CC BY-NC-ND
0ScienceDirect
Disponible en www.sciencedirect.com Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 32-43
R I A I
www.elsevier.es/RIAI
Control No Lineal Basado en Pasividad de Motores de Inducción para
Alto Desempeño Dinamico
Hoover Mujicaa'*, Gerardo Espinosa-Perezb
aPosgrado en Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Edificio de Posgrado 2do piso, Ciudad Universitaria,
C.P. 04510, México, D.F., MEXICO. bFacultad en Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de Mexico, Edificio de Posgrado, Ciudad Universitaria,
C.P. 04510, Mexico, D.F., MEXICO.
Resumen
El control de seguimiento de posicion y velocidad con alto desempeño dinamico para el motor de induccion ha generado gran interés en la comunidad de control, debido a las características favorables que presenta esta maquina rotatoria. Desafortunadamente, los resultados presentados en la literatura especializada del area estan enfocados principalmente a estudiar las propiedades de estabilidad de los esquemas de control y no al desempeño dinamico que estos pueden lograr. En este artículo se presenta el analisis orientado principalmente a evaluar el desempeño que puede alcanzar un motor de induccion con perfiles de velocidad altamente variables, cuando se utiliza un controlador no lineal diseñado a partir de conceptos de pasividad. Específicamente, se evalua la facilidad que ofrece este controlador para su implementacion y los procedimientos para mejorar su respuesta dinamica, estos ultimos obtenidos como resultado de un analisis causa-raíz. En particular, se estudian diferentes posibilidades para abordar la necesidad de derivar señales que aparecen en la estructura del controlador. Se presentan resultados tanto en simulacion como en una plataforma experimental, ambos apoyados por indicadores clave de desempeño que identifican los escenarios con los que se obtienen mejores desempeños en distintas condiciones de operacion. Se muestra que el escenario de mejor desempeño facilita la implementacion y relaja las condiciones impuestas en la literatura del area sobre el perfil de velocidad deseado y el par de carga. Adicionalmente, se establece una política de sintonía del controlador que permite alcanzar alto desempeño dinamico. Copyright © 2014 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados.
Palabras Clave:
Motor de induccion, control no lineal basado en pasividad, seguimiento velocidad, alto desempeño dinamico.
1. Introducción
En la actualidad, muchas de las aplicaciones de control de movimiento de maquinas rotatorias requieren respuestas dinamicas rapidas y precisas en posicion, velocidad y par generado, ademas de alta eficiencia y mayor confiabilidad. Históricamente los motores de corriente directa (CD) fueron la eleccion habitual para aplicaciones con alto desempeño dinamico (a pesar de su elevado costo de construccion, mantenimiento y otros inconvenientes propios de esta clase de maquinas rotatorias), relegando a los motores de induccion (MI) a aplicaciones de velocidad constante (Bose, 1993) pero de mayor potencia, como compresores, bombas de impulsioín, ventiladores, molinos, etc. Esta situacion se debe a las complicaciones que se presentan para realizar el control de movimiento del MI, es decir:
* Autor en correspondencia.
Correos electronicos: hoovertec@gmail.com (Hoover Mujica), gerardoe@unam.mx (Gerardo Espinosa-Perez)
■ El proceso de transformacion de energía electromagnetica en mecanica esta descrito por dinamicas no lineales, lo cual constituye un problema de control no trivial, haciendo que la teoría y los esquemas convencionales de control resulten insuficientes para alcanzar altos desempeños.
■ Existe variacion en los parámetros durante su operacion, lo cual se refleja principalmente en cambios en los valores de las resistencias electricas y la friccion mecanica (que dependen de la temperatura) y en inductancias (que dependen del nivel de flujo magnetico).
■ La maquina se ve afectada por un par de carga externo, generalmente desconocido.
■ El modelo matematico de esta maquina es un sistema multivariable, con varias entradas de voltaje o corriente y una o mas salidas (par, velocidad, posicion, flujo magneítico) a controlar, lo que impone la necesidad de
© 2014 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados http://dx.doi.org/10.10167j.riai.2013.08.001
utilizar técnicas de control más complejas y de mayor cálculo computacional, respecto a esquemas clasicos.
■ Solo se dispone de medición parcial de estados, debido a la incapacidad de medir algunos estados electricos en el rotor.
Las dificultades mencionadas no han sido un impedimento para el diseño de controladores no lineales para el MI. Así, actualmente la tecnica de control mas aceptada en el ambito industrial es el Control por Campo Orientado (FOC por sus siglas en ingles) (Hasse, 1969) (Blaschke, 1972), debido por un lado, al alto desempeno que puede alcanzar1 y, por otro lado, a que tiene una estructura de control basada en lazos proporcionales-integrativos ampliamente estudiada (Leonhard, 2001). Sin embargo y a pesar del exito alcanzado con este esquema, es bien reconocida la necesidad de mejorar aun mas el desempeño, lo que se traduce en la necesidad de desarrollar tecnicas de control mas sofisticadas (Kerkman et al., 1999) que demuestren su capacidad para emplear al MI en aplicaciones mas demandantes en precision y exactitud.
