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Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 377-388
R I A I
www. elsevier. es/RI AI
Estimación y Control Distribuidos de Sistemas sobre Redes de Comunicación
Francisco R. Rubioa*, Pablo Milianb, Luis Orihuelab, Carlos Vivasa
aDpto. Ingeniería de Sistemas y Automática, Escuela Técnica Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Camino Descubrimientos, s/n., 41092 Sevilla, España. bDpto. Matematicas e Ingeniería, Escuela Tícnica Superior de Ingenieros. Universidad Loyola Andalucía. Calle Energía Solar, 1, 41014 Sevilla, España.
Resumen
Este trabajo presenta una tecnica de diseño novedosa para la estimacion y control distribuido de sistemas en red. Se considera un proceso discreto de gran escala controlado por una red de agentes que pueden recopilar informacion acerca de la evolucion de la planta y aplicar las acciones de control para mejorar su comportamiento. El diseno propuesto es de especial interés cuando no se tiene observabilidad/controlabilidad local, de forma que es necesario utilizar la comunicacion entre agentes para tener suficiente informacion dinamica del sistema. El objetivo global es disefiar un esquema de control y estimacion distribuida, de forma que se obtengan estimaciones fiables por parte de los agentes así como un desempeño de control adecuado. El trabajo analiza dos esquemas diferentes de comunicacion entre agentes, muestreo periodico y basado en eventos, proporcionando pruebas de estabilidad utilizando el criterio de Lyapunov y metodos de diseño en terminos de desigualdades matriciales lineales LMIs (del ingles, Linear Matrix Inequalities). Se muestran resultados experimentales sobre un sistema de cuatro tanques para demostrar la eficacia de las metodologías propuestas. Copyright © 2014 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados.
Palabras Clave: Control a traves de redes, Estimacion distribuida, Control distribuido.
1. Introducción
Un campo que ha motivado muchas investigaciones en los ultimos años es el de los Sistemas de Control Basados en Red (SCBR, o NCS del ingles Networked Control Systems), que han ido atrayendo progresivamente el interés de la comunidad de control automatico debido al gran numero de aplicaciones y el ahorro de costes de automatizacion que suponen estos sistemas (ver, por ejemplo, Salt et al. (2008)). Los SCBR estan formados por sensores, actuadores y controladores cuya operacion es coordinada a traves de una red de comunicaciones. Se trata de sistemas que, de forma típica, estan espacialmente distribuidos y pueden operar de forma asincrona; pero que requieren coordinacion para alcanzar objetivos globales.
Dentro del campo de la Ingeniería de Control, un sistema de control automatico consta al menos de los siguientes elementos: sistema dinamico o planta que se pretende controlar; conjunto de sensores que miden las salidas de esa planta y las transmiten; controladores que toman decisiones en funcion de la informacion recibida de los sensores; y actuadores, que reciben señales
* Autor en correspondencia.
Correos electrónicos: rubio@us.es (Francisco R. Rubio), pmillan@uloyola.es (Pablo Milian), dorihuela@uloyola.es (Luis Orihuela), vivas@us.es (Carlos Vivas)
URL: www.esi.us.es/%7Erubio (Francisco R. Rubio)
de control procedentes del controlador y las aplican a la planta mediante los elementos de actuacion correspondientes (motores, valvulas actuadas, etc).
Desde el punto de vista del ingeniero de control, el paradigma clasico de comunicacion entre los distintos elementos anteriormente mencionados ha permitido obviar los aspectos correspondientes a la comunicacion y centrarse exclusivamente en los aspectos relacionados con el control del sistema. La razon es sencilla, la arquitectura clasica de comunicacion cableada punto a punto ha permitido asumir implícitamente la hipotesis de canal perfecto de comunicaciones. Esto implica:
■ Periodos de muestreo constantes.
■ Ausencia de retrasos de transmision.
■ La informacion se entrega siempre de forma correcta y a tiempo, no se pierden datos en las comunicaciones.
■ Ancho de banda ilimitado.
■ Resolucion ilimitada en los datos que se transmiten.
En los SCBR, los lazos de control se cierran mediante redes de comunicacion en tiempo real, redes en general compartidas por distintos procesos o lazos de control. Las soluciones tecnologicas a este respecto comprenden un buen numero de redes,
© 2014 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L.U. Todos los derechos reservados http://dx.doi.org/10.10167j.riai.2014.08.001
Lee et al. (2007). Por un lado, en lo relativo a redes de comunicación cableadas existen distintos tipos entre los que destacan CAN, Profibus y Modbus. En cuanto a redes inalambricas, los protocolos de aplicacion son Bluetooth, UWB, ZigBee, y Wi-Fi, que corresponden a los estandares IEEE 802.15.1, 802.15.3, 802.15.4, and 802.11a/b/g respectivamente.
De esta forma, a medida que la tecnología es capaz de proporcionar tanto dispositivos de procesado remoto como redes fiables de comunicacion digital, resulta cada vez mas frecuente encontrar soluciones de control que involucran el cierre de los lazos mediante redes de comunicacion compartidas.
Las redes de sensores inalambricas (WSN del ingles Wireless Sensor Networks) son una tecnología emergente que ha recibido una gran atencion en la ultima decada debido principalmente a las aplicaciones desarrolladas y potenciales, en campos como el control de procesos industriales, vigilancia, deteccion de fallos, etc, Akyildiz et al. (2002); Brinon Arranz et al. (2009); Cortes et al. (2004); Estrin et al. (1999); Lu et al. (2011); Xiao et al. (2005).
Una red de sensores se compone de un gran numero de nodos (agentes en un sentido amplio) que estan espacialmente distribuidos y cuentan con cierta capacidad de procesado y comunicacion. Las redes de sensores presentan una serie de ventajas sobre las arquitecturas centralizadas: despliegue sencillo sobre grandes regiones proporcionando diversas medidas del sistema observado; robustez ante fallos; menores costos de implemen-tacion y mantenimiento, etc. Debido a diversas consideraciones de diseno, tales como el tamano limitado de las baterías, ancho de banda y coste, las redes inalambricas de sensores presentan restricciones de autonomía que imponen limitaciones de calculo y comunicaciones. A pesar de estas limitaciones, la alta conectividad y las capacidades de cooperacion de las redes inalambricas de sensores proporcionan un gran potencial para construir redes que realizan tareas complejas de alto nivel que son difíciles o incluso imposible de llevar a cabo con el enfoque clasico centralizado o jerárquico.
En este trabajo, la estimacion y control distribuido surgen naturalmente en el contexto de los sistemas geograíficamente espaciados donde se plantea satisfacer un objetivo global de todo el sistema. En terminos generales, el objetivo es inducir un comportamiento global a partir de las acciones emprendidas por los agentes individuales de una manera distribuida. La característica principal de este enfoque es la distribucion de informacion. A diferencia de las soluciones centralizadas, cada agente tiene acceso solo a la informacion recogida por un numero limitado de agentes vecinos. Dado que las redes de sensores son sistemas de escala generalmente grandes, no es aconsejable emplear un procesado centralizado para recopilar todos los datos del sistema y ejecutar las tecnicas clasicas de estimacion centralizados, Olfati-Saber (2005).
