicht nach n2 oder a2 auflösen und man erhält

„2 1 (1_£2 2)(1_a2) + fi8

2 rjl L

±|/{ (1 _ £2 + v2) (l _ a2j + £2 y _ 4 (!_ a2) 2

O (Dp2 -i Tl2 /1 9 , 9\ , •>

a~= e, =1-~(1-+ +£' <x>* 2

± - ] n2 ( 1 + £2 - rf) 2 - 4 £2 (n2 - 1) .

+ 1 = F

Die Eigenschaften der Dispersionsformel übersieht man an Hand der qualitativen Wiedergabe in Abb. 4, wo n2 über 0L2 = coe2/oj2 entsprechend der in der Ionosphärentheorie üblichen Darstellungsweise aufgetragen ist. Es fällt zunächst der schleifenartige Charakter ins Auge, der in ähnlicher Form bisher

rj~To*oj|

Vii ^ 1

1 % 1 g/

cx2 - CUeV0D2

Abb. 4. Die Dispersionskurve. Die Schraffierung deutet die Verlagerung bei endlicher Amplitude an. /it. nL = Brechungsindex reiner Transversal- bzw. Longitudinal-Wellen.

bei Plasmawellenuntersuchungen nicht in Erscheinung getreten ist. Diese Schleifenform ergibt sich als Folge der Kopplung zwischen transversaler und longitudinaler Wellenbewegung durch die Driftgeschwindigkeit. Im Grenzfall verschwindender Plasmadrift (s = v/c—> 0) resultieren die bekannten, voneinander unabhängigen Dispersionsformeln für gewöhnliche elektromagnetische Wellen

/ix2 = 1 — coe2/OJ

und reine „Elektronenschallwellen"

(siehe Arbeit A), die in der Abbildung mit eingezeichnet sind. Im Grenzfall verschwindenden Temperatur* und Druckeinflusses

rf = a2/c2 = 5 k TJS mc2-+ 0

schwenkt der „Schallwellenast" in die für T = 0 gezeichnete Lage6. Durch nähere Untersuchung der Gin. (25) und (26) findet man, daß sich der Kurvenzug bei endlicher Amplitude in Richtung des schraffierten Gebietes verlagert; d. h. wachsende Amplitude führt zu Frequenzsteigerung un(i zu

Erhöhung der Wellengeschwindigkeit bis auf das Gebiet anomaler Dispersion

dn/da>0 bei a = ioe/io ]> 1 ,

wo Geschwindigkeitsabnahme eintritt.

Die Driftgeschwindigkeit v und die Elektronenschallgeschwindigkeit ae werden im allgemeinen sehr

6 Siehe hierzu auch R. W. L a r e n z , Naturwiss. 40, 527 [1953].

klein sein gegen die Lichtgeschwindigkeit, so daß e = v/c sowie r\ = aejc und erst recht e2, if gegenüber 1 sehr kleine Zahlen sind. Dies führt dazu, daß der obere Zweig der Dispersionsformel im Gebiet a^l, eo ~ we außerordentlich steil verläuft, d. h. ein Wellenzug kann sich mit von der Plasmafrequenz kaum abweichender Frequenz bei in weiten Grenzen beliebiger Wellengeschwindigkeit fortpflanzen. Dieser Sachverhalt läßt auch die Interpretation zu, daß der Wert von e, d. h. die Driftgeschwindigkeit bzw. deren transversale Komponente v unbedenklich örtlichen Schwankungen unterliegen kann, wie es im allgemeinen in den realen Radiostrahlungsplasmen der Fall sein wird, ohne daß dadurch die Fortpflanzungsbedingungen für die Plasmafrequenz wesentlichen Änderungen ausgesetzt wären. Die Ausdehnung des steil verlaufenden Teiles bei a ~ 1 nimmt mit steigendem e/rj zu; d. h. je größer das Verhältnis von Drift- zu Elektronenschall-Geschwindigkeit ist, desto ungestörter kann sich die Plasmafrequenz ausbreiten.