Entre las metodologías de diseno de controladores no lineales que han buscado satisfacer la necesidad de mejora el desempeno, una de las mas atractivas para afrontar problemas industriales es el Control Basado en Pasividad (CBP). Esta tecnica parte de un enfoque energetico, ya que para alcanzar los objetivos de control explota las propiedades naturales de disipacion de energía de los sistemas a controlar (Ortega y Espinosa, 1991) al proponer esquemas de control que generan estructuras en lazo cerrado a las que les corresponden funciones de energía almacenada y disipada moldeadas adecuadamente. Su concepcion se basa en argumentos de la mecanica clasica y mejora las propiedades de robustez del sistema, evitando la presencia de singularidades derivadas del hecho de eliminar no linealidades (Nicklasson et al., 1997).
Bajo este enfoque, en (Espinosa y Ortega, 1994) se propone un algoritmo de control por retroalimentacion de salida globalmente asintoticamente estable para seguimiento de velocidad y regulacion de la norma de flujo de rotor cuya principal característica es que no requiere de los estados no medibles (flujos de rotor) del motor, pero que exhibe una tasa de convergencia del error en velocidad determinada unicamente por el mecanismo natural de amortiguamiento. En (Ortega et al., 1995) se mejora el desempeño del transitorio introduciendo un filtro lineal en el error de velocidad, inyectando así amortiguamiento mecanico en el lazo de control. Finalmente en (Espinosa-Perez y Ortega, 1995) se extiende este resultado mostrando que las propiedades de este enfoque son independientes del marco de referencia en el que se representan las variables del sistema. Desafortunadamente y aunque en las diferentes contribuciones se pueden encontrar bosquejos de su estudio, en ninguna de ellas se aborda de manera precisa el problema de desempeno.
El objetivo de este trabajo es el de presentar los resultados obtenidos de desarrollar un anaílisis del CBP para el MI cuyo fin
1 Estudio realizado por el equipo de investigación y desarrollo de Rockwell Automation (Allen-Bradley Standard Drives Business 6400 W. Enterprise Dr. Mequon, Wisconsin, USA)
fue el de establecer las mejores condiciones para su implemen-tacion experimental de tal forma que se obtuvo una respuesta dinamica que es competitiva (e incluso superior) a los esquemas que actualmente se utilizan en aplicaciones industriales. Este objetivo de desempeno se planteo, en primera instancia, en terminos de la obtencion de respuestas dinamica rápidas y precisas con senales de control con bajo contenido frecuencial, aunque de manera colateral tambien involucro el establecimiento de su mejor programacion (en un contexto computacional) lo que condujo a la propuesta de una política de sintonizacion que facilita su utilizacion por parte del usuario. Una etapa fundamental en la metodología de analisis fue la evaluacion de diversas alternativas para implementar los derivadores requeridos por la ley de control. La cuantificacion del desempeno se realizoí estableciendo indicadores que fueron evaluados tanto en simulacion numerica como en una plataforma experimental. Los experimentos se realizaron sin aplicar par de carga, pero mas adelante se explica porque esta situacion no compromete los resultados obtenidos.
Aunque no es el intereís principal del trabajo, es importante mencionar que la implementacion propuesta para el controlador no compromete sus propiedades de estabilidad previamente establecidas y es congruente con su diseño matematico, es decir, el esquema se obtiene de considerar una descomposicion de las dinamicas electrica y mecanica del sistema como la interconexion en retroalimentacion de subsistemas pasivos, se establece un lazo de retroalimentacion interno que, a traves de la inyeccion de un termino de amortiguamiento no lineal, asegura que el subsistema eleíctrico controlado define un mapa estrictamente pasivo desde las senales de control hasta las salidas medibles de corriente y se anade un lazo exterior que asegura la convergencia de las variables mecaínicas a sus valores deseados.
El resto del artículo esta organizado de la siguiente forma: En la Seccion 2 se presenta el modelo considerado para el MI, se plantea el problema de control abordado y se introduce el CBP. La Seccion 3 esta dedicada a establecer la problematica estudiada, la metodología seguida para el desarrollo del analisis y los criterios de evaluacion establecidos. Los resultados principales obtenidos del analisis se reportan en la Seccion 4, así como su discusion. Finalmente, se plantean algunas conclusiones.
2. Control Basado en Pasividad - Motor de inducción
2.1. Modelo matemático
Se considera el modelo del MI trifaísico de muíltiples pares de polos tipo jaula de ardilla, representado en un plano bifaísico ortogonal equivalente por medio de la transformacioín Blondel-Park (BP) (Blondel et al, 1913), (Park, 1929). Bajo estas condiciones y la consideracion de que las fases son simetricas y ademaís distribuidas sinusoidalmente, se evita la dependencia explícita del modelo respecto a la posicion del rotor, simplificando en gran medida el analisis de dicha maquina (Liu et al., 1989). Esta representacion es conocida tambien como modelo ab (Seely, 1962), (Meisel, 1984), modelo de Stanley (Krishnan, 2001) o modelo en el marco de referencia fijo al estator (Krause et al, 2002).
Suponiendo una relacioí n lineal entre los flujos y las corrientes, que la permeabilidad magneítica en los nuícleos laminados es infinita y despreciando los efectos en las ranuras y las peírdidas en el hierro y devanados, de la aplicacion de la Ley de Gauss y la Ley de Ampere (Espinosa, 1993) se tiene que
LSrh Lrh
donde t = [tj, 1]T e R4 es el vector de éncadénámiéntos de flujos, I = [Ij, Ij]T e R4 el vector de corrientes, Ls, Lr, Lsr > 0 son las inductancias en estator, rotor y mutua, respectivamente, e I2 e R2x2 es la matriz identidad.
A partir de (1) es posible obtener (Espinosa y Ortega, 1994) una representacion no lineal de la dinamica del MI empleando las corrientes de estator y los flujos del rotor como variables de estado electricas del sistema. Este modelo, conocido en la literatura como el modelo ab, estaí dado por
w = —
-yIs + R
1 \ npL>
Jir + -
^ Z^) tr + inpj) tr + |
J1 - (7)
'p^sr jj t
— w--
donde Te es el par mecanico de origen electrico, w la velocidad en el eje del motor, Zs, Zr > 0 las resistencias en estator y rotor, respectivamente, np el nuímero de par de polos, J > 0 la inercia del rotor, B > 0 el coeficiente de amortiguamiento mecanico, tl el par de carga externo aplicado al eje del rotor y Us e R2 los voltajes de estator, mientras que
=Ls - t:
LLsrRr + í-s, I rr
TL2 + T ' j
0 -1 1 0
En este momento es adecuado mencionar que las ecuaciones eleíctricas del modelo (2) pueden ser representadas de manera matricial como
2.2. Formulación del problema de control
El problema de control considerado a lo largo de este trabajo se formula como:
Considere el modelo del MI descrito en (4-5) y suponga que
5.1 Se dispone de medicion de corrientes de estator Is y velo-
cidad del rotor w.
5.2 Todos los parametros del modelo son conocidos.
5.3 El par de carga tl es unafuncion desconocida aunque sua-
ve y acotada con primera derivada acotada.
5.4 La velocidad deseada del rotor wd(t) es unafuncion aco-
tada y dos veces diferenciable, con primera y segunda derivada acotadas.
5.5 La norma del flujo magnético de rotor deseado \\trd\\ es
una constante positiva2.
Bajo estas condiciones, diseñe una ley de control por retro-alimentacion de salida de la forma Us = Us(Is,w) tal que se garantice seguimiento asintotico global de velocidad y regulacion de la norma del flujo de rotor, es decir
lím |w - wd| = 0, lím |\\ir\\ -
t^m t^crj
con todas las seínales internas acotadas.
2.3. Descripcion de CBP
Siguiendo la metodología fundamentada en la propiedad de pasividad del modelo del MI, para establecer la estructura del controlador se define el error de estados electricos como
= Xe Xed, Xed =
Isd trd
Expresando la dinamica electrica del motor (4) en terminos del error (6), se tiene que
Deee + Ce(w)ee + Re(w)ee = ®ei
LrTI2 0 0 I2
npLsr Jw
-n„LsrJ' w -n„Jw
De Xe Ce(w)
LrTyh - LLRrI2
- llRI2 + npLsrJ' w RI2
Is \l-us
Re (w) Xe Qe
con lo que el modelo completo puede escribirse como
DeXe + Ce(w)Xe + Re(w)Xe = Qe
Jó) + Bw = Te - tl.
Esta representacion compacta permitirá presentar de una manera mas sencilla, como se vera adelante, tanto la estructura como las propiedades de estabilidad del CBP.
<&e¡ =
®e1 ®e2
= Qe - {DeXed + Ce(w)Xed + Re(w)Xed} (8)
donde <&d e R2, i = 1, 2.
Para el diseno de la ley de control se considera, primero, el termino derecho de las dos primeras filas de la ecuacion matri-cial (8), los cuales se escriben como
®e1 = LrUs - {LrTI ssd + npLsrJwtrd +
L2srRr
+ LsRs Isd
- trd.
2|| ■ || es la norma Euclidiana.
De esta expresion, si se considera la estructura para los voltajes de control dada por
n„Ls,
- Jótfr-d +
LjRr L2
+ RAI:
'~f-d - Ke(ú))ei,
donde se incluye un termino de amortiguamiento Ke(oj) en el error de corrientes, entonces se obtiene que
®ei = -Ke(«)ei.
Es importante destacar que la dependencia de esta ganancia respecto a « se requiere para garantizar la convergencia de los errores (6) a cero. De hecho, la expresion precisa para ella es
Ls-npó2
Ke(w) = ^L-P— ; 0 < e < Rr. 4e
Una vez definida la estructura del controlador, se procede a definir las diferentes variables involucradas en esta política de control. Para esto, se consideran las dos segundas filas de la ecuacion matricial (8) dadas por
®e2 = 0 - [\jfrd - np^Jfrd - Rl—Lh Isd + ^hfrd}- (13)
Si se propone para las corrientes deseadas de estator la expresion dada por
Lr L Rr \
Isd = Ry Wrd - npúiJ^rd + — tfrrdl (14)
RrLsr Lr
mientras que los flujos de rotor deseados se obtienen como so-lucioín del sistema dinaímico
fi-d = npw+
npU-dW2
Td \Jf-d'; tfr-d (0) =
\W-dW 0
entonces se obtiene, por un lado, que ®e2 = 0 y, por otro lado que
L-¡T—¡72 TdJty-d + y <P-d- (16)
Ls-np\\Y-\\ Ls-
La última variable que requiere ser definida es el par mecánico de origen electrico deseado Td. Para esto, se define el error de velocidad ew = « - wd y se expresa la dinamica mecanica (5) en terminos de esta variable como
Jéw + Bew = Te - tl - Já>d - Bwd. Si se define
Td = Jó)d + Bwd + TL - z,
Tl = -Kó
eudt; Kói > 0, Tl(0) = Tlo
el par de carga estimado y z el error de velocidad filtrado, dado como la salida del filtro lineal
entonces la dinaímica del error de velocidad se escribe como
Jéó + Bew = Te - Td - tl + Tl - z.
Antes de establecer las propiedades de estabilidad del con-trolador propuesto, es importante reconocer algunas de sus características, específicamente:
■ La ley de control (10) requiere para su implementáci0n tanto las derivadas de Isd dada por
■ (TdJtfr-d + TdJ^-d) + -1 <k-d, (21)
Ls-np \\^-d\\2
como de Td, que se escribe como
Td = Jó)d + Bód + Tl - Z
■ La necesidad de incluir el filtro (19) se desprende de las derivadas mencionadas en el punto anterior, ya que si hiciera depender al par deseado Td directamente del error de velocidad ew, entonces al calcular Td se tendría que utilizar la medicion de aceleracion para implementar el controlador propuesto (Ortega etal., 1995).
■ El estimador de par de carga (18) posee una estructura ampliamente utilizada en la praíctica industrial. Desde una perspectiva matemaítica, una de sus ventajas radica en el hecho de que el operador integral exhibe tambieín propiedades de pasividad.
■ De la ecuacion (20) es facil reconocer que si Te ^ Td, TL ^ tl y z ^ 0, entonces e0J tendera a cero. Esta propiedad establece de hecho, la estructura de la prueba de estabilidad del esquema en lazo cerrado.
2.4. Propiedades del CBP
Para establecer las propiedades de estabilidad del esquema de control considerado, un hecho fundamental (Espinosa y Ortega, 1994) es que el modelo (4-5) se puede representar como la interconexion de dos subsistemas pasivos (vea Figura 1), uno electrico (Ee), que es pasivo desde la entrada [Us, -w]T hasta la salida [Is, Te]T, y otro mecanico (£m), que es pasivo desde la entrada (Te - tl) hasta la salida o>.
Figura 1: Descomposicion del MI en dos subsistemas pasivos
A partir de esta estructura, se puede demostrar que la ley de control (10) establece un lazo de retroalimentacion para Se que convierte su naturaleza pasiva en estrictamente pasiva a la
Z = -az + be<ó, a, b > 0, z(0) = e„(0),
Us = visd +
salida, sujeto a una "perturbacion" pasiva dada por el sistema £m. Para demostrar esto, se considera la funcion tipo3 energía
He = 2 ee Deee
cuya derivada en el tiempo, evaluada a lo largo de las trayectorias de la dinaímica del error (7) y considerando la definicioín de la ley de control (10), es
He = -ejR e(w)ee, (24)
debido a la estructura anti-simeítrica de Ce(w) y en donde
Re(w) =
(LrTY + Ke(w))I2 -LJRrI2 - 2npLsn
—LL-LI2 + 2 npLs-JT
Si se considera la expresion (12), entonces se prueba (aplicando el Complemento de Schur, por ejemplo) que Re(w) es una matriz definida positiva y por lo tanto que el error eleíctrico ee tiende exponencialmente a cero para toda velocidad de rotor acotada, es decir ee = 0 es un punto de equilibrio Globalmente Exponencialmente Estable (GES por sus siglas en ingleís).
Este resultado se complementa explotando la estructura de la dinamica del error de velocidad dada por (20), (19) y (18). De ella, se puede obtener un mapa que es Entrada/Estado Estable (ISS por sus siglas en ingles) desde ee hasta ew, por lo que se tiene la interconexion de un sistema GES con uno ISS. La prueba se concluye aplicando argumentos de sistemas pasivos interconectados para demostrar que ew tiende a cero asintotica-mente (Ortega et al., 1995).
3. Resultado Principal
3.1. Problemática identificada para implementacion
Para la identificacion de los problemas de implementacion del CBP para el MI, se empleo la metodología de Analisis Causa-Raíz (RCA por sus siglas en ingles) mediante el uso de la herramienta conocida como Diagrama de Ishikawa (Ishikawa, 1990). El RCA es un metodo de resolucion de problemas dirigido a identificar las causas o acontecimientos que los generan. Se basa en el supuesto de que los problemas se resuelven mejor al tratar de corregir o eliminar las causas raíz, en vez de simplemente tratar los síntomas evidentes de inmediato (Amendola, 2006). Esta metodología de analisis es util para identificar los motivos tecnicos por los cuales el desempeno del controlador se deteriora y su realizacion permite proponer mecanismos de solucion de acuerdo a la naturaleza que los causa.
En un diagrama Ishikawa o espina de pez, se distingue mediante una línea horizontal la espina central unida a la cabeza del pez donde se describe el problema a analizar. A ella se conectan líneas oblicuas, que representan las espinas del pez, donde se muestran las posibles causas por las cuales el desem-peno del controlador se ve comprometido y estas se agrupan de
3El termino tipo se utiliza porque esta funcion no cumple con las condiciones formales para calificar como funcion de energía. Sin embargo comparte estructura con la funcion de energía de dada por He = 2 xTDéxé.
acuerdo al ambito en que se producen. Para su elaboracion se requiere de un equipo multidisciplinario que aporte ideas que conduzcan a la identificacion de las causas que generan el problema. Una vez realizado este proceso, la estrategia a seguir para la solucion de estos inconvenientes esta definida por un cuadro de valoracion, el cual toma como criterios de ejecucion la facilidad para aplicar las correcciones necesarias y el nivel de impacto que estas generan en la solucion del problema, por lo que se sugiere realizar primero las correcciones que presentan menor dificultad para su implementacion y que logren mayor impacto en la solucion de problema propuesto. Dichas tareas deben ser numeradas de forma ascendente. Para el caso particular del CBP, esta metodología se empleo recesivamente generando un nuevo analisis en cada una de las causas planteadas, lo que permitioí identificar sistemaíticamente las dificultades existentes y proponer soluciones apropiadas a cada uno de los problemas que impiden la correcta implementacion del controlador CBP.
Los principales problemas analizados se muestran a conti-nuacioí n:
P.1 La ley de control requiere derivar las corrientes en estator deseada Isd, lo que implica derivar el par electromagnetico deseado Td y a su vez el error de velocidad w - wd, lo cual amplifica el ruido presente en la medicioín de velocidad.
P.2 Las senales de corriente de estator medidas Is contienen niveles moderados de ruido, debido a la teícnica de conmutacion propia del inversor. Esto induce tambien ruido en la accion de control Us en proporcion a la ganancia dinamica Ke (w).
P.3 La introduccion del filtro lineal descrito en (19), para evitar el problema de medicion de aceleracion, trae como consecuencia:
P.3.1 Complicacion en la sintonizacion del controlador, debido a que esta depende de los perfiles de velocidad deseados wd con lo que se deben sintonizar en total 6 parametros, a, b, e, Kw, Kwi y -rL0, fuertemente relacionados.
P.3.2 La eleccion inapropiada de los parámetros del filtro
genera, en algunos casos, oscilaciones sostenidas. P.3.3 Deteriora el transitorio cuando se requieren respuestas del motor rápidas (la accion de control no gobierna al filtro).
P.3.4 Incrementa el costo computacional y dificulta la puesta en marcha.
3.2. Metodología y criterios de evaluacion
Se evaluo al CBP en simulacion y en una plataforma experimental, con el objetivo de establecer una clasificacion que premie el mejor desempeno, contemplandose los siguientes escenarios de evaluacioín:
■ Escenario n.°1: Dado Isd en (16), se obtiene Isd aplicando un derivador puro directamente.
Escenario n.°2: Similar al escenario n.°1, pero anteponiendo al derivador puro un filtro pasa bajas de primer orden con fc = 628 rad/s.
Escenario n.°3: Se obtiene la derivada de las corrientes deseadas I sd a partir de Isd aplicando un derivador sucio4 de la forma
1 sd = -7 Isd (25)
con s = d y A> 0.
■ Escenario n.°4: Tanto Isd como Td se implementan de acuerdo a sus expresiones analíticas dadas por (21)y (22), respectivamente. Sin embargo, en lugar de inyectar amortiguamiento mecanico en terminos de la variable z, se im-plementa un derivador sucio en el error de velocidad ea, ajustando su frecuencia de corte a 628 rad/s, para generar el error de aceleración ea.
■ Escenario n.°5: Se obtiene la derivada de las corrientes deseadas Isd analíticamente como en (21) mientras que para obtener la derivada del par deseado Td se emplea un derivador sucio aplicado al par deseado Td, definido en (17) y ajustado su frecuencia de corte a 628 rad/s.
■ Escenario n.°6: Se obtienen analíticamente tanto Isd como Td, dadas en (21) y (22), respectivamente, y se sustituye directamente el valor de z de la expresion (19)5.
Los escenarios de evaluacion anteriormente descritos contemplan las posibles combinaciones que existen para obtener el valor de la derivada de corrientes deseadas I sd en este esquema de control. Por otro lado, es claro que para poder cuantificar correctamente el desempeño obtenido por el y evaluar de forma justa y sistematica cada uno de los escenarios, se requieren de metricas estandares e indicadores clave de desempeno (KPI por sus siglas en ingles) para así establecer una clasificacion fundamentada en el desempeno obtenido. Los KPI considerados en este trabajo son:
■ Error Cuadratico Medio (ECM) en velocidad de una muestra de dimension n. Este indicador muestra el error acumulado independientemente del signo que este tome y se define como
ECMa =
ECM en ambas corrientes de estator, dado por
ECM¡ =
-Y(¡s - ¡sd)2 n t—i
4Para mayor detalle sobre este metodo de diferenciacion refierase a (Kelly et al., 1993), (Ortega et al., 1994) y para la metodología de sintonizacion a (Mujica, 2012)
5Es interesante mencionar que esta es la opcioí n de implementacioín considerada en la literatura relacionada con el controlador estudiado.
■ Cota inferior y superior del error de velocidad ew.
■ Rango maximo del error de velocidad eb¡.
■ Valor maximo y mínimo intantaneos de las dos componentes del vector de corrientes en estator, denotadas como Isa e Isb, con el fin de identificar transitorios indesea-dos en los devanados de estator que ocasionen el desgaste prematuro.
■ Amplitud y contenido frecuencial en la accion de control Us y en las corrientes de estator Is para considerar los armonicos que se generan en estas variables.
4. Plataforma de evaluación
Los experimentos presentados en este artículo fueron imple-mentados en la plataforma dSPACE DS1104, constituida por un procesador PowerPC 603e de 64 bits de punto flotante (corriendo a 250 MHz) y un subsistema esclavo basado en el procesador digital de senales TMS320F240 (operando a 25 Mhz). Esta plataforma se encuentra integrada al entorno Simulink y cuenta con una interfaz gráfica de usuario denominada ControlDesk, que permite la visualizacion y captura de datos. Adicionalmen-te, la estacion experimental esta compuesta por un MI trifasico de la marca Baldor (modelo ZDNM3581T) con velocidad nominal de 1725 rpm, 1 HP de potencia mecanica, 4 polos y tension nominal de 230 V (RMS). El motor esta equipado con un codificador incremental de 1024 pulsos por revolucion, con senales negadas y de indexado. Respecto a los circuitos impulsores, el banco incluye un rectificador-inversor trifasico, compuesto por dispositivos SCR e IGBT en la etapa de rectificacion e inversion, respectivamente, operando a una frecuencia de conmutacion de 10800 Hz, con capacidad de hasta 3 kW como potencia nominal de salida. Las mediciones de corriente en las tres fases se realizan mediante los sensores magneto-resistivos aislados NT-15 de la marca F.W. Bell con capacidad nominal de 15 A. En la Figura 2 se muestra un diagrama general de la estacion experimental.
Rectificador-Inversor
Sensores de corriente y
acondicionamiento de
señal
| Codificador | ^ incremental \
Figura 2: Diagrama de bloques de la plataforma experimental
Concerniente a los parámetros del motor, estos fueron considerados como: Rs = 2,516 Q, Rr = 1,9461 Q, Ls = 0,2340 mH, Lr = 0,2302 mH, Lsr = 2226 mH y B = 1,1 x 10-4 N- m • s/rad. El valor de la inercia fue J = 6,04675 x 10-3 kg- m2, el cual incluye la inercia del codificador incremental y su respectivo
acople, que en conjunto tienen un valor de 6,2764 x 10-5 kg-m2. En todos los experimentos se considero tl = 0.
Respecto a la sintonizacion del controlador, en todos los escenarios se consideraron Kw = 2 (ya que a partir de los parametros asumidos se sugiere 0 < Kw < 3 para determinar la ganancia del lazo de velocidad), Kwi = 2Kw, KI2 = 10Kw (debido a que la estructura del controlador se asemeja a un sistema en cascada, por lo que la ganancia del lazo interno o de corrientes debe ser aproximadamente diez veces mayor que la del lazo de velocidad), mientras que Wi^W = 0,485 Wb. Para el escenario n.°6 se asigno a = 750, b = 500, e = 1 y -rL0 = 0,1; para el escenario n.°4 se considero A = 250 (debido a que corresponde al valor maximo de la tasa de variacion del perfil de velocidad deseado). En este punto conviene mencionar que esta seleccioín de ganancias esta inspirada en las sintonizaciones reportadas en la literatura relacionada con el controlador estudiado (vea por ejemplo (Espinosa-Perez et al., 1995), (Espinosa-Perez et al., 1996), (Cecati y Rotondale, 1999) o (Avila, 2009)).
El perfil de velocidad considerado demanda grandes variaciones tanto en velocidad como en el sentido de giro, condiciones poco habituales en este tipo de maíquinas rotatorias y que sirven para ilustrar como con la implementacion propuesta, el CBP puede lidiar con condiciones que usualmente no se alcanzan en aplicaciones industriales. El perfil obliga al MI a acelerar desde el estado de reposo hasta la velocidad nominal (182,64 rad/s) en tan solo un segundo para que en el tiempo t = 2 s desacelere hasta invertir el sentido de giro y nuevamente acelerar, alcanzando la velocidad nominal. Posteriormente, se repite la secuencia anterior con mayor aceleracion pero alcanzando velocidades menores, para finalmente permanecer detenido hasta que termina el experimento.
El tiempo de simulacion fue t = 13,1072 s y se utilizo el metodo de solucion numerica ODE45 (con periodo de integracion ti = 0,0001 s). Para el calculo del ECM se empleo n = 131072 muestras y para la obtencion del espectro frecuencial en voltajes y corrientes se utilizo la Transformada Rapida de Fourier (FFT por sus siglas en ingles) fuera de línea con ventana de muestreo simetrica tipo Hann.
4.1. Propuesta de implementacion para alto desempeño
La clasificacion generada en simulacion mostro que el escenario n.° 1 tiene el mejor desempeno en terminos del ECM en velocidad. Sin embargo, debido a que el analisis se realizo en ausencia de ruido, fue descartada esta opcion para implementacion y unicamente se presenta a continuacion la clasificacion de los resultados experimentales.
De la Tabla 1 se obtiene que el Escenario n.°4 tiene el mejor desempeño considerando como indicadores principales los ECM en velocidad y corriente. Adicionalmente, como se muestra en la Figura 3, el contenido frecuencial de la señal de control Usa se encuentra dentro de margenes aceptables de acuerdo a la norma IEC 60034-176 reportada en (WEG, 2010).
Figura 3: Espectro frecuencial de acctón de control en escenario n.°4
La importancia del anaílisis presentado radica en el hecho de que, a partir de la metodología RCA, fue posible reconocer que las causas por las que el controlador implementado en el Escenario n.°4 obtiene mejores desepenos, se pueden recuperar con el control que corresponde al Escenario n.°6, es decir, el considerado en la literatura relacionada con el controlador estudiado, bajo las siguientes modificaciones:
M.1 La ecuacion que define el termino de correccion del error electrico e inyeccion de amortiguamiento dada en (12) se redefine como
Lsynipù) Lr
Ke(a>) = —R-+ K12;
K¡2 > 0. (26)
M.2 El par deseado Td definido en (17), toma la forma Td = Júd + Bú)d + tl - Kuz,
donde se distingue el termino proporcional de inyección de amortiguamiento mecanico Kw.
M.3 Para la estimacion del par de carga tl definida en (18), se considera una condition inicial igual a cero, es decir
Tl = -KM-eu; TL(0) = 0; K0Ji > 0. (28)
-recuencia (Hz)
Frame: 2
Tabla 1: Clasificacion en base al desempeño del PCB experimental
M.4 Los paraímetros a y b del filtro (19) se sintonizan al mismo valor, con lo que se implementa como
z = -Az + Aew; z(0) = ew(0); A > 0 (29)
6En esta norma se estudia el aumento de las peírdidas de potencia del motor (operando con valores nominales de par y velocidad) debidas al uso de convertidores de potencia que generan frecuencias armoínicas sumadas a la frecuencia fundamental.
Debido a que las modificaciones presentadas no modifican las propiedades de estabilidad del CBP presentado en la Sección 2.3, ellas establecen una propuesta formal de implementacion y sintonizacion del mismo, a partir de las cuales es posible mejorar su desempeño dinamico.
4.2. Evaluacion de la propuesta de implementacion
Con el fin de validar el resultado obtenido, se compararon experimentalmente las respuestas obtenidas del CBP con y sin incluir las modificaciones de implementacion propuestas. Estas se presentan en las Figuras 4-8 identificando la implementacion modificada con el Escenario de evaluacion de alto desemperno, en la parte inferior de las mismas, y la implementacion sin modificar con el Escenario de evaluacion n.°6, en la parte superior. De esta evaluación y en referencia a la Tabla 1, se obtuvo que el ECM en velocidad fue 0,1588181155 rad/s, el de corriente de la fase a fue 0,535559178 A, las cotas inferior y superior del error de velocidad fueron -1,975799647 rad/s y 0,451489708 rad/s, respectivamente, y el rango del error de velocidad fue de 2,427289356 rad/s.
En la Figura 4 se observa como el controlador modificado exhibe un mejor desempeno respecto al no modificado, en particular cuando se exigen cambios drásticos en el perfil de velocidad y cuando opera en las cercanías de velocidad cero. Esta mejora se evidencia mas claramente en la Figura 5, la que presenta una comparacion de los errores de velocidad generados. En ella se verifica que el rango de error de velocidad para el esquema no modificado es del 12,46 % de la velocidad nominal, mientras que para el modificado esta variable alcanza tan solo el 1,05%.
La comparacion de los voltajes de control en una de las fases del motor se muestra en la Figura 6. En ella se observa que el esquema no modificado exige voltajes de control con amplitudes superiores al valor del bus de CD del rectificador-inversor, el cual esta limitado a 311 V, lo que implica que el controlador entra en un régimen de saturacion. En contraparte, el esquema modificado opera siempre con valores que evitan este fenomeno no deseado.
Los resultados obtenidos para las corrientes de estator presentan un escenario similar al de los voltajes de control, como se muestra en la Figura 7. Mientras que el esquema modificado demanda menor amplitud de corriente para alcanzar satisfactoriamente el objetivo de control, alcanzando valores menores a la corriente nominal, el escenario n.°6 excede estos margenes.
En relacion a la estimacion del par de carga, el mejor desempeno del esquema modificado se evidencia en la Figura 8, ya que es claro que el valor esperado para esta variable es cercano a cero, debido a que la maquina solo esta recibiendo el efecto de la inercia de la flecha y el codificador.
Una vez establecida la superioridad del esquema modificado y evidenciada su capacidad para alcanzar altos desempenos, su evaluacion se complemento incluyendo un perfil de velocidad maís exigente, el cual incluyoí cambios en el sentido de giro del rotor. Específicamente, se acelero al motor de 0 a 1500 rpm (89 % de la velocidad nominal) en tan solo 500 ms, para luego desacelerarlo hasta detenerlo, invertir giro y alcanzar nueva-
Figura 4: Perfil de seguimiento de velocidad
mente las 1500 rpm en t = 1 s, tomando un comportamiento sinusoidal periodico como se observa en la Figura 9a.
El error de velocidad para el perfil sinusoidal correspondio al 1,93 % de la velocidad nominal en el arranque y del 0,22% a partir de t = 200 ms, como se puede ver en la Figura 9b. Así, se puede afirmar que la velocidad real siguio con notable precision a la velocidad de referencia, alcanzandose el objetivo de control satisfactoriamente.
Adicionalmente, en la Figura 10a se muestra el voltaje de control correspondiente a una de las fases del motor, en donde se observa que su valor maximo instantaneo no excedio los 311 V que corresponden al voltaje de bus CD del rectificador-inversor, garantizando un correcto funcionamiento del sistema sin que el controlador presente fenomenos de saturacion.
En la Figura 10b se incluye el comportamiento de una de las corrientes del motor. Su valor en estado estacionario fue menor al valor nominal, aunque debe notarse que su valor de arranque (6,6 A) si lo excede. Sin embargo, este comportamiento es razonable, ya que se debe a que el controlador aun no consigue regular el flujo deseado y a que el perfil de velocidad exige mucha energía para que en tan poco tiempo logre acelerar al MI y vencer la inercia propia del mismo.
La parte final de la evaluacion del esquema modificado consistio en imponer un perfil de velocidad mas drástico que el anterior. Este se denomino perfil sinusoidal II y consistio en acelerar de 0 a 800 rpm en 111 ms para luego desacelerar, cruzar
por cero e invertir el giro hasta alcanzar nuevamente 800 rpm en solo 222 ms. La motivacion de este perfil viene del hecho de que corresponde a una operacion en la que las corrientes de estator alcanzan justamente su valor nominal en estado estacionario. La respuesta de velocidad del motor se muestra en la Figura 11a, mientras que el error de velocidad se incluye en la Figura 11b. En estas figuras se evidencia el alto desempeno alcanzado.
4.3. Discusion
Tomando en cuenta los resultados experimentales obtenidos en la evaluacioín del esquema de control, se tiene que:
■ Considerando los tres perfiles de velocidad impuestos, se puede afirmar que la propuesta de implementacion para el CBP establece una alternativa viable para obtener desempenos que son equiparables (e incluso superiores) a los obtenidos en aplicaciones industriales. Esta afirmacion se basa en hechos como el que el error es menor al 0,98 % de la velocidad nominal en el arranque y menor al 0,27 % en operacion continua, esto inclusive al momento de invertir el sentido de giro.
■ Una característica de las evaluaciones reportadas del CBP era la carencia de una política de sintonía para el filtro descrito en (19). Mientras que en (Ortega et al., 1995) consideran a = 80 y b = 10, en (Espinosa-Perez et al.,
(a) Escenario de evaluación n.°6
(a) Escenario de evaluación n.°6
Tiempo [s]
(b) Escenarlo de evaluación de alto desempeño
Tiempo [s]
Figura 5: Error de seguimiento de velocidad
2 4 6 8
Tiempo [s]
(b) Escenario de evaluación para alto desempeño
—i-1—
: : : : : I_UaJ
ml jm ±
0 2 4 6 8 10 12
Tiempo [s]
Figura 6: Accion de control correspondiente a la fase a en el marco bifasico
1996) se asigna a = 20 y b = 10, en (Nicklasson et al.,
1997) estos valores son a = 1000 y b = 320, en (Cecati y Rotondale, 1999) se utiliza a = 100 y b = 29yen( Avila, 2009) se elige a = 0,5y b = 5. La consecuencia de esto es la obtencion de desempenos muy diferentes. En este sentido, la propuesta de implementacioín se puede considerar como una política de sintonía que establece la eleccion de un unico parámetro, fundamentada en la maxima tasa de variacioín del perfil de velocidad deseado.
■ Es importante mencionar que no se tiene una certeza absoluta respecto a conocer el valor de los parámetros del motor. En reportes anteriores, por ejemplo en (Torres, 1999) y (Guerrero, 2000), se han obtenido diferentes valores bajo diferentes escenarios de evaluacion. Esto permite afirmar que aunque la suposicion (S.2) es necesaria para establecer las propiedades de estabilidad del esquema, en realidad sus propiedades de robustez son mayores a las formalmente probadas.
■ La ausencia de par de carga en la evaluacion realizada impone, evidentemente, un argumento en contra de los resultados obtenidos. Sin embargo, los autores de este trabajo consideran que esto no representa un inconveniente mayor. Este razonamiento se basa en el hecho de que para perfiles de velocidad usuales, por ejemplo el primero de los considerados, la operacion del esquema se lleva a
^ - ^d
^ - ^d
(a) Escenario de evaluación n.°6
(a) Escenario de evaluación n.°6
0 2 4 6 8 10
Tiempo [s]
(b) Escenario de evaluación para alto desempeño
~i-1-1-1—
Mi ill in m
0 2 4 6 8 10
Tiempo [s]
Figura 7: Corriente medida en la fase a del estator
Tiempo [s]
(b) Escenario de evaluación para alto desempeño
Figura 8: Par de carga estimado
cabo con un consumo de energía inferior al disponible en la plataforma experimental. De esta manera, es razonable esperar que el excedente sirva para lidiar con este tipo de perturbaciones.
■ De manera similar a la suposicion (S.2), aunque las suposiciones (S.3) y (S.4) son necesarias en un contexto de analisis de estabilidad, los resultados experimentales muestran que ellas pueden relajarse, ya que el uso del filtro de velocidad y del mecanismo de estimacion permiten suavizar las posibles discontinuidades impuestas por el perfil de velocidad deseada y el par de carga.
5. Conclusiones
En este trabajo se presenta una propuesta de implementa-cion para el CBP del MI reportado en la literatura que establece, al mismo tiempo, una política de sintonizacion para el mismo. Esta propuesta, por un lado, respeta todas las condiciones bajo las cuales sus propiedades de estabilidad son establecidas, pero por otro lado, permite mejorar drásticamente el desempeno obtenido. De esta forma, los resultados experimentales mostrados permiten establecer que este esquema de control es competitivo (incluso superior) respecto a los esquemas actualmente utilizados en ambientes industriales. Los resultados obtenidos establecen trabajo de investigacion que actualmente se desarrolla y que
permite conjeturar la obtención de una mejor respuesta del sistema, específicamente: Inclusion de par de carga, mejoramiento en la instrumentation del banco de pruebas, inclusion de referencias variantes en el tiempo para la norma de flujo de rotor deseado y mejoramiento en el conocimiento de los parámetros del motor.
English Summary
Nonlinear Passivity-Based Control of Induction Motors for High Dynamic Performance.
Abstract
Position and velocity tracking control with high dynamic performance of induction motors has generated great interest in the control community, due to the advantageous characteristics that this rotating machine exhibits. Unfortunately, the results reported in the specialized literature about this topic are mainly focused on the study of the stability properties of the control scheme, leaving the dynamