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Control Vectorial de un Motor de Inducción con Carga Desconocida Basado en un Nuevo Observador No Lineal Academic research paper on "Political Science"

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{"Control vectorial sin sensores mećanicos" / "motor de inducción" / "observador de velocidad"}

Abstract of research paper on Political Science, author of scientific article — Marco A. Gallegos-Lara, Ricardo Álvarez-Salas, Jaime A. Moreno, Gerardo Espinosa-Pérez

Resumen En este trabajo se presenta un esquema de control vectorial sin sensores mećanicos para un motor de inducción, el cual puede trabajar en un amplio rango de velocidades. El controlador se basa en un nuevo algoritmo de observación de bajo orden que estima simult́aneamente los flujos y la velocidad del rotor en presencia de par de carga constante y desconocido. El desempeño del controlador por campo orientado sin sensores mećanicos propuesto se verifica mediante simulaciones numéricas y resultados experimentales. Se realiza el seguimiento de trayectorias de velocidad variable, que incluyen la velocidad cero, y se comparan con resultados obtenidos para el mismo esquema de control basado en un observador adaptable por modelo de referencia.

Academic research paper on topic "Control Vectorial de un Motor de Inducción con Carga Desconocida Basado en un Nuevo Observador No Lineal"

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ISSN: 1697-7912. Vol. 7, Num. 4, Octubre 2010, pp. 74-82

www.revista-riai.org

Control Vectorial de un Motor de Inducción con Carga Desconocida Basado en un Nuevo Observador No Lineal

Marco A. Gallegos-Lara* Ricardo Alvarez-Salas ** Jaime A. Moreno *** Gerardo Espinosa-Perez ****

* Universidad Politécnica de San Luis Potosí, Urbano Villalon n° 500, C.P. 78363, San Luis Potosí, S.L.P., México (e-mail: mgallegos@uaslp.mx) ** CIEP-FI Universidad Autónoma de San Luis Potosí, Av. Manuel Nava n°8,

C.P. 78290, San Luis Potosí, S.L.P., Mexico (e-mail: ralvarez@uaslp.mx) *** II- Universidad Nacional Autónoma de Mexico, A.P. 70-472, C.P. 04510,

D.F., Mexico (e-mail:jmorenop@ii.unam.mx) **** DEPFI - Universidad Nacional Autónoma de Mexico, A.P. 70-256, C.P. 04510, D.F., Mexico (e-mail:gerardoe@unam.mx)

Resumen: En este trabajo se presenta un esquema de control vectorial sin sensores mecánicos para un motor de inducción, el cual puede trabajar en un amplio rango de velocidades. El controlador se basa en un nuevo algoritmo de observacion de bajo orden que estima simultaneamente los flujos y la velocidad del rotor en presencia de par de carga constante y desconocido. El desempeño del controlador por campo orientado sin sensores mecanicos propuesto se verifica mediante simulaciones numericas y resultados experimentales. Se realiza el seguimiento de trayectorias de velocidad variable, que incluyen la velocidad cero, y se comparan con resultados obtenidos para el mismo esquema de control basado en un observador adaptable por modelo de referencia. Copyright © 2010 CEA.

Palabras Clave: Control vectorial sin sensores mecanicos, motor de induccion, observador de velocidad.

1. INTRODUCCION

En la ultima decada los manejadores de motores de induccion, controlados por la tecnica del campo orientado (FOC Field Oriented Control), han sido los mas empleados en aplicaciones industriales de alto desempeño. Sin embargo, debido a los requerimientos de una mayor confiabilidad, lograda a traves de la reduccion del numero de sensores, un costo mínimo y una baja sensibilidad al ruido (Rajashekara et al., 1996), existe un fuerte interés industrial por evitar el uso del sensor de posicion/velocidad en el lazo cerrado del control de velocidad. Es bien sabido que el control sin sensores mecanicos (CSSM) del motor de induccion (MI) es un problema altamente no lineal, en el que los estados del sistema no estan completamente disponibles para su medicion, que el motor esta sujeto a una perturbacion (par de carga) desconocida y que sus parametros tienen incertidumbre. Una solucion atractiva cosiste en el uso de observadores que estimen la velocidad y otras variables de estado. Sin embargo, su complejidad hace que la solucion a este problema no sea una tarea trivial.

Durante las ultimas decadas, varios esquemas para identificar la velocidad del rotor de las maquinas a partir de tínicamente la medicion de voltajes y corrientes han sido propuestos (Gallegos et al., 2006). A causa de la existencia de condiciones de op-eracionpara las cuales el modelo del MI sin sensores mecanicos (SSM) es no observable (Ibarra-Rojas et al., 2004; Canudas et al., 2000), en la mayoría de los casos existen problemas en la estimacion de la velocidad, sobre todo para el rango de

baja velocidad. En consecuencia, bastantes esfuerzos han sido dedicados a desarrollar algoritmos de observacion de velocidad y flujo de rotor para lograr un alto desempeño en el control por campo orientado sin sensor mecanico para baja velocidad, y de ser posible en velocidad cero (Bostan et al., 2003; Ilas et al., 1994; Mitronikas and Safacas, 2005; Yaonan et al., 2004; Rudolph et al., 2004; Rasmussen et al., 2002).

Este artículo aborda el problema del FOC SSM para el MI desde una perspectiva de estimacion, sin considerar que la velocidad es constante. Esta, aunque representa una situacion realista, ha sido poco utilizada en los trabajos previamente reportados. El observador propuesto, desarrollado originalmente en (Moreno and Espinosa-Perez, 2006), explota el hecho que la dinamica del error de observacion puede interpretarse como la interconexion en retroálimentáció negativa, sujeta a una señal de perturbacion, de dos subsistemas dinamicos. Estos pueden pasivarse mediante la eleccion adecuada de las ganancias de inyeccion de salida del observador, haciendo que el sistema en lazo cerrado sea pasivo, y por lo tanto su punto de equilibrio sea estable. Para trayectorias que aseguren la observabilidad del MI, se puede concluir convergencia exponencial del observador. El observador convergente resultante es altamente no lineal y de bajo orden, comparado con los algoritmos previamente reportados (Gallegos et al., 2007a), que estima simultaneamente los flujos y la velocidad del rotor en presencia de par de carga constante y desconocido (Moreno and Espinosa-Perez, 2006).

Publicado electrónicamente: 08/10/2010 D0l:10.4995/RIAI.2010.04.10

Puesto que el observador presentado es un esquema de orden completo y con propiedades pasivas, pueden esperarse características de robustez con respecto a variación en los parámetros, lo cual contribuye a mejorar la efectividad del FOC SSM para la region de baja velocidad. La sencillez en la sintonizacion de las ganancias, tanto del controlador como del observador, se mantiene para el esquema completo en lazo cerrado. El desempeño del controlador propuesto se verifica mediante simulaciones numericas y pruebas experimentales, que consisten en el seguimiento de trayectorias de velocidad variable, que incluyen condiciones de operacion de baja velocidad, para las que puede haber perdida de observabilidad (Ibarra-Rojas et al., 2004). Ademas, los resultados obtenidos con el observador no lineal son comparados con un esquema FOC cuya estimacion de velocidad se basa en un sistema adaptable por modelo de referencia, que es el algoritmo mas ampliamente reportado en el area del CSSM. Para las pruebas en lazo cerrado (control-observador), la medicion de la velocidad se sustituye directamente por la velocidad estimada en los algoritmos de observacion tratados, sin embargo, es necesario asentar que no se realiza una prueba formal de estabilidad para el sistema completo.

2. MODELO DEL MOTOR DE INDUCCION

El modelo matematico del MI en el marco de referencia fijo (a, b) con respecto al estator es (Rajashekara et al., 1996)

Aunque la suposición de que se conocen los parámetros del MI no es completamente realista, se hace aqui para facilitar el diseno del observador. Esto se puede aliviar extendiendo la metodología propuesta, para estimar algunos otros parámetros en línea. Como se vera, las propiedades de convergencia del observador permiten tambien concluir un cierto nivel de robustez ante incertidumbres en los parámetros.

Es importante hacer notar que, de acuerdo con el estudio de las propiedades de observabilidad del modelo del MI en operacion SSM presentado en (Ibarra-Rojas et al., 2004), la maquina exhibe pares de trayectorias que son indistinguibles, es decir, pares de trayectorias de estado que corresponden a las mismas parejas entrada/salida. Se sabe, adicionalmente, que existen trayectorias indistinguibles que no son convergentes, por lo que el motor no es observable ni detectable para cualquier trayectoria. Lo anterior implica que no existe un observador capaz de estimar flujos, velocidad y torque de carga para el MI en operacion SSM, que pueda operar correctamente para todo el rango de operacion del sistema. Sin embargo, dicho analisis permite esperar que sea posible construir observadores que funcionen de manera adecuada en los regímenes de operacion para los cuales el MI es detectable, y que su desempeño se deteriore en los regímenes de operacion en los que existan trayectorias indistinguibles. Por lo tanto, solamente se pueden disenar observadores que converjan en un subconjunto de las trayectorias, por lo menos, detectables del MI.

—i = (3[atp + pLvJ2ip — (Ma + b) i + cu]

—lo = -fw + aipTJ2i---

—tp = —atp — pujJ2i¡) + Mai dt

J2 = Rr

" 0 1" . T 1 0

-1 0 ; h = 0 1

_ pM _ JLr

Lr Rs Lr M

~ —]C ~ ~M ~ LrLs - M2

coeficiente de fricción viscosa, a = 1 -

3.1 Estructura del observador y dinámica del error de observación

Considerando el modelo del MI (1), y bajo la hipotesis de que el par de carga es constante pero desconocido, se propone el observador SSM con la siguiente estructura

y donde i, u son los vectores de corrientes y voltajes de estator, respectivamente, $ es el vector de flujos de rotor, Rs y Rr son las resistencias de estator y rotor, respectivamente, Ls y Lr son las inductancias de estator y rotor respectivamente, M es la inductancia mutua, w es la velocidad de rotor, f es el

es el coeficiente

de dispersion, p es el número de pares de polos, TL es el par de carga y J es la inercia.

3. OBSERVADOR DE VELOCIDAD

Para el diseno del observador que se describe en este trabajo se hicieron las siguientes consideraciones (Moreno and Espinosa-Perez, 2006)

■ Los parámetros del motor son constantes y conocidos.

■ El par de carga TL es constante y no medible.

■ Las corrientes y voltajes de estator son las únicas variables medidas.

3[(aI2 + pwJ2)$ - (Ma + b)i + cu] - Ki(i - i) Cj = - fu; + aij)T J2i - - Ku(i - i) (2)

$ = -(aI2 + pwJ2)^ + Mai - K^ ( i - i) Tl = -Kt(í - i)

en donde las ganancias de inyeccion de salida Ki, Ku, K^ y KT, que pueden depender de las senales disponibles i, i, w, serán diseñados a continuacion de tal forma que el observador converja.

Definiendo los errores de estimacion como ei = i-i, e^ = $ -eu = w - w y eT = TL - TL, su dinamica esta descrita por

ei = - [Ki + (al2 + pwJ2)] ei + p3J2$eu + (I + pwJ2)ez - peu J2ez,

ez = -Kz ei, (3)

eT = -Kt ei

donde se ha introducido la variable de error ez = f3e^ + ei, Kz = ¡3K^ + Ki, y ha sido utilizado el hecho de que WJ2$ -

wJ2$ = (w + ew )J2e^ + ew J2$.

¿u, = ( + ~iTJ2 ) e¿ - feu - ^iTJ2ez -

3.2 Diseño con par de carga constante y desconocido

El diseno de las ganancias de inyeccion se realizará en tres pasos:

1. Se descompondrá a la dinamica del error de observacion (3) en un sistema nominal y una perturbacion aditiva, dada por el termino peu J2ez.

2. El sistema nominal se descompondrá a su vez en dos subsistemas interconectados en retroalimentacioán negativa. Las ganancias de inyeccion de salida son disenadas de tal forma que cada uno de estos subsistemas sea pasivado, con lo que el sistema nominal se hace pasivo, con el punto de equilibrio eT = [ej, eu ,ej, eT] = 0 global y uniformemente estable. La estabilidad global y exponencial se puede establecer cuando se tienen trayectorias que hacen observable al MI.

3. La estabilidad de e = 0 para el sistema (3) se sigue de los resultados clasicos de robustez de la estabilidad exponencial ante perturbaciones que se desvanecen en el origen (Khalil, 2002), como es el caso del termino peu Jiez.

El sistema nominal de la dinamica del error (3), cuando el termino peu J2ez es excluido, puede ser descompuesta en dos subsistemas interconectados en retroalimentacion, dados por

¿í = [-Ki - (al2 + PJ2)] ei + ui,

Vi = ei

e2 = Á2e2 + B2U2, V2 = C2e2

doánde

-/, -Tfh

Ku - -fí?.h

C2 = [pf3J2Í> , (al2 + píoJ2) , 0] , e2 = [eu ej ej] y las restricciones de interconexion u1 = y2, u2 = -y1.

A continuacion se probara que el mapa u1 ^ y1 en S1 puede hacerse estrictamente pasivo y que el mapa u2 ^ y2 en S2 puede hacerse pasivo, mediante una eleccioán adecuada de las ganancias de inyeccioán de salida.

Pasivacion estricta del subsistema £ 1: La derivada temporal de la función de almacenamiento Vi (e¿) = jefe¿ para el subsistema S1 esta dada por

^1(ei) = eT¿i = eT[-Ki - al2]ei + yju1 . (6) Seleccionando la inyeccion de salida como

Ki = ki I2; ki > 0 (7)

este subsistema se hace estrictamente pasivo.

Pasivacion del subsistema S2: La siguiente proposicion, cuya prueba es simple, establece que la dinaámica interna del subsistema S2 es (uniformamente) estable.

Proposicion 1. El punto de equilibrio e2 =0 del sistema S2, cuando u2 = 0, es uniformemente estable si

1) i(t) es uniformemente acotada y f > 0, o

2) i(t) y J0 í(t)dr son uniformemente acotadas y f = 0.

Además, bajo las mismas condiciones, V2(t,e2) = ^eJP(t)e2, doánde

P (t) =

1 gj (t) 92 (t)

91(t) 91(t)gT(t) + l2 91(t)92 (t) 92 (t) 92(t)gT (t) gl(t) + 1

g(t) =

g1(t) 92(t)

= -fg (t) +

jJhit) I

, g (0) = 0, (8)

con k > 0, es una funcion de Lyapunov, cuadrática, decreciente y positiva definida, que asegura la estabilidad uniforme de

e2 =0.

Observacion 1. Dado que S2 esta estructuralmente definida por tres integradores, el punto de equilibrio no puede ser asintoática-mente estable. Este hecho implica que S2 no puede serpasivado estrictamente.

La derivada temporal de V2(t,e2) a lo largo de las trayectorias de S2 esta dada por

V2{t,e2) = -f-el

e2 + eT P (t)B2 u2

Si se elige B2, es decir, las ganancias de inyeccion de salida Ku, Kz y KT, de tal forma que se satisfaga la igualdad

p(t)B2 = CT ,

donde B2 y C2 estan definidas en (5), o equivalentemente

Ku = -iTJ2 + k

pp (1 + gT (t) g (t)) i>T Jl

-gT (t) (al2 + pí J2T)]

Kz = k ( -ppg1 (t) iiT J2T + al2 + pí J

Kt = -kppg2 (t) t¡JT J2T

(10) (11) (12)

se concluye que el mapau2 ^ y2 de S2 es pasivo, con V2 (t,e2) como funcion de almacenamiento. Notese que estas ganancias de inyeccion son realizables, ya que solo dependen de senales disponibles. En síntesis se tiene

Proposicion 2. El mapa u2 ^ y2 de S2 es pasivo, con V2(t,e2) como funcion de almacenamiento, si las ganancias de inyeccion de salida son seleccionadas de acuerdo a (7), (10), (11) y (12).

Ya que la interconexion de £ y S2, una vez pasivados, es tambien pasiva, se sigue que su punto de equilibrio e = 0 es uniformemente estable. Para concluir convergencia asintoática se requiere imponer condiciones adicionales, como se vera en el siguiente parágrafo.

3.3 Convergencia del observador

La convergencia asintoática del observador puede asegurarse para trayectorias que sean suficientemente distinguibles.

Teorema 1. Considere el modelo MI (1). Suponga que el par de carga es constante pero desconocido, que las condiciones de la Proposicioán 1 son satisfechas y que las trayectorias del MI permanecen acotadas. Bajo estas condiciones el observador SSM definido por (2), con ganancias de inyeccion de salida dadas por (7), (10), (11), (12), con K^ = (Kz - K)/p, es exponencialmente estable si existen numeros positivos T, a, S tales que para todo t > 0 y todo vector unitario w e R6 existe un t* e [t, t + T] para los que se satisface

rt* +á

p3J2$ (t) , -p3J2$ (t) gT (t) + (al2 + pw (t) J2)

-p3J2$(T) g2 (t)

> a (13)

Prueba. Considere la siguiente transformacion lineal, variante en el tiempo

T (t) e2

1 gT (t) 0 I3

e2 , T- (t)

1 -gT (t) 0 I3

Bajo las condiciones de la Proposicion 1, T (t) es una transformacion de Lyapunov, es decir, T (t) y T-1 (t) son diferencia-bles y acotadas. Por lo tanto T (t) preserva las propiedades de estabilidad. Mediante esta transformacion la dinamica del error de observacion (3) se puede escribir como

■ S_(e)'

é(t) = A (t) £ (t)

A (t) =

[-Ki - (aI2_ + pwJ2)] , C2 -B2 0

S (e)= p( [1 , -gT (t)] e)J2ez , A2 = B2 = T (t) B2 , C2 = C2T- (t) .

-f, 00 0 0 0 0 0 0

Notese que

kP (t) = TT (t) T (t) que, junto con la igualdad (9), implica que

b2 = kCt.

Un resultado clasico para el sistema (Morgan and Narendra, 1977); (Narendra and Annaswamy, 1989)

i (t) = A (t) x (t) , (15)

con A (t) continua a tramos y acotada, permite asegurar que el punto de equilibrio x = 0 es global, uniforme y asintoticamente estable si existen rnimeros positivos T, a, S tales que para todo t > 0 y vector unitario w e R6 existe un t* e [t, t + T] para los que se satisface

C2 (t) w dT

x (0) la trayectoria del sistema (14) (con S (e) = 0) converge mas rápidamente al origen que la del sistema (15). Cuando la condicion (16) es satisfecha, entonces el origen de (14) (con S (e) = 0) es exponencialmente estable. Como S (0) = 0 y ||S (e)|| < n l|e||2, por un resultado clasico de robustez de la estabilidad exponencial (Khalil, 2002), el punto de equilibrio £ = 0 del sistema (14) es local y exponencialmente estable si la condicion (16) se satisface. □

Es importante notar que la condicion de convergencia del observador, dada por (13), esta relacionada con la propiedad de distinguibilidad de las trayectorias del MI, estudiada en (Ibarra-Rojas et al., 2004). Esto puede verse facilmente de la condicion equivalente (16), que equivale a la observabilidad uniforme de la pareja [0 , C2\ en (14). Por lo tanto, si (13) es satisfecha, la trayectoria del MI correspondiente es observable.

La dimension del observador propuesto es no = n + 3 = 8: el numero de variables de estado de la planta mas 3 variables de estado para realizar el filtro lineal requerido para generar la señal g(t) (8). La dimension del observador propuesto es relativamente baja, cuando se compara con diversos resultados en la literatura, tales como el filtro de Kalman, para el cual se tiene que resolver una ecuacion diferencial de Ricatti, que incrementa considerablemente el numero de estados.

La falta de observabilidad para el sistema con par de carga desconocido tiene dos posibles fuentes: La falta de distinguibilidad de las trayectorias de estado y/o la falta de identificabilidad del parámetro TL. Para una estimacion adecuada de los parámetros y de los estados no medibles se require que las trayectorias del MI sean suficientemente distinguibles.

Dada la robustez intrínseca de un sistema con punto de equilibrio exponencialmente estable, se puede facilmente probar que el observador propuesto presenta una convergencia practica cuando se presentan perturbaciones externas o incertidumbre parametrica en el modelo.

Para mayores detalles sobre el diseño, propiedades de convergencia, pruebas de las proposiciones y desempeño del observador, consultar (Moreno and Espinosa-Perez, 2006; Gallegos et al., 2007b).

Note que esta condicion (16) equivale a la condicion (13). La derivada de la candidata a funcion de Lyapunov

V (t, x) para el sistema (15) es

I2 , 10 ° \h

V = - xT

2 (ki + a) I2 , 0 0 0

x < 0.

La derivada de la misma candidata a funcion de Lyapunov

" I2 , 0

W (t,£)

para el sistema (14), cuando consideramos que S (e) = 0, es

W =- £T

2 (ki + a) I2 , 0

£ < 0.

Notese que W < V, por lo que W (t) < V (t) para todo t > 0 si W (0) < V (0). Esto quiere decir que, si £ (0) =

4. RESULTADOS EN SIMULACION Y EXPERIMENTALES DEL OBSERVADOR

Para verificar la calidad de la estimacion de velocidad del observador propuesto, se presentan algunos resultados de simulacion y pruebas experimentales del algoritmo en un banco de pruebas (Figura 1), el cual consiste en un MI de rotor jaula de ardilla de 1,1kW acoplado a un motor de CD de 1,1kW, un inversor de 20kVA y una tarjeta dSpace 1103. Las mediciones de corrientes se hacen por medio de sensores de efecto Hall y la adquisicion de voltajes se realiza con una tarjeta de sensado externa. El par de carga se aplica mediante resistencias conectadas en las terminales de alimentacion del motor de CD que trabaja como generador. Se asume que los parámetros del motor son perfectamente conocidos, excepto para el par de carga que es estimado en línea. Las ganancias del observador para todas las pruebas son ki = 7000 y k = 20. Los parámetros del MI utilizado son descritos en la Tabla 1.

Figura 1. Plataforma experimental.

Tablal. Parámetros del motor de inducción.

Parámetro Valor unidades

Rs 7.83 n

Rr 2.98 Q

M 0.11 H

Ls 0.113 H

Lff 0.11 H

j 0.015 kgm1

f 0.002 s-1

realizaron dos diferentes pruebas que incluyen los rangos de velocidad media y baja. La primera prueba consiste en el arraque del motor hasta condiciones de velocidad media /2 con par de carga variable. La Figura 5 muestra el comportamiento experimental para el observador bajo las condiciones anteriores. El observador semiglobal (SGO - Semiglobal observer) presenta buen desempeño, similar al presentado para condiciones nominales incluso con la presencia del par de carga. Entonces, se puede decir que el desempeño del algoritmo para velocidad

Error de estimacion de velocidad

Error de estimacion de corriente

О О.2 О.4 О.б

О.б О.8 l

юИггог de estimacion de flujo

Error de estimacion de par

4.1 Resultados en simulación

En la Figura 2 se muestran los errores de observación cuando el motor opera en condiciones nominales. Puesto que bajo esas condiciones la observabilidad del motor se satisface claramente, los errores de estimacion convergen a zero rápidamente.

En la Figura 3 la frecuencia de excitacion es 1% de su valor nominal, es decir w = 0,6Hz, tal que las trayectorias del sistema están cercanas a la indistinguibilidad. Para mantener las corrientes de estator en valores aceptables, el voltaje de excitacion se redujo a la cuarta parte de su valor nominal (VN). Los errores de estimacion convergen a cero, pero debido a la perdida de excitacion persistente de las trayectorias la convergencia de r<pr y TL son mucho mas suaves.

En la Figura 4 se muestran los errores de observacion cuando la frecuencia de excitacion es cero (w = 0Hz), tal que los voltajes de estator son dos valores constantes u\ = VN/10 y u2 = -VN/10. El par de carga es TL = 0N en el intervalo t = [0, 2] y se cambia abruptamente a TL = 4N en el intervalo t = [2,10]. Esto corresponde al caso extremo de perdida de observabilidad del motor, tal que ningiin observadores capaz de estimar las variables de estado y el par de carga. Eso se refleja claramente en las simulaciones, ya que ninguno de los errores de estimacion convergen a cero. Sin embargo, note que a pesar de la perdida de observabilidad, las variables estimadas son acotadas. Esta es una característica importante del observador propuesto.

4.2 Resultados experimentales

Las condiciones de experimentacion para los algoritmos de observacion fueron las siguientes:

1.- Referencias de velocidad media y baja con par de carga.

2.- Referencias de velocidad variable (desde w = 180rad/seg hasta w = 5rad/seg).

Un problema importante en el CSSM es la estimacion de velocidad en condiciones de baja frecuencia de excitacion. Se

О О.2 О.4 О.б Tiempo[seg]

О.б О.8 l

Tiempo[seg]

Figura 2. Errores de estimación en condiciones nominales.

Error de estimacion de velocidad

Error de estimacion de corriente

x ШЕ rror de estimacion de flujo

Error de estimacion de par

О О.1 О.2 О.3

Tiempo[seg]

О О.1 О.2 О.3

Tiempo[seg]

Figura 3. Errores de estimacion en baja frecuencia de excitacion.

Error de estimacion de velocidad

xEror de estimacion de corriente

5 -О.О1 ~О.О15 -О.О2

О 2 4 б S 1О

юЖнот de estimacion de flujo

О 2 4 б S 1О

Error de estimacion de par

02468 10 0246810

Tiempo[seg] Tiempo[seg]

Figura 4. Errores de estimacion para frecuencia cero de excitación.

О О.2

nominal y media velocidad es satisfactorio. La segunda prueba comienza en velocidad cero y se incrementa hasta una velocidad baja de 45rad/ seg con par de carga variable. La estimacion de velocidad para baja frecuencia de excitacion con par de carga variable se presenta en la Figura 6, en donde se puede observar que el error en baja velocidad y con presencia de par es mayor que en las condiciones anteriores, sin embargo el desempeño es aun aceptable.

Se realizaron dos pruebas con referencias de velocidad variable que incluyen el régimen de la baja velocidad. La primera prueba consiste en la variacion suave de la referencia de velocidad desde w = 180rad/seg hasta w = 20rad/seg con par de carga variable. La Figura 7 muestra el comportamiento experimental para el observador bajo las condiciones anteriores. La Figura 8 muestra los resultados experimentales para el caso de una referencia variable en baja velocidad (5-40rad/seg) sin par de carga, y con un cambio en las ganancias constantes del observador (k = 15 y ki = 4000). La calidad de la estimacion del par de carga comienza a degradarse conforme la referencia de velocidad se acerca a cero, lo que podría ser la causa del menor desempeño en la estimacion de la velocidad en régimen de baja frecuencia de excitacion. Sin embargo, estos resultados dan una perspectiva de que se puede mejorar el desempeño en el rango completo de operacion con una eleccion de ganancias apropiada para cada régimen.

Seguimiento de velocidad

100 — 80 jj 60 Я 40 20 0

к " .............;...........................'■■■■■:.............

1 • • i.....;.........i........ 1 - - ^real

Error de estimación de velocidad

Error de estimacion de corriente

0 2 4 6 8 10

Tiempo [seg]

Seguimiento de velocidad

f - - <£>reai _œ

Error de estimacion de velocidad

Error de estimacion de corriente

и -20 £ -40 -60

2 4 6 8

Flujos de rotor estimados

468 Tiempo [seg]

Figura 6. Estimación y errores de estimación en velocidad baja (ш « /4) con par de carga variable.

Una condicion de perdida de observabilidad en la operacion del MI SSM es el régimen de operacion de velocidad cero. En este trabajo, se realize) una prueba con una referencia de velocidad la cual cruza suavemente por esa condicion con el fin de evaluar el desempeno del observador alrededor de la trayectoria inobservable. La Figura 9 muestra el resultado experimental para dicha condicion. Como era de esperarse, la calidad de la estimacion de velocidad se degrada conforme la referencia de velocidad se acerca a la velocidad cero, sin embargo, el observador es capaz de sobreponerse rápidamente al cruce por la trayectoria inobservable. De la prueba experimental, se pudo notar que la cota del error de observation depende de la sintonizacion correcta de las ganancias del observador.

Seguimiento de velocidad

Error de estimacion de velocidad

0 5 10

15 20 25

5 10 15 20 25 30

Error de estimacion de corriente

Figura 7. Estimación y errores de estimación para referencia de velocidad variable y con par de carga variable.

Estimacion de velocidad

Error de estimacion de velocidad

0 5 10 15 20 25 30

Error de estimacion de corriente

5 10 15 20 25 30

Figura 5. Estimacion y errores de estimacion en velocidad media (wN/2) con par de carga variable.

Figura 8. Estimacion y errores de estimacion para referencia variable a muy baja velocidad.

5. ESQUEMA DEL FOC

El FOC representa una solucion al problema de control de alto desempeño para el MI, controlando los valores instantaneos de las variables electricas, con el fin de mantener el par instantaneo lo mas cerca posible de su valor de referencia (Blaschke, 1972).

Como el FOC se basa en la alineacion del eje d del marco de referencia con el vector de flujo de rotor, la dinamica de control de la estructura no-lineal y altamente acoplada del MI llega a ser linealizada parcialmente y, ademas el par y el flujo se desacoplan asintoticamente, manteniendo constante la norma

Par estimado

0 15 20 25 30 Tiempo [seg]

0 5 10 15 20 25 30 Tiempo [seg]

Par estimado

Tiempo [seg]

0 5 10 15 20 25 30 Tiempo [seg]

0 5 10 15 20 25 30 Tiempo [seg]

Estimación de velocidad

Usd = [Ua'isq + aiprd + vsd] 1 C

Usq = ~ [LOalsd+ pUJIprd + Vsq}

Por lo tanto, el nuevo modelo del MI linealizado parcialmente queda de la siguiente manera

■jjisd = —f3(Ma + b)isd + vsd

-rrisq = —f3(Ma + b)isq + vsq d

Фrd = Maisd - a^rd

3 PM f TL

U = 77 ~Yrd^sq---

de la velocidad del rotor es tambieán linealizada, por tanto, es posible realizar un control de flujo y de velocidad utilizando controladores PI diseñados de la siguiente manera

крф (ф* - фrd) + кгф (ф* - фы) dt J0

(ш* — ш) + кш (ш* — ш) dt

Figura 9. Estimación y errores de estimación para referencia variable con cruce por cero.

del flujo. Este arreglo provoca que el control sea mas preciso tanto en respuesta transitoria como en estado estable.

En el FOC directo (DFOC), es esencial conocer la posicion del flujo para conseguir la correcta orientacion. Sin embargo, esto es muy costoso y de difícil acceso, por lo que en vez de medirlo, el flujo puede ser estimado basandose en las mediciones del voltaje, las corrientes y en ocasiones de la velocidad angular; ademas, se deben conocer los parámetros del motor. Una ventaja importante del DFOC, es la posibilidad de sustituir directamente, en el lazo cerrado, la medicion de la velocidad para la retroalimentacion por una señal estimada en un algoritmo de observacion. Por otro lado, otra ventaja del algoritmo de observacion propuesto es que tambien estima los flujos del rotor, por lo que es sencillo calcular la posicion del flujo dentro del FOC.

La dinamica de las corrientes son linealizadas y desacopladas a partir de las siguientes ecuaciones

Las nuevas entradas son calculadas como sigue

Vsd = kpd (i*sd - isd) + kid (i*sd - isd) dt

Vsq kpq (isq isq) + kiq I (,isq isq) dt

donde kpd, kid, kpq, kiq son las ganancias de los controladores, isd e isq son las corrientes de referencia para isd e isq, respectivamente.

Como la amplitud del flujo del rotor es igual a la amplitud de su referencia constante (i.e. ^rd = | = ^d), la dinamica

donde kp^, ki^, kpu, kiu son determinadas de manera que se imponga una dinamica deseada a los errores - ^rd y í* - u. Cabe señalar que si el flujo no es constante, es difícil asegurar un adecuado control del par.

Convencionalmente, los compensadores PI se han utilizado para generar el control de corriente y regulacionde la velocidad, y debido a su simplicidad son ampliamente aceptados en la industria.

6. RESULTADOS DE SIMULACION DEL FOC BASADO EN EL OBSERVADOR PROPUESTO

Para las simulaciones mimericas, se sustituye la retroalimentacion de la velocidad medida en el esquema del DFOC por la velocidad estimada por el observador propuesto en este trabajo. Los parámetros del MI utilizado son los mismos descritos en la Tabla 1.

Con la finalidad de verificar y comparar el desempeño del controlador basado en el observador propuesto, se presentan tambien algunos resultados de simulacion para el DFOC SSM cuya estimacion de velocidad se basa en el sistema adaptable por modelo de referencia (MRAS Model Reference Adaptive System) presentado en (Gallegos et al., 2007a; Yaonan et al., 2004).

Las pruebas de simulacion realizadas se establecen en los siguientes regímenes de operation

1 Seguimiento a referencia variable de velocidad desde cero hasta I80rad/s y aplicacion de escalones de par de 2Nm.

2 Seguimiento a referencia senoidal en baja velocidad con cruce por cero y aplicacion de escalon de par TL = 2Nm.

Las asignaciones de las ganancias para el FOC basados en los observadores MRAS y el SGO, se presentan en las Tablas 2 y 3 respectivamente.

Las Figuras 10 y 11 muestran el desempeño del esquema de control basado en el MRAS y SGO respectivamente, para una referencia de velocidad que varía suavemente desde cero hasta la velocidad nominal y con par de carga constante TL = 2Nm. En estas pruebas se puede notar el buen comportamiento en la estimacion de velocidad de los dos observadores para la velocidad nominal. Sin embargo, en la gráfica del error de estimacion de velocidad se observa el mejor desempeño del SGO en el regimen de la velocidad cero.

Las Figuras 12 y 13 muestran el desempeño del FOC basado en el MRAS y SGO respectivamente, para una referencia senoidal de muy baja velocidad y con par de carga constante. Aunque el FOC basado en el MRAS tiene un mal funcionamiento en el transitorio de inicio de la simulacion, puede decirse que el desempeño es suficientemente bueno para baja velocidad. Sin embargo, y de acuerdo a los resultados mostrados, el FOC basado en el SGO tiene aun mejor desempeño tanto en

Time [seg]

respuesta transitoria como en estado estable, por lo que se presenta como una solución mas atractiva para el problema del CSSM del MI.

Tabla2. Ganancias del FOC basado en el MRAS.

Seguimiento de velocidad

Lazo de corriente Lazo de par

kpd kpT kiT

0,5 2000 3 1020

Lazo de velocidad

kpu fcito

Lazo de flujo Ganancias del MRAS

kpip fóiip kpuMRAS huMRAS

50 4000 300 10000

Tabla3. Ganancias del FOC basado en el SGO.

Lazo de corriente Lazo de par

kpd kpT kiT

0,5 2000 3 1020

Lazo de velocidad

kpu fcito

Lazo de flujo Ganancias del SGO

kptp fóiip ki k

50 4000 7000 20

0 Error de seguimiento de velocidad

Error de estimación de flujo

/ \ / ■ ■ œ

/ N /

0 Error de seguimiento de velocidad 5

Corrientes

Error de estimación de flujo

? 1 & 0

Error de estimación de corriente

Error de estimaci ón de par

N........

-K.....

Figura 11. Seguimiento y errores de estimacion del FOC basado en el SGO para una referencia de velocidad variable y par de carga constante.

Seguimiento de velocidad

7. CONCLUSIONES

En este trabajo se presento un esquema de control vectorial sin sensores mecánicos para un motor de induccion, basado en un nuevo algoritmo no lineal de observacion de bajo orden y convergencia semiglobal capaz de estimar simultáneamente los flujos y la velocidad del rotor en presencia de par de carga constante y desconocido, el cual trabaja para un amplio rango de velocidades. Puesto que el observador elegido es un esquema de orden completo y con propiedades pasivas, se contibuyo a mejorar la efectividad del metodo presentado para la region de baja velocidad e inclusive la velocidad cero. La sencillez en la sintonizacion de las ganancias tanto del controlador como del observador se mantuvo para el esquema completo en lazo cerrado. El desempeño del controlador propuesto se verifico» mediante simulaciones numericas y se comparo con los resultados obtenidos para un esquema FOC basado en un observador MRAS, el cual es ampliamente reportado como de buen desempeño, obteniendo resultados mas favorables.

Seguimiento de velocidad

0 Error de seguimiento de velocidad 5

Error de estimación de flujo

m m m m wv

Figura 12. Seguimiento y errores de estimación del FOC basado en el MRAS para baja velocidad y par de carga constante.

Seguimiento de velocidad

■ ■ œ

Par de carga

0 Error de seguimiento de velocidad 5

~vwwwwww\

Error de estimación de flujo

wvwvw\

Error de estimación de corriente

Error de estimaci ón de par

K........

02468 10 02468 10

Tiempo [s] Tiempo [s]

Figura 13. Seguimiento y errores de estimacion del FOC basado en el SGO para baja velocidad y par de carga constante.

Figura 10. Seguimiento y errores de estimacion del FOC basado en el MRAS para una referencia de velocidad variable y par de carga constante.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen el apoyo financiero de CONACyT, Proyecto 51244, y PAPIIT, UNAM, Proyecto ÍW117610.

Voltajes

0 2 4 6 8 10

Tiempo [s]

0 2 4 6 8 10

Tiempo [s]

Par de carga

Voltajes

Corrientes

02468 10 02468 10

Tiempo [s] Tiempo [s]

Voltajes

Par de carga

Corrientes

Voltajes

Corrientes

46 Tiempo [s]

468 Tiempo [s]

REFERENCIAS

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