Bei der Diskussion der Differentialgleichungen in § 3 haben wir bereits ausgeführt, daß für stärkere Dichteschwankungen, die wir als primäre Ursache der Radiostrahlung ansehen, der Brechungsindex nS) 1 sein muß. Dies trifft für den oberen (Schallwellen-) Ast der Dispersionsformel zu und wir werden ihn dementsprechend als bei der Strahlungserzeugung maßgeblichen Zweig mit dem Namen „Entstehungsast" belegen. Hingegen spielt der untere Zweig, der nahe dem Verlauf von n2 für gewöhnliche Transversalwellen liegt, die Rolle des „Ausbreitungsastes". Diese Unterscheidung wird deutlich, wenn wir das Amplitudenverhältnis der wahren Geschwindigkeitskomponenten vz und vx — v0 der Elektronen untersuchen, welches durch

»T _ vZm _ =_V »m _ V £ n

®L Vxm—Vo Voiwi — I) voc c

gegeben ist. Drücken wir darin C in erster Näherung nach (27) mit Hilfe der Dispersionsformel (31) als Funktion von n2 aus, dann zeigt das Amplitudenverhältnis

VT = C(n) = JL f + r n2 ( l +e2_rj2y — 4 e2 (n2 ZI)

t>L £ n 2 £l '

-n(l-s2-V2)] (32)

einen Verlauf, wie er qualitativ in Abb. 5 wiedergegeben ist.

Für den oberen Ast, für den n2^> 1 sein kann, erweist sich die Geschwindigkeitsamplitude der

Longitudinalbewegung und damit die kinetische Energie derselben, abgesehen von der unmittelbaren Umgebung von n = 0, als stets beträchtlich größer als Amplitude und Energie der transversalen Wellenbewegung, während die Dinge auf dem unteren Ast umgekehrt liegen. Ein solches Uberwiegen der longi-tudinalen Strömungsenergie auf dem Entstehungsast mußten wir vom energetischen Gesichtspunkt erwarten, wenn wir unsere Ansicht von der primären Bedeutung der Dichtewellen bei der Entstehung der Radiostrahlung bestätigt sehen wollten.

1? u 0 c

Abb. 5. Verhältnis von transversaler zu longitudinaler Geschwindigkeitsamplitude.

Geht die Erzeugung der Wellen mit etwa der Plasmafrequenz auf dem steil verlaufenden Teil des Entstehungsastes vor sich, so müssen sie später längs des Ausbreitungsastes verlaufen, um als reine elektromagnetische Transversalwellen in den Weltenraum hinauszulaufen. Der untere Ast ist dabei also so zu verstehen, daß entsprechend der in der Ionosphärentheorie7 üblichen Interpretation der Dispersionsformeln des Plasmas a = coe/co sich bei fester Frequenz eo (am Entstehungsort ~ coe entsprechend der dort herrschenden Dichte N0) dadurch ändert, daß die Wellen ein Gebiet abnehmender Dichte ~ coe2 durchlaufen, wobei der Brechungsindex langsam gegen Eins geht. Um als gewöhnliche elektromagnetische Wellen in Erscheinung zu treten, müssen die Wellen also ihre longitudinalen Anteile „abstreifen", was offenbar in der Umgebung von n — 0

7 Siehe etwa K. R a w e r , Die Ionosphäre, Groningen 1953, oder L. Bergmann u. H. Lassen, Lehrbuch der drahtlosen Nachrichtentechnik, Bd. II. Berlin 1940.

8 Das Umspringen d s Amplitudenverhältnisses von +1 nach —1 bei n = 0, a=l geht bei Vorhandensein einer

geschieht. Eine solche stetige Änderung des Verhältnisses von Transversal- zu Longitudinalanteil ist aus der Wellentheorie des Plasmas im Magnetfeld (Erdfeld) wohlbekannt7. Kritisch ist dabei stets die Umgebung von 0, die für genauere Untersuchungen die Behandlung der Ausbreitung im inhomogenen Medium wegen der veränderlichen Dichte N0 erfordert, da n->0 ja bedeutet, daß die Wellenlänge sehr groß wird, so daß sich schließlich merkliche Dichteänderungen innerhalb einer Wellenlänge ergeben8.