El estado del arte en cuanto a las estrategias de control distribuido (Antonelli (2013)) comprende un gran numero de tecnicas, con diferentes enfoques dependiendo de la naturaleza del problema. Los primeros intentos para formular el problema son de finales de los anos 70, con los trabajos sobre control de-centralizado de Davison and Chang (1990); Davison and Wang (1973) y Anderson and Moore (1981). El control predictivo y
sus numerosas aplicaciones para la industria de proceso, ha demostrado ser muy prolífico en este campo, Maestre and Negenborn (2013); Camponogara et al. (2002); Dunbar (2007); Alva-rado et al. (2011); Negemborn et al. (2008); Roshany-Yamchi et al. (2013); Scattolini (2009); Venkat et al. (2005).
Otras contribuciones notables a este problema se pueden encontrar en Lynch et al. (2002), donde se aplica el control semi-activo para estructuras civiles de gran tamano, y en D'Andrea and Dullerud (2003), que aplican una idea novedosa que consiste en descomponer la planta y controlador en modulos que se comunican entre sí. Estos modulos se pueden unir para construir grandes sistemas distribuidos.
La mayor parte de los trabajos mencionados anteriormente descomponen la planta en subsistemas desacoplados o acoplados debilmente controlados por nodos independientes. Una línea afín de investigacion es el denominado control descentralizado con solapamiento, donde a diferentes controladores se les permite compartir las entradas de control de la planta, Iftar (1991, 1993); Siljak and Zecevic (2005).
En este artículo, se considera un proceso discreto LTI (Millan et al. (2012) y Millan (2012)), que esta controlado por una red de agentes que, usando informacion directa de la planta y recibida de otros nodos, generan las acciones de control adecuadas para lograr un objetivo determinado. Los agentes presentan las siguientes características: observacion, actuacion, computacion y comunicacion. Cada uno de ellos implementa una estructura observador&controlador basado en observadores de Luenber-ger locales en combinacion con estrategias de consenso. La primera parte es responsable de actualizar la estimacion del agente a partir de informacion local, mientras que la segunda tiene en cuenta los datos transmitidos desde los agentes vecinos.
Por otro lado, se proponen dos formas de implementar la comunicacion entre agentes. En primer lugar, un enfoque pe-rioí dico donde se asume que los agentes se comunican cada tiempo de muestreo. En segundo lugar, un esquema de comunicacion mas eficiente basado en eventos, que dispara las comunicaciones de los agentes solo cuando existe informacion relevante que transmitir, (ver Dormido et al. (2008); Lunze and Lehmann (2010); Tabuada (2007); Guinaldo et al. (2013); Donkers and Heemels (2012). En Heemels et al. (2013), se presenta una estrategia descentralizada en la que los nodos tienen informacion parcial de la salida de la planta. Las tecnicas orientadas a eventos son especialmente beneficiosas en el contexto de redes inalambricas de sensores ya que permiten ampliar la vida de las baterías y reducir la frecuencia de transmision, el uso de ancho de banda, los retrasos de transmision medios y las colisiones entre paquetes.
Como se mostrara, una característica relevante del esquema planteado, que anade complejidad al diseno del sistema, es que no se cumple el Principio de Separacion, de forma que el diseno de los observadores y los controladores ha de realizarse de forma conjunta. Por ello, en una primera aproximacion al problema, se considera solo el caso en el que no existen retardos ni perdida de informacion en la red que conecta a los agentes. De esta forma, se aborda el problema de limitacion de la infor-macioí n disponible y de ancho de banda limitado, igualmente importantes en los SCBR. La estabilidad del sistema disenado
se garantiza mediante el planteamiento de funciones de Lyapu-nov.
El trabajo esta organizado de la siguiente manera: en primer lugar se describe el problema de control distribuido en la sección 2 y en la sección 3 se formula el problema suboptimo de estimacion y de control. Posteriormente en las secciones 4 y 5 se describen la solucion propuesta para los escenarios de sistemas muestreados por tiempo y por eventos. La seccion 6 describe la aplicacion a un sistema de control de nivel en una planta de cuatro tanques, para demostrar el desempeno del esquema presentado. El artículo termina con las conclusiones en la seccion 7.
Definiendo una matriz de control aumentada B = [ B1 B2 ... Bp ] y un vector de control aumentado
U(k) uT (k) u¡ (k) ... uTp (k) f, (2)
la ecuacioín (1) puede escribirse de forma compacta como
x(k + 1) = Ax(k) + BU(k), (3)
donde U(k) e Rd, con d = £ = di.
2. Descripción del sistema.
Considérese el sistema de estimación y control distribuido representado en la figura 1. El proceso se monitoriza y controla a traves de una red de agentes.
I < - s
observador controlador
! IZD ! observador & controlador conexión al sistema conexión de red
Figura 1: Esquema distribuido de una planta
A continuacion, se describen los diferentes elementos que componen el sistema distribuido.
Planta
Considerese un sistema discreto LTI en su representacion en espacio de estados. En la figura 1 se ilustra que la planta estaí siendo controlada por un conjunto de agentes que pueden gestionar distintos actuadores. La dinaímica del sistema puede ser descrita como
x(k + 1) = Ax(k) + ^ Biui(k),
donde x e Rn es el estado de la planta y ui e Rdi (i = 1,..., p) es la senal de control que el agente i aplica al sistema. Las matrices A e Rnxn y Bi e Rnxi' son conocidas.
La red de la figura 1 se define topologicamente por su grafo de comunicaciones G = (V, E) con nodos V = {1,2,..., p} y enlaces E с V x V. El conjunto de agentes que envían información al nodo i se denomina la vecindad de i y se representa por Ni = {j : (j, i) £ fí}. El enlace (j, i) implica que el agente i recibe informacion del agente j.
Agentes
El enfoque adoptado se corresponde con un esquema de control distribuido, en el que los agentes estiman el estado de la planta basandose tanto en la informacion recopilada a nivel local como en aquella enviada por sus vecinos. Utilizando dicha estimacion, aquellos agentes con capacidades de control calculan la senal de entrada que aplicaran al sistema.
Cada agente i mide una salida específica de la planta yi, que viene dada por
y¡(k) = Cix(k) £ R, (4)
donde las matrices Ci £ Rr¡xn son conocidas.
Se define ahora la matriz C como la apilacion de todas las matrices de salida:
C â Cl
...CTp T .
Se asume en el resto del artículo que el par (A, B) en (3) es estabilizable y el par (A, C) es detectable.
Si el nodo i tiene capacidades de control, genera una acción u¡(k), en la forma
u(k) = KiXi(k) e Rd
donde Xi £ Rn denota la estimacion del agente i, y Ki £ RdiXn (i £ V) son los controladores locales que deben disenarse.
La estimacion del estado de la planta se obtiene en cada agente i £ V utilizando la siguiente estructura:
Xi(k + 1) = AXi(k) + BUi(k) + Mi(yi(k) - CiXi(k))
+ Yj Nji(Xj(k) - Xi(k)), (6)
donde Ui(k) £ Rd es la estimacion que hace el agente i de todas las senales de control aplicadas y se define como
Ui(k) â [ UT(k) ... u¡(k) ... uTp (k) f ,
donde uj(k) = KjXi(k), Vj ± i.
Como puede verse en la ecuacion (6), cada agente tiene dos fuentes diferentes de informacion para corregir sus estimaciones. En primer lugar, utiliza la salida de la planta yi(k) de manera similar a un observador clasico de Luenberger, Mi(yi(k) -yi(k)), siendo Mi, i e V, la ganancia del observador a diseñar. Por otra parte, añade un termino de correccion por cada estimacion recibida de los nodos vecinos, Nji(xcj(k) - xci(k)), Vj e Ni, donde Nji, (j, i) e fí, son matrices de consenso a diseñar.
El error de observacion de cada nodo se define como
ei(k) = x(k) - xi(k), i e V.
Vale la pena recordar que los nodos individuales no tienen informacion acerca de la señal de control exacta que se aplica a la planta, ya que cada nodo actuador aplica una señal de control diferente en funcion de su estimacion particular del estado (5). Idealmente, la ecuacioí n (6) debe ser implementada utilizando el U(k), es decir, las señales de control que el conjunto de agentes aplica a la planta. Sin embargo, esta informacioí n no estaí disponible para los agentes. Para sortear esta dificultad y hacer la ecuacioín (6) realizable, la solucioín propuesta consiste en dejar que cada nodo ejecute su observador con el vector de control
obtenido a partir de su estimacioí n particular. Es decir
BUi(k) = 2 BjKjXi(k) = BKXi(k),
donde la matriz de control aumentada satisface
KT = KT
El vector de control real aplicado a la planta estaí formado
por las estimaciones de cada nodo
BU(k) = BjKjXj(k).
En general, la señal de control real y la estimada son diferentes, pero si las estimaciones de los nodos convergen a los estados de la planta, estas diferencias desaparecen progresivamente.
3. Descripción del problema
Considerese un sistema discreto LTI con dinamica dada por (1). La planta es observada y controlada por un conjunto de nodos p en una red cuya topología puede ser representada por el grafo G = (V, fí). La dinamica de los nodos esta dada por (6), cada uno de ellos recibe una medida de la planta definida por (4), y aplica una señal de control definida por (5). Entonces, dada la funcion de coste
J = £ xT(j)QxX(j)+
+z z e(j)Qif(j)+uT(j)Riui(j)\, (8)
j=ko ieV
el problema suboptimo de control y observacion distribuidos consiste en encontrar los observadores Mi, i eV y Nji, (j, i) e E y los controladores Ki, i e V, tal que:
■ El estado del sistema x(k) sea asintoticamente estable.
■ Los errores de observacion ei(k) sean asintoticamente estables.
■ El diseño obtenido minimice la cota superior de la funcion de coste (8).
Eñ la funcion de coste (8), se ponderan los estados frente a la señal de control de forma similar al bien conocido coñtrolador LQR.
4. Caso de muestreo periódico
En este apartado se resuelve el problema planteado para el caso en el que la comunicacion entre los agentes tenga lugar de forma periodica, recibiendo informacion de los vecinos cada instante de muestreo k.
4.1. Dinamica del estado de la planta y del error de observación
Se define ahora el vector de error eT(k) = [e^(k),..., eTp (k)] e Rnp, el vector de estado aumentado (k) = |xT(k) eT(£)] e Rn(p+i), y los conjuntos M, N, K como
M = {Mi, i e V}, N = {Nji, (j, i) efí}, K = {Ki, i eV}.
Las siguientes proposiciones estudian la dinaímica de los diferentes procesos. Las demostraciones son inmediatas a partir de las ecuaciones (3)-(7).
Proposición 1. La dinamica del estado de la planta x(k) estaí dada por
x(k + 1) = (A + BK) x(k) + Y(K)e(k),
Y(K) = [ -Bi Ki -B2K2 • • • -BPKP ].
Proposición 2. La dinamica del vector de error e(k) puede escribirse de la siguiente forma
e(k + 1) = (®(M) + Y(K) + A(N)) e(k),
diag{(A - MiCi),..., (A - MpCp)},
-BiKi ... -BpKp
-BiKi ... -BpKp
Y(K) = diag{BK,..., BK} + A(N)
Z 0(Nji),
(j,i)eS
siendo
©(Nji) =
col. i
0 ••• -Nji ••• Nji ••• 0
fila i
Proposicion 3. La evolucion del vector de error aumentado f(k) se puede expresar de la siguiente forma
f(k + i) = Ú(M, N, K )f(k),
A + BK Y(K)
0 ®(M) + Y(K) + A(N)
Ú(M, N, K) =
La estructura de (ii) revela que el principio claísico de se-paracioí n observacioí n/control no se cumple en el problema que ños ocupa, ya que la matrix Y(K) depende de los controlado-res. La razon es evidente si tenemos en cuenta que los agentes desconocen la señal de control real que se aplica a la planta y recurren a las estimaciones. No obstante, en la siguiente seccioñ se propondra un metodo que permite diseñar de forma uñifica-da todos los controladores y observadores distribuidos de forma que se garantice la estabilidad global del sistema.
Proposicion 4. La funcion de coste (8) puede escribirse co-
J =£ (j)(Q + K TRK)f( j),
R= K =
diag{Qx, Qi, Q2,...,Qp}, diag{Ri, R2,.. .,Rp},
Ki -Ki 0 K2 0 -K2
Este resultado se puede probar faícilmente sustituyendo las matrices Q, R, Ky el vector aumentado f(k) en la ecuacioñ (i2).
4.2. Diseño conjunto de observadores y controladores
Eñ esta seccion, se desarrolla un metodo de diseño conjunto basado en la teoría de Lyapunov que asegura la estabilidad asiñtotica de la planta y los errores de observacion. El siguiente teorema establece el metodo de diseño basado en LMIs y las propiedades de estabilidad y rendimiento del sistema.
Teorema 1. Dado un funcional de coste (i2), el problema suboíptimo de observacioín y control distribuido se resuelve encontrando los conjuntos M, N, K que den solucioín al siguiente problema de optimizacion:
sujeto a a > 0 y
P < aI,
-P ÚT I K T
* -P-i 0 0
* * -Q-i 0
* * * -R-
Demostracion: Considerese la siguiente funcion de Lyapu-
AV(k) = (k)Pf(k),
donde P es una matrix definida positiva. El incremento de la funcion de Lyapunov viene dado por la siguiente ecuacioñ
AV(k) = ?(k + i)Pf(k + i) - ?(k)Pf(k).
Teniendo en cuenta la Proposicion 3, la ecuacioñ anterior puede reescribirse como sigue:
AV(k) = ? (k)ÚTPQf(k) -?(k)Pf(k), = ?(k) (QTPQ - p) f(k).
Teniendo en cuenta los resultados de estabilidad de Lya-punov, el estado del sistema y los errores de estimacioín son asintoticamente estables sí y solo sí existe una matriz P > 0 tal que (QTPQ - P) es definida negativa. Utilizando el complemento de Schur, las siguientes desigualdades son equivalentes:
QTPQ - P < 0
-P ÚT
* -P-i
La condicioín anterior se garantiza dado que la matriz anterior es exactamente el menor principal de orden 2 de la matriz involucrada en la desigualdad matricial (i5), que debe ser definido negativo para que dicha desigualdad se cumpla. De esta forma, queda demostrada la estabilidad del esquema descentralizado según el diseño propuesto.
A continuacion, se estudia la miñimizacioñ de la cota superior de la funcion de coste. Notese que la coñdicioñ (i5) implica que
QTPQ - P + Q + KTRK < 0.
Por lo tanto, deberaí verificarse
?(k) (qtPQ - P) f (k) < -?(k)(Q + £TRK)f(k).
Teniendo en cuenta la ecuacion anterior y el incremento de la funcion de Lyapunov, se obtiene que
AV(k) = f (k) (QTPQ - p) f(k) < -fT (k)(Q + £TRK)f(k).
Si ahora se halla el sumatorio a ambos lados de (i7) desde k0 a k, resulta
X AV(j) < - £ f (j)(Q + KTRK)¡;(j). j=k> j=h¡
míñ a,
P,M,N,K
Se puede observar que £%hj AV(j) = ^VU + 1) -V(j)) = V(k +1) - V(k0). Cuando k ^ra, la estabilidad asintoti-ca del sistema implica que V(k) ^ 0, de manera que,
- V(k0) < - £ ÍT(j)(Q + KTRK)j
Finalmente, a partir de la Proposicion 4, se obtiene J < V(k0) = f(k0)TPf(k0) < ¿mí*(P)l№)ll2.
El valor de V(k0) depende de las condiciones iniciales del sistema y los agentes. De esta forma, la minimizacion de ^míx(P) minimizaría a su vez la cota superior de la funcion de coste J independientemente de las condiciones iniciales.
La condicion (14) asegura que el maximo autovalor de P este acotado por a. Por tanto, optimizando (13) se minimiza la cota superior de la funcion de coste. □
La principal dificultad que presenta el teorema no radica en la minimizacion de a, que puede hacerse mediante un algoritmo de biseccion, sino la presencia de la condicion no lineal (15). A continuacion, se proponen dos soluciones para hacer frente a esta no linealidad.
Restricción en P-1: La condicion (14) es equivalente a -P-1 < -11. Teniendo esto en cuenta, la restriccion no lineal
(15) del Teorema 1 puede ser reemplazada por:
-P aT i K T
* - a i 0 0
* * -Q-1 0
* * * -R-
En comparacion con el metodo introducido en Yue et al. (2005) en el cual P = al, el que aquí se propone abarca un conjunto mas amplio de soluciones posibles en el espacio de las matrices definidas positivas.
Algoritmo del cono complementario: Tambien se puede adaptar el procedimiento (ver El Ghaoui et al. (1997)), en el que se aborda la no linealidad P-1 introduciendo nuevas variables y restricciones. La adaptacioí n del algoritmo al problema que nos ocupa es trivial y se ha omitido en este trabajo. Su uso permite resolver el problema propuesto en el Teorema 1 sin anadir conservadurismo, al coste de incrementar el coste computacional.
Observacion 1. El metodo de diseno que se deriva del Teorema 1 puede resolverse fuera de línea de forma centralizada. Para ello precisa de informacion global del sistema: topología de la red, matrices de salida Ci y entrada Bi de cada agente, etc. Sin embargo, una vez que los observadores y los controladores se disenen, su implementation es completamente distribuida y solo requiere informacion disponible localmente en cada nodo.
Observación 2. El planteamiento que se hace en este trabajo conlleva la resolution de un problema de optimization sujeto a LMIs. Esto proporciona un metodo de diseno numericamente eficiente y permite explotar todos los grados de libertad en el diseno. Esta flexibilidad se consigue, sin embargo, a costa de aumentar la carga de calculo, que aumenta con el numero de nodos y la dimension del sistema. Los metodos de diseno
descentralizados o distribuidos constituyen todavía un problema abierto para este tipo de sistemas de gran escala.
Observacion 3. El caso de diferentes tiempos de muestreo de los agentes, es un trabajo en desarrollo actual por los autores y que implica una mayor complejidad. El caso de muestreos multiplos exactos de un muestreo comun a todos es directamente abordable con la solucion propuesta, ya que sería modificar la matrices A, B y Ci de la ecuacion (6) para adaptarlas al caso.
5. Caso de muestreo basado en eventos
En la arquitectura de control propuesta en el apartado anterior, los agentes periodicamente intercambian las estimaciones del estado de la planta con sus vecinos. En esta seccion se extiende el resultado anterior a un esquema de comunicacion por eventos, persiguiendo un ahorro de energía y de ancho de banda mediante la activacion de las transmisiones solo en instantes de tiempo específicos, cuando existe informacion relevante que transmitir, Dormido et al. (2008), Heemels et al. (2008).
Se define el índice temporal lj(k) como el instante de tiempo mas reciente (mas proximo a k) en el que el agente j envio sus estimaciones a sus vecinos. La regla que activa los eventos de comunicacion se detalla a continuacion.
Regla de activacion: Dado un umbral > 0, en el instante k, el agente j difunde sus estimaciones a todos sus vecinos i : j e Ni, sí y solo sí
Pí(lj(k)) - Xj(k)\\ > para k > l/k),
es decir, envía la informacion cuando la diferencia entre el estado actual y el ultimo enviado supera cierto umbral.
Desde el punto de vista de modelado, la principal diferencia entre el sistema periodicamente muestreado y el paradigma orientado a eventos es el patron no uniforme de transmision de la informacion. Esto modifica el comportamiento de los agentes, cuya dinamica viene ahora determinada por:
xi(k + 1) = Axi(k) + BUi(k) + Mi(yi(k) - CiXi(k))
+ Y Nji(Xj(lj(k)) - Xi(k)). (20)
La ecuacion (20) tiene en cuenta la comunicacion no periodica a traves del índice temporal lj(k), que puede ser diferente para cada agente j e V.
El efecto que este tipo de comunicacion produce sobre la dinamica puede asimilarse al efecto de unas perturbaciones. Para mostrar esto, considerese la siguiente ecuacion, que reescribe la dinamica de los observadores dada en (20) para esta situacion:
Xi(k + 1) = AXi(k) + BUi(k) + Mi(yi(k) - CiXi(k))
+ YNji(Xj(k) - Xi(k)) +2 Njij), (21)
jeN jeN
j) = Xj(lj(k)) - Xj(k). (22)
Comparando (21) con (6), puede observarse que la dinamica de los agentes en el caso de la comunicacion basada en eventos solo difiere de aquella con comunicacion periodica en los
términos Wj(k). El término Uj(k) puede ser interpretado como una perturbación externa debida al flujo discontinuo de información entre los vecinos, que se pone a cero en cada instante de transmision. De esta manera, cada vez que el agente j transmite su estado a sus vecinos, se tiene que Wj(k) = 0.
Vale la pena destacar que la perturbacion que cada agente j induce a sus vecinos es desconocida por ellos, pero puede ser monitorizada localmente por el agente j.
La evolucion del estado del sistema y del vector de error se presentan en el siguiente resultado, que es equivalente a la Proposition 2 para el caso de comunicacion por eventos. Debido a sus similitudes, se omite su demostracion.
Proposición 5. Sea a>T (k) = [ wp (k) ••• ap (k) ]• Para el caso de muestreo basado en eventos la evolución del estado x(k) viene dado por la Proposicion 1, y la dinámica del error de estimacion e(k) viene dada por
e(k + 1) = (®(M) + Y(K) + A(N)) e(k) - r(NMk), (23)
donde las funciones ®(M), ), A(N) estan definidas igual que en la Proposicion 2, y
r(N) =£ Y(N;i),
(j,i)6fi
siendo
^(Nji) =
col• i 0 ••• 0
fila i
5.1. Propiedades de estabilidad
En teírminos de estabilidad, el muestreo basado en eventos que se propone impide alcanzar la estabilidad asintoítica. Piensese que podría darse el caso de que hubiese un error en regimen permanente pequeño que, debido a que ño produce eventos, nunca llegaría a anularse.
Otros autores han propuesto diferentes reglas de ejecucion de eventos que consiguen estabilidad asiñtotica. Por ejemplo, en Yue et al. (20i3) se introduce un regla que activa eventos cuando la diferencia porcentual con respecto al valor medido supera cierto umbral. El comportamiento asiñtotico se consigue a base de enviar muestras aun estando cerca del punto de equilibrio, lo que aumenta el trafico por la red comparado con al solucion aquí propuesta.
A continuacion se muestra que el enfoque presentado presenta estabilidad practica, quedando el estado de la planta y los errores de observacion acotados. Utilizando notacion internacional, el sistema es GUUB (Globally Uniformly Ultimately Bounded), es decir, el sistema es atraído y queda confinado dentro de una region arbitrariamente pequeña alrededor del punto de equilibrio.
Escogiendo la misma funcion de Lyapunov, el incremento A V(k) incluye ahora terminos adicionales debido a la presencia del vector ((k):
AV(k) = (k) (QTPQ - P) f(k) + 2fT(k)nTPFw(k) + (J (k)f TPf ((k),
Utilizando un conjunto de controladores y observadores que satisfagan el problema propuesto en el Teorema i, se consigue que el primer teírmino sea negativo. El resto de los elementos pueden ño ser negativos, debido a la presencia de ((k). Sin embargo, es faícil mostrari que el incremento es negativo para valores del vector de estado aumentado cuya norma supere cierto umbral:
AV(k) < 0, si ||f(k)|| > a,
donde a toma el valor
-¡=,,,\1/2
|ÚTPr II + (ynTPr ||2 + imíñ(Q)||f TPf ||) a = -
^mín(Ú)
Uña vez se tiene acotada la norma de f(k), es inmediato demostrar que el estado del sistema x(k) tambien permanece acotado. Para ello hay que tener en cuenta que, para aquellos vectores para los que el incremento de la funcion de Lyapunov pueda ser positivo (los que ya estan cerca del equilibrio), la evolucioí n a un paso no los puede llevar arbitrariamente lejos de la region, debido a que las perturbaciones ((k) estan acotadas por defiñicioñ.
Para un sistema completamente discreto, en el que no tie-ñe sentido hablar del tiempo entre instantes de muestreo, ((k) siempre esta acotada por S(. Si la planta proviene de la discreti-zacioñ de un sistema continuo, entonces hay que tener precau-cioñ. Aunque en k se cumpla que esta acotado y en k + i valga cero, podría ocurrir que en un instante intermedio supere dicho valor. Sin embargo, este inconveniente es facil de salvar si se incluye algun tipo de restriccioñ al sistema, como condiciones de tipo Lipschitz, de forma que ño pueda crecer sin límites entre tiempos de muestreo. Es de suponer que al discretizar la planta, el periodo de muestreo se ha escogido convenientemente. Ademas, para sistemas lineales con señales de control provenientes de un ZOH, existe siempre dicha constante de Lipschitz.
Si el lector quiere encontrar una prueba completa para el caso de comunicacion entre solo dos agentes, se recomienda el artículo de los mismos autores Orihuela et al. (20i3).
6. Ejemplo de aplicacion
En esta seccioí n se presentan una serie de resultados ex-perimeñtales al objeto de ilustrar la aplicacion y demostrar el
i Al tomar normas, se obtiene una ecuacion cuadrática en ||f(k)||, con coeficiente negativo del termino de segundo grado. De las dos soluciones, solo una
es positiva. Para valores mayores de dicha solucion, el incremento de la funcion de Lyápúnov es negativo.
Tabla 1: Notacion relativa a la planta
Descripciôn
h¡ Vi h0 V0
Ah Av¡ s r
Ahr Avr
Nivel de agua del tanque i
Voltaje de entrada a la bomba i
Nivel de referencia del tanque
Voltaje de referencia a la bomba
Incremento de nivel h con respecto a h0
Incremento de voltaje v¿ con respecto a v0
Salida del sistema
Referencia a seguir
Nivel de referencia con respecto a h0
Voltaje de referencia con respecto a v0
funcionamiento del metodo propuesto en este artículo. Se aplicara el diseno del sistema de control y observation distribuido a un equipo consistente en cuatro tanques acoplados, concretamente el equipo 33-041 de Feedback, (ver Instruments (2012)).
6.1. Descripción de la planta
La planta, una variante del proceso de tanques que se propuso originalmente en Johansson (2000), es un modelo de un fragmento de una planta química. Se compone de cuatro tanques, cada uno equipado con un sensor de presion para medir el nivel de agua. Los acoplamientos entre los tanques se pueden cambiar utilizando siete valvulas manuales para modificar la dinamica del sistema. El agua se suministra a los tanques por dos bombas sumergidas controladas de forma independiente. La notacion relacionada con la planta se da en el Cuadro 1.
La planta se controla utilizando Simulink y una tarjeta de in-terfaz PCI1711. Para los experimentos se ha elegido la siguiente configuracioín:
■ El agua de entrada se suministra a los depositos superiores. La bomba 1 alimenta el deposito 1 y la bomba 2 el deposito 3.
■ Los depositos 1 y 3 estan acoplados mediante la apertura de la valvula correspondiente.
Aunque la planta es una plataforma educativa, representa de forma realista algunos de los elementos relevantes de una planta controlada de forma distribuida.
El esquema de control distribuido propuesto en este trabajo se aplica a la planta considerando una red con cuatro agentes, dos de los cuales aplican senales de control (ver figura 2). Cada agente ha sido etiquetado de 1 a 4 de acuerdo con el numero de deposito cuyo nivel esta midiendo. El agente 1 (respectivamente 3) aplica la senal de control a la bomba 1 (2). La topología del grafo es: 2 o 1 o 3 o 4.
El objetivo de los experimentos es doble. En primer lugar, los cuatro estados de la planta deben ser estimados por cada agente. En segundo lugar, el nivel de agua de los dos depositos inferiores debe ser controlado. Con esta configuracioín, los agentes de control (agentes 1 y 3) no tienen medicion directa de las variables que se controlan (los niveles en los tanques 2 y 4).
La regla de activacion de los eventos elegida (ecuacion 19), dispara el evento cuando se tiene una diferencia entre la estima-cioí n actual y la anterior enviada a los vecinos. En el caso de los
~ 1 i 1 J _ i--- 3
r — :>l I i 1(ж ■t^l 'r- PrKÍ 5Ц
"t— Tí—-i я LJ j li íT
! r Í...J ( l. 4- ' ïi1 i. i t 4 *vJ v^l
Figura 2: Esquema de control distribuido con 4 agentes.
tanques implica que se activan los eventos cuando la estimacion de nivel difieren en una cantidad.
6.2. Modelado de la planta
El sistema de tanques acoplados admite el siguiente modelo no lineal: dhi (t)
dt dh2(t) dt dh3 (t) dt dh4(t) dt
-S- л/2ghKt) + nv1(t) - -^V2g(h1(t) - h3(t)),
S-V2ghl« - fy/igM),
- fsj2gh3(t) + nv2(t) + -fy¡2g(hi(t) - h3(t)),
a|V2gh« - yV2gh4(4
donde hi(t) (i = 1,..., 4) indica el nivel de agua en el depósito correspondiente y vi (i = 1,2) es la tensión aplicada a la bomba i. ai (i = 1,...,4) es el area de salida de cada tanque, a13 es el area de la tubería de interconexion entre los tanques 1 y 3; n es una constante que relaciona la tension de control de la bomba y el flujo de agua, S es el area de la seccion transversal de los tanques, y g es la constante gravitacional.
Este sistema se linealiza alrededor del punto de equilibrio dado por h® y u0, obteniendose
Ah(t) = AAh(t) + BAv(t),
donde Ah(t) = [hl(t) - h° ... h4(t) - h4J
y Av(t) = |vi(t) - v0l v2(t) - v2]T. Las matrices A y B en (25) (pagina siguiente), se han obtenido mediante un desarrollo de Taylor de las ecuaciones no lineales del modelo en el punto de equilibrio. Discretizando este modelo con periodo de muestro T , se tiene
Ah(k + 1) = ADAh(k) + BDAv(k),
h4(k) - h4]
donde Ah(k) = [h1(k) - h°
y Av(k) = [v1(k) - v1 v2(k) - v0 . Las matrices AD y BD son las matrices discretas correspondientes de A y B.
s^/2gh¡ S aig
S V2g(h»-h») O
a2g sy2gh» o
S V2g(fc0-h3) O
s v2ghf s y¡2g(hi-h0)
a-g S v2gh¡
S V2gh;
, o o ,
Tabla 2: Parámetros de la planta.
Valor Unidades Descripcion
h o-25 cm Nivel en el tanque i
Vi o-5 V Voltaje en al bomba i
S o.oii89 m2 Area de la seccion
ai 5o.265e-6 m2 Area de salida del tanque i
a1i 5o.265e-6 m2 Area de salida entre los tanques 1 y 3
n 2.2e-i V~s Constante que relaciona voltaje y caudal
ho 1 9.8 cm Nivel de equilibrio en el tanque 1
ho 2 17.4 cm Nivel de equilibrio en el tanque 2
ho i 7.5 cm Nivel de equilibrio en el tanque 3
h* 1i.6 cm Nivel de equilibrio en el tanque 4
i i.i cm Voltaje de equilibrio en la bomba 1
à 2.6 cm Voltaje de equilibrio en la bomba 2
T 2.o segundos Tiempo de muestreo
El objetivo no es solo estabilizar la planta alrededor del punto de operación o punto de linealizacion, sino tambien seguir referencias. Para ello, la salida del sistema esta establecida como, s(k) = CrAh(k), donde Cr es una matriz que selecciona el nivel de agua de los tanques 2 y 4. Las referencias estan dadas por el vector r(k). En los puntos de equilibrio, se debe verificar s(k) - r(k) y Ah(k + 1) - Ah(k) - Ahr(k). Para llevar a cabo la tarea de seguimiento, los puntos de equilibrio incrementales (Ahr(k), Avr(k)) asociados con la referencia r(k) se relacionan como sigue.
Ahr(k) = ADAhr (k) + BDAvr(k), r(k) = CzAhr(k).
Reescribiendo la ecuacion en forma de bloques se tiene,
Ad -1 BD Cz O
Ahr(k) Avr(k)
de modo que el punto de equilibrio incremental asociado con r(k) puede obtenerse como
Ahr(k) ad -1 bd -1 o
Avr(k) Cz o r(k)
Se asume que las referencias son alcanzables por el sistema, es decir, la inversa anterior existe. Finalmente, para el seguimiento de referencias, se debe estabilizar el sistema siguiente:
x(k + 1) = ADx(k) + BDu(k),
donde x(k) = Ah(k) - Ahr y u(k) = Av(k) - Avr. Observese que este sistema tiene la misma estructura que el descrito en (3).
6.3. Resultados experimentales
El rendimiento del metodo de control distribuido propuesto ha sido probado experimentalmente en el sistema de control de
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
tiempo (s)
Figura 3: Seguimiento de referencias con muestreo periodico. Las referencias están con líneas de trazos.
nivel de cuatro tanques, con los parámetros identificados de la planta que se muestran en el Cuadro 2.
Se ha realizado una comparación de los dos esquemas de comunicación entre los agentes, comunicacion periodica y comunicacion por eventos. En primer lugar, se llevo a cabo el diseno de los controladores y observadores distribuidos de acuerdo al Teorema 1, eligiendo las siguientes matrices de ponderacion (8) como
Qx = diag(o,1 loo o,1 1oo)
Qi = diag(1 lo 1 o,1)
Q2 = lo-2 • diag(1 1 1 1)
Qi = diag(1 o,1 1 1o)
Q4 = 1o-2 • diag(1 1 1 1)
R = = 1o-6 • I2
La figura 3 muestra el comportamiento del sistema propuesto de control distribuido. Puede observarse un seguimiento satisfactorio de las referencias en los tanques 2y4. Los efectos de las matrices de ponderacion elegidas se evidencian en la sobre-oscilacion de los tanques 1 y 3, cuya finalidad es la de realizar un seguimiento rápido de las referencias en los depositos inferiores. El tiempo de respuesta promedio es de alrededor de 100 segundos, aproximadamente un tercio de la constante de tiempo natural del sistema de bucle abierto.
Los niveles de agua se muestran en la figura 4, junto con las estimaciones de estos niveles por parte del agente 1. Vale la pena senalar que el agente no tiene acceso directo a las medicio-
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
tiempo (s)
Figura 4: Comportamiento del agente 1 con muestreo perioídico. Las estimaciones se muestran con líneas a trozos.
nes de nivel en tanques 2 y 4, pero se estiman estas magnitudes a partir de la informacion enviada por sus vecinos.
A continuacion, se muestra el efecto de los factores de ponderacion de la funcion de coste en (8). Se realizaron dos experimentos, ambos con la misma ponderacion para las matrices Qx y Qi (i = 1,..., 4) como en el experimento anterior, y diferentes valores para R: R1 = 10-6 • 12 para obtener un seguimiento de referencias rápido y R2 = 102 • 12 para minimizar el esfuerzo de control. La figura 5 muestra la evolucion de los niveles y de las acciones de control. Como era de esperar, se observa un buen seguimiento para el experimento con R1, a costa de un control mas agresivo. Este resultado muestra como puede llegarse a un compromiso de diseno entre seguimiento y esfuerzo de control adecuado ajustando las ganancias de ponderacion.
El experimento que se muestra en la figura 6 fue disenado para demostrar la capacidad de desacoplo del esquema de control propuesto. Se desea que el tanque 2 lleve a cabo un seguimiento de referencias mientras que el tanque 4 debe permanecer en un punto fijo de operacion. Para modificar el nivel del tanque 2, el tanque 1 debe ser llenado o vaciado, y debido a la vaílvu-la de acoplamiento, el tanque 3 varía su nivel lo cual tambien afecta al nivel en el tanque 4. Los controladores distribuidos propuestos han logrado un desacoplo notable de la dinaímica en bucle cerrado como se puede observar a partir de estos experimentos.
Por uí ltimo, se ensaya el rendimiento del esquema de control por eventos. En este caso, se utilizan las mismas matrices de ponderacioí n del primer experimento, pero con diferentes umbrales para disparar los eventos: = 0,1, = 0,3 y = 0,6. Los resultados para estos ensayos se muestran en la figura 7, donde se presenta el comportamiento de seguimiento en el tanque 2. Se observa que a mayores umbrales de disparo de los eventos (mayor se tienen rendimientos de control menores. El comportamiento no simetrico se debe a que se ha aplicado una tecnica de control lineal a una planta real que es no lineal. Por ello cuando nos alejamos del punto de operacion aparecen esos comportamientos no simetricos. La figura 8 muestra los
16 14 12
5 4.5 4
1 3 2.5 2 1.5
h2(Q,R,) h4(Q.R,) h2(Q,R2) tVQ.R^
.....// i
\ X íf
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
tiempo (s)
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
tiempo (s)
Figura 5: Seguimiento de referencias y señales de control con muestreo periodico y matrices de peso diferentes.
ÏT 15
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
tiempo (s)
Figura 6: Desacoplo de control: Cambio de referencia en tanque 2 mientras que la del tanque 4 permanece constante
23 22 21
Ï19 'c
18 17 16 15
_g = 0.1
_g = 0.3
_g = 0.6
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
tiempo (s)
0.8 0.7 0.6
0.5 e di 0.4
0.3 0.2 0.1 0
-g = 0.1 © -g = 0.3 © -g = 0.6
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
tiempo (s)
Figura 7: Seguimiento de referencias en el tanque 2 para varios valores de 6Í} Figura 9: Proporcion de paquetes enviados con respecto al caso periodico
01-1-1-1-1-1-1-1-1-
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 tiempo (s)
Figura 8: Comportamiento del observador del agente 1 con 6Í} = 0,6. Las estimaciones estan representadas en línea discontinua.
agentes conduzca al sistema a la estabilidad. El resultado encuentra aplicacioí n en los sistemas de gran escala donde los esquemas centralizados o esquemas claísicos descentralizados no funcionan adecuadamente.
Se han presentado dos posibles esquemas de comunicacion entre agentes, uno perioídico y otro basado en eventos. Se ha utilizado un sistema de nivel de cuatro tanques, para llevar a cabo una demostracioí n experimental del comportamiento de la arquitectura de control propuesta. Se ha observado una cierta degradacioí n en el rendimiento de control en el caso de mues-treo por eventos en comparacioí n con el caso perioí dico, mientras que el nuí mero de paquetes transmitidos se reduce draísticamen-te. El disparo de las comunicaciones por eventos junto con la inclusion en el diseno de un funcional de coste tiene grandes ventajas en aplicaciones praícticas por el hecho que permite llegar a un equilibrio entre el esfuerzo de control, la degradacion del rendimiento y el promedio de la tasa de transmisioí n de paquetes, con la consiguiente reduccioí n de las comunicaciones.
estados observados en el nodo 1 con S0J = 0,6.
La degradacioí n del comportamiento que conlleva el uso del esquema basado en comunicacioí n por eventos es evidente cuando se compara con los resultados del caso perioí dico. Por otra parte, el esquema basado en eventos reduce significativamente el nuí mero de transmisiones requeridas, como se muestra en la figura 9, que muestra la relacioí n de los paquetes transmitidos con respecto al caso perioí dico.
7. Conclusiones
En este artículo se propone un esquema de estimacion y control distribuido para sistemas de control en red, donde la observacioí n y capacidades de control son compartidas por un conjunto de agentes. Los agentes reciben informacioí n parcial de la evolucioí n de los estados de la planta y tienen acceso, en general, a un subconjunto de las senales de control de la misma. El trabajo propone un sistema distribuido de estimacioí n y control, de modo que el comportamiento conjunto de todos los
English Summary
Distributed Estimation and Control Systems over Communication Networks
Abstract
This paper's aim is to present a novel design technique for distributed control and estimation in networked systems. The proposed problem considers a large scale, discrete LTI process controlled by a network of agents that may both, collect information about the evolution of the plant, and apply control actions to drive its behavior. The problem makes full sense when local observability/controllability is not assumed and the communication between agents can be exploited to reach system-wide goals, including energy efficiency in these communications. The objective is to provide a fully distributed estima-tion&control scheme that stabilizes the plant while the upper bound of a given quadratic performance index is minimized.
The paper analyzes two different sampling schemes, periodic and event-driven, providing stability proofs based on Lyapunov theory and design methods in terms of LMIs. Experimental results on a four couple tanks system are provided to show the performance of the proposed methodologies.
Keywords:
Networked Control System, Distributed Estimation, Distributed Control.
Agradecimientos
Este trabajo ha sido financiado por el Ministerio de Ciencia e Innovation con cargo al proyecto de investigation DPI2010-19154 y por la Junta de Andalucía con cargo al proyecto de excelencia P09-AGR-4782. Agradecer a los revisores sus valiosos comentarios que han mejorado la version final de este artículo.
Referencias
Akyildiz, I. F., Su, W., Sankarasubramaniam, Y., Cayirci, E., 2002. Wireless
sensor networks: a survey. Computer networks 38 (4), 393-422. Alvarado, I., Limon, D., Muñoz de la Peña, D. and, J. M., Ridao, M. A., Scheu, H., Marquardt, W., Negenborn, R. R., De Schutter, B., Valencia, F., Espinosa, J., 2011. A comparative analysis of distributed MPC techniques applied to the HD-MPC four-tank benchmark. Journal of Process Control 21 (5), 800-815.
Anderson, B. D. O., Moore, J. B., 1981. Time-varying feedback laws for decentralized control. IEEE Transactions on Automatic Control 26 (5), 11331139.
Antonelli, G., 2013. Interconnected dynamic systems: An overview on distributed control. IEEE Control Systems Magazine 33 (1), 76-88. Brutón Arranz, L., Seuret, A., Canudas de Wit, C., December 2009. Translation control of a fleet circular formation of AUVs under finite communication range. In: 48th IEEE Conference on Decision and Control and 28th Chinese Control Conference. Shangai, China, pp. 8345 - 8350. Camponogara, E., Jia, D., Krogh, B. H., Talukdar, S., 2002. Distributed model
predictive control. IEEE Control Systems 22 (1), 44-52. Cortes, J., Martínez, S., Karatas, T., Bullo, F., 2004. Coverage control form mobile sensing networks. IEEE Transactions on Robotic and Automation 20 (2), 243-255.
D'Andrea, R., Dullerud, G. E., 2003. Distributed control design for spatially interconnected systems. IEEE Transactions on Automatic Control 48 (9), 1478-1495.
Davison, E. J., Chang, T. N., 1990. Decentralized stabilization and pole assignment for general proper systems. IEEE Transactions on Automatic Control 35 (6), 652-664.
Davison, E. J., Wang, S. H., 1973. On the stabilization of decentralized control
systems. IEEE Transactions on Automatic Control 18 (5), 473-478. Donkers, M., Heemels, W., 2012. Output-based event-triggered control with guaranteed /„-gain and improved and decentralized event-triggering. IEEE Transactions on Automatic Control 57 (6), 1362-1376. Dormido, S., Sínchez, J., Kofman, E., 2008. Muestreo, control y comunicacion basado en eventos. Revista Iberoamericana de Automatica e Informatica Industrial 5 (1), 5-26.
Dunbar, W. B., 2007. Distributed receding horizon control of dynamically coupled nonlinear systems. IEEE Transactions on Automatic Control 52 (7), 1249-1263.
El Ghaoui, L., Oustry, F., AitRami, M., 1997. A cone complementary linearization algorithm for static output-feedback and related problems. IEEE Transactions on Automatic Control 42 (8), 1171-1176. Estrin, D., Govindan, R., Heidemann, J., Kumar, S., August 1999. Next century challenges: scalable coordination in sensor networks. In: 5th ACM/IEEE International Conference on Mobile Computing and Networking. Seattle, WA, USA, pp. 263-270.
Guinaldo, M., Dimarogonas, D., Johansson, K., Sanchez, J., Dormido, S., 2013. Distributed event-based control strategies for interconnected linear systems. IET Control Theory and Applications 7 (6), 877-886.
Heemels, W., Donkers, M., Teel, A., 2013. Periodic event-triggered control for linear systems. IEEE Transactions on Automatic Control 58 (4), 847-861.
Heemels, W. P. M. H., Sandee, J. H., Van Den Bosch, P. P. J., 2008. Analysis of event-driven controllers for linear systems. International Journal of Control 81 (4), 571-590.
Iftar, A., August 1991. Decentralized optimal control with overlapping decompositions. In: IEEE International Conference on Systems Engineering. Dayton, Ohio, USA, pp. 299-302.
Iftar, A., 1993. Overlapping decentralized dynamic optimal control. International Journal of Control 58 (1), 187-209.
Instruments, F., 2012. Data Sheet: 33-041 Coupled Tank System for Matlab.
Johansson, K. H., 2000. The quadruple-tank process: a multivariable laboratory process with an adjustable zero. IEEE Transactions on Control Systems Technology 8 (3), 456-465.
Lee, J., Su, Y., Chung-Chou, S., 2007. A comparative study of wireless protocols: Bluetooth, UWB, Zigbee, and Wi-Fi, 46-51.
Lu, B., Oyekan, J., Gu, D., Hu, H., Nia, H. F. G., 2011. Mobile sensor networks for modelling environmental pollutant distribution. International Journal of Systems Science 42 (9), 1491-1505.
Lunze, J., Lehmann, D., 2010. A state-feedback approach to event-based control. Automatica 46, 211-215.
Lynch, J. P., Law, K. H., Blume, J. A., February 2002. Decentralized control techniques for large-scale civil structural systems. In: 20th International Modal Analysis Conference. Los Angeles, CA, USA, pp. 4-7.
Maestre, J. M., Negenborn, R., 2013. Distributed model predictive control made easy.
Millan, P., 2012. Robust analysis and design of networked control systems with applications. Ph.D. thesis, Universidad de Sevilla.
Millan, P., Orihuela, L., Vivas, C., Rubio, F., 2012. Control optimo-L2 basado en red mediante funcionales de Lyapunov-Krasovskii. Revista Iberoamericana de Automatica e Informatica Industrial 9 (1), 14-23.
Negemborn, R. R., B., D. S., Hellendoorn, J., 2008. Multi-agent model predictive control for transportation networks: Serial versus parallel schemes. Engineering Applications of Artificial Intelligence 21 (3), 353-366.
Olfati-Saber, R., December 2005. Distributed Kalman filter with embedded consensus filters. In: 44th IEEE Conference on Decision and Control and the European Control Conference. Seville, Spain, pp. 8179-8184.
Orihuela, L., Millan, P., Vivas, C., Rubio, F. R., 2013. H2/H„ control for discrete TDS with application to networked control systems: periodic and asynchronous communication. Optimal Control Applications and Methods, doi: 10.1002/oca.2101.
Roshany-Yamchi, S., Cychowski, M., Negenborn, R. R., De Schutter, B., De-laney, K., Connell, J., 2013. Kalman filter-based distributed predictive control of large-scale multi-rate systems: Application to power networks. IEEE Transactions on Control Systems Technology 21 (1), 27-39.
Salt, J., Casanova, V., Cuenca, A., Piza, R., 2008. Sistemas de control basados en red. modelado y diseno de estructuras de control. Revista Iberoamericana de Automatica e Informatica Industrial 5 (3), 5-20.
Scattolini, R., 2009. Architectures for distributed and hierarchical Model Predictive Control - a review. Journal of Process Control 19 (5), 723-731.
Siljak, D. D., Zecevic, A. I., 2005. Control of large-scale systems: Beyond decentralized feedback. Annual Reviews in Control 29 (2), 169-179.
Tabuada, P., 2007. Event-triggered real-time scheduling of stabilizing. IEEE Transactions on Automatic Control 52 (9), 1680-1685.
Venkat, A. N., Rawlings, J. B., Wright, S. J., December 2005. Stability and optimality of distributed model predictive control. In: 44th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference. Sevilla, Spain, pp. 6680-6685.
Xiao, L., Boyd, S., Lall, S., April 2005. A scheme for robust distributed sensor fusion based on average consensus. In: 4th International Symposium on Information Processing in Sensor Networks. Los Angeles,California,USA, pp. 4209-4214.
Yue, D., Han, Q. L., Lam, J., 2005. Network-based robust H„ control of systems with uncertainty. Automatica 41 (6), 999-1007.
Yue, D., Tian, E., Han, Q. L., 2013. A delay system method for designing event-triggered controllers of networked control systems. IEEE Transactions on Automatic Control 58 (2), 475-481.