In Abhängigkeit von a nimmt das Verhältnis von transversaler zu longitudinaler Geschwindigkeitsamplitude längs des oberen Astes außerordentlich schnell ab, wenn a von — 1 nach 0 geht. Dies liegt daran, daß wegen des schon erwähnten steilen Verlaufs der Dispersionsformel bei a ~ 1 einer kleinen Umgebung von a = 1 ein großer Wertebereich von n zugeordnet ist. Bei wesentlicher Entfernung von a = 1 wird mit rj n—> 1 außerdem die in Arbeit A besprochene Amplitudenbegrenzung wirksam. Beide Sachverhalte begünstigen daher ein gegenüber höheren Frequenzen stark bevorzugtes Auftreten der Plasmafrequenz.

Aus dem steilen Verlauf der Dispersionskurve dürfen nicht ohne weiteres irgendwelche Schlüsse über die Gruppengeschwindigkeit von "Wellenpaketen gezogen werden, da diesem Begriff, wie schon in A bemerkt, zumindest in der Form f0—dr0/d/ in einer nichtlinearen Theorie keinerlei Bedeutung zukommt.

§ 6. Der Strahlungsstrom

Wie man der letzten Schreibweise des Ausdrucks (30) für den Strahlungsstrom entnimmt, ist Sx proportional dem Quadrat des Produktes aus Drift-und Dichteströmungsgeschwindigkeit, wobei der Proportionalitätsfaktor ti3/C2 er allerdings selbst noch von v und vl abhängt. Seien nun v und vl irgendwelche fest vorgegebenen Geschwindigkeiten, so hat Sjr mit der Funktion ns/C2 a2 ein Maximum bei einem zum „Entstehungsast" gehörigen Argument

n ~ 2 e/l/3 ,

wie man mit Hilfe von (27), (31) und (32) leicht findet, wenn man berücksichtigt, daß s2 und )f geDämpfung infolge endlicher Leitfähigkeit des Plasmas in einen stetigen Gang der Phasenlage des Amplitudenverhältnisses über, wobei gleichzeitig der Realteil des nunmehr komplexen Brechungsindex n nicht mehr auf Null absinkt.

gen 1 sehr kleine Zahlen sind. An dieser wegen £ = v/c 1 sehr nahe bei n = 0 gelegenen Stelle ist die kinetische Energie der Longitudinalbewegung noch um einen Faktor (en/C)2 — 3 größer als die der transversalen Wellenbewegung, und die Funktion ti3/C2 a2 hat hier den Wert ~ 2/3 j/3 £ . Bei Vorgabe der Geschwindigkeiten vl und v existiert also eine leicht angebbare obere Grenze für den möglichen Strahlungsstrom.

Von den Longitudinalgeschwindigkeiten v^ können wir annehmen, daß sie von gleicher Größenordnung wie die Driftgeschwindigkeiten v sind. Bei einer Reihe von intensiven kosmischen Radiostrahlungswellen und bei solaren Strahlungsausbrüchen hat man die Existenz von Strömungsgeschwindigkeiten von der Größenordnung 1000 km/sec festgestellt9, 10. Das sind Werte von der Größenordnung der Elektronenschallgeschwindigkeit

ae = ]/5 k Tj3 m = >] c

bei den für die strahlenden Objekte in Frage kommenden Elektronentemperaturen (1000 km/sec entspricht 40 000° K). Obige Beobachtung deckt sich also mit dem in Arbeit A gefundenen Ergebnis, daß mit wesentlicher Ladungstrennung zu rechnen ist, wenn Strömungsgeschwindigkeiten auftreten, die mit der Schallgeschwindigkeit vergleichbar sind, was dann nach dem Mechanismus der vorliegenden Arbeit zu Radiostrahlung führen muß. Wir werden also für Abschätzungszwecke fL = v = ec = a0 = ?]c setzen.

Eine Prüfung, welche Intensitäten unser Mechanismus zu liefern imstande ist, werden wir nun nicht bei dem oben erwähnten Maximum des Strahlungsstromes vornehmen, da der zugehörige Wert des Brechungsindex so nahe bei Null liegt, daß er bei vorhandener Dämpfung möglicherweise gar nicht erreicht werden kann. Vielmehr wählen wir zu dem eben vorgenommenen Ansatz £ = t] den nach der Dispersionsformel zu genau der Plasmafrequenz (a = 1) gehörigen Wert n = e/r]=l=C (Pseudo-vakuumwelle, s. § 4). Damit erhält man für die Größenordnung des zu erwartenden Strahlungsstromes nach (30) am Entstehungsort die einfachen Ausdrücke

Sx-N™ vi ^ — (kT0)2 . (33)

2 c 18 m c

9 Siehe etwa zusammenfassende Darstellung von H.

Siedentopf, Z. angew. Phys. 6, 376 [1954] oder F.

Hoyle10.

Einsetzen von v= 1000 km/sec führt bei Ar0 = 108 (innere Sonnenkorona, oje = 2 n-100 MHz) zu Sx= 10"5 W/cm2 sec, was etwa dem Strahlungsstrom eines 10 kW-Senders in 100 m Abstand entspricht.

Die Radioastronomie gibt die Intensitäten vielfach durch Äquivalenttemperaturen Taeq an, die unter der Annahme berechnet werden, die strahlenden Objekte verhielten sich innerhalb des beobachteten Frequenzintervalls Av wie rein thermische schwarze Strahler nach der im Radiofrequenzgebiet anwendbaren Rayleigh-Jeansschen Strahlungsformel für polarisierte isotrope Emission

l=v\kT^Av. (34)

Die die Flächeneinheit senkrecht durchsetzende Komponente n I des gesamten die Fläche in der Zeiteinheit passierenden Strahlungsflusses ist nun mit unserem Strahlungsstrom zu vergleichen, wobei wir für Av die üblichen Empfängerbandbreiten Ibis 20 MHz) und für 2 n v die Plasmafrequenz

coe = ]/4.t e2 N0/m

einzusetzen haben. Bis auf unwesentliche Zahlenfaktoren ergibt sich daraus die Beziehung

oder zahlenmäßig mit zlv = 20MHz

106 T02 = raeq , (35 a)

wobei das Gleichheitszeichen in (35) selbstverständlich nur im Sinne eines ganz groben Größenordnungsvergleichs zu verstehen ist.

Die beobachteten Äquivalenttemperaturen reichen bis zu 1015 J K und mehr (solare Strahlungsausbrüche). Wie man an (35 a) sieht, macht die Erklärung solcher ^aeq-Werte und der damit verbundenen überthermischen Radiostrahlungsintensitäten mit Hilfe unseres Mechanismus keinerlei Schwierigkeiten und es braucht dabei nicht zu sehr hohen, wenig plausiblen Elektronentemperaturen gegriffen zu werden, wie sie in der Literatur teilweise als real angesehen werden11. Wir haben dabei zu Absdiätzungen nach der (35) zugrunde liegenden Art noch genügend Reserven und Spielraum zur Verfügung, um alle möglichen Effekte in Rechnung zu stellen, die zu kleineren oder größeren Strahlungsströmen führen könnten, wie v\ä , v ae, n SS 1, co^> coe,

10 F. Hoyle, Nature, Lond. 172, 296 [1953].

11 Zum Beispiel: M. Ryle, Proc. Phys. Soc., Lond. (A) 62, 491 [1949] oder F. Hoyle, I.e.10.

ferner Absorption oder die Tatsache, daß unsere Abschätzung von der quasistationären Betrachtung des monochromatisch eingeschwungenen Plasmas mit langen Wellenzügen ausgeht. Zum Beispiel ergäbe sich mit n <C 1 eine Steigerung des Strahlungsstromes, die in der Gegend des zu Eingang des Paragraphen erwähnten Maximums von n3/C2 a2 einen Faktor von der Größenordnung c/2 v ausmachen würde.

§ 7. Ergänzende Bemerkungen

Bei der Strahlungsstrom-Abschätzung im vorhergehenden Paragraphen haben wir Brechungsindexwerte der Umgebung von 1 zugrunde gelegt. Wie wir schon ausgeführt haben (§3), können dann die Dichteschwankungen nur klein sein, wenn man nicht mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbare Elektronengeschwindigkeiten

zulassen will. Da sich unter diesen Bedingungen bereits völlig ausreichende Strahlungsströme ergaben, um die beobachteten überthermischen Intensitäten zu erklären, erscheint es aussichtsvoll, zur Beschreibung von Entstehung und Verhalten allgemeinerer elektromagnetischer Strahlungsfelder in kosmischen Plasmen die magneto-hydrodynamischen Gleichungen für ein kompressibles Medium heranzuziehen, die der Verfasser in einer vorangegangenen Arbeit12 unter Berücksichtigung von Ladungstrennung und Dichteschwankungen kleineren Ausmaßes abgeleitet hat, wobei nur zwei variable Größen in den Gleichungen auftreten. Eine solche allgemeinere Behandlung mag wünschenswert erscheinen, da die vorliegende Arbeit, wie schon bemerkt, nur den

quasistationär monochromatisch eingeschwungenen Plasmazustand erfaßt.

Allerdings scheint der Zustand des monochromatisch schwingenden Plasmas in der Natur wohl wegen der in § 5 erwähnten Bevorzugung der Plasmafrequenz mit sehr großer Näherung tatsächlich realisiert zu sein, wie man dies aus dem Aussehen des Frequenzspektrums von Strahlungsausbrüchen schließen muß. Die beobachteten Frequenzbandbreiten im Meterwellenbereich betragen oft nur wenige Prozent 13 und sind damit etwa gleich derjenigen von Fernsehsendern, so daß ein einzelner Wellenzug schon einige 10 Wellenlängen umfassen muß.

Gelegentlich wird bei einem Strahlungsausbruch auch die zweite Harmonische der Plasmafrequenz beobachtet, wie erstmalig Wild und Mitarb.13 mitgeteilt haben. Es muß sich also um anharmonische Wellen handeln. Für größere Dichteamplituden ergibt aber unser Mechanismus ein solches anharmonisches Verhalten, wie wir bereits in der Arbeit A erwähnten. (Siehe auch Abb. 3!) Damit sich größere Dichteamplituden quasistationär ausbilden können, muß die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v0 einerseits klein gegen die Lichtgeschwindigkeit, andererseits aber auch größer als die Elektronenschallgeschwindigkeit ae = rj c sein, wie wir in A gezeigt haben. Der Brechungsindex n ist also für große Dichteamplituden an die Bedingung 1 < rc < l/t] gebunden, so daß die Lösungen der Differentialgleichungen hier wesentlich im Bereich der speziellen Lösung II (§3) liegen. Wir werden daher die FourierKoeffizienten von Ez bzw. Hy ~ u für diesen Lösungsbereich berechnen, wobei wir der Einfachheit halber den Druckeinfluß vernachlässigen, also

1 < C ~ n~ < 1 \if und wx > ws ~ (?/ n)s/< sowie £2 1 und a ~ 1 voraussetzen.

Nach (29) und (13) gilt dann u ~ =*± j/^-l)2-(iü-1)2 , u" ~ ^T-^"1

(rx\ W — 1 -

S--I arc sin |--r- j/i^j —l)2— (m; —l)2 .

2/ |m>i — 1|

Es ist einfacher, die Fourier-Koeffizienten von u nicht unmittelbar zu bestimmen, sondern zunächst diejenigen von u" zu beredinen und dann durch Integration auf u' überzugehen. Schreiben wir

W = — — 1 = V u A „ cos u £ , u' ~ V A sin u £ , 2 w ' " ' 4- "

12 R. W. Larenz, Z. Naturforsdig. 10a. 761 [1955]. 13 J. P. Wild, I. D. Murray u. W. C. Rowe,

Nature, Lond. 172, 533 [1953].

so sind die Integrale der Form

2-», ^ ;_^

1 /71 2 f1 /n • w~l i , i 1/, lw~ 1 Vi

u A„ = / ----1 cos m § d-f = —j--—r / — cos u | — -f arc sin —,— Wi — 1 1 — -- I f

' " nj \w ) ■ n\wi-\IJ w ■ [2 V \Wi-l) )

w-1 w1 — lj

zu beredinen, die durch die Substitution m; = 1-j-a sin , — 1 j = a

M"1 .t/2

4 ( — 1) 2 i* [sin j ungerade

übergehen in uAß= • n ' I cos ,u Z' > (,u a cos Z) ; ^Z für fx

( — 1) 2 J (cos j gerade.

Mit Hilfe von Entwicklung von {ju a ~os %) nach Potenzen von a-cos^ und Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme lassen sich die Integrale leicht beredinen. Es ergibt sich für die ersten 4 Koeffizienten:

i a2 a4 a6 1 , 1 Ja- a4 c6 1

Al= a\1~J + 192 36-256 I 24 360 '' * / '

3 9 , 81 81 1 1 J, 4 , 4 4 16 K \

A>=SaS{1- 16ö2 + 640 5120 * " * } ' ^ 3 n1 - 5 + 15 315 *+-}'

Im Grenzfall

| u^ — 1 | = a —>■ 1 [aber wx (r) n)3/j]

erhalten wir für das Intensitätsverhältnis der Harmonischen

A2 : A22 : A2 : A2 1 : 0,16 : 0,054 : 0,025 .

Besonders die 2. Harmonische erscheint also schon bei mäßigen Amplituden mit einer Intensität, die derjenigen der Grundwelle durchaus vergleichbar ist14. Bei Berücksichtigung des Elektronendrucks steigt der Harmonischenanteil noch etwas. Tatsächlich wird die 2. Harmonische oft mit größerer Intensität als die Grundwelle beobachtet, was darauf zurückzuführen ist, daß die Grundwelle Plasmafrequenz) bei ihrer weiteren Ausbreitung vom Entstehungsort aus stärker gedämpft wird als höhere Frequenzen, was man im einzelnen bei Wild 13 nachlesen möge.

Wir bemerken noch, daß für solche Wellen großer Amplitude bei relativ kleiner Fortpflanzungsgeschwindigkeit (n2 1) die Wellenlängen am Entstehungsort natürlich sehr viel kleiner sein müssen als die Vakuumwellenlängen bei der gleichen Frequenz.

Für die Anregung der Plasma-Schwingungen bzw. -Wellen halten wir folgenden Medianismus für möglich: Beim Fortschreiten einer Stoßwelle im Plasma läuft der eigentlichen,

14 In der Umgebung von n= 1 würde bei entsprechend großen Elektronengeschwindigkeiten A22 : At2 ^ 0,4 sein.

im wesentlichen aus der massereichen Ionenkomponente ge-

bildeten Stoßfront eine negative Elektronenraumladung vor-

aus, wie wir dies in Arbeit A für die „aperiodische Ionenschallwelle" gefunden haben, die man als adiabatisch reversiblen Grenzfall einer allgemeinen Plasmastoßwelle ansehen kann. Übersteigt nun die Stoßwellenfrontgeschwindig-

5 kT0 6

3{m[ + me) 4/d—1

(d = Verdichtung, e = Ionen- bzw. Elektronenmasse) die Elektronenschallgeschwindigkeit (ae2 = 5 kT0/3 me) vor

der Stoßfront, so wird die für kleine Stoßgeschwindigkeiten monotone, im Koordinatensystem der Stoßwelle im statischen

Gleichgewicht befindliche Raumladungsverteilung vor der

Front nach unserer Vermutung instabil und gliedert sich

(durch „Aufschiebung") in Verdichtungen und Verdünnun-

gen, eben die Plasmaschwingungen auf.

Da die Plasmafrequenz offenbar eine bevorzugte Stellung einnimmt, müssen wir annehmen, daß das Frequenzspektrum einer Strahlungsquelle oder einer Gesamtheit von Quellen mit statistischer Emission überthermischer Radiostrahlung sich im wesentlichen aus den Beiträgen der Gebiete verschiedener Dichte zusammensetzt, da letztere ja die Plasmafrequenz bestimmt. Das Spektrum kann daher je nach Aufbau der Strahlungsquelle und deren Aktivität in den einzelnen Gebieten ganz verschieden aussehen. Der allgemein beobachtete Abfall nach hohen Frequenzen hin dürfte durch einen mit der Dichte und daher mit der Frequenz anwachsenden Dämpfungseffekt bedingt sein, der etwa mit dem Abfall des hydrodynamischen Turbulenzspektrums verglichen werden kann.

Herrn Prof. G. Burkhardt danke ich für wertvolle Diskussionen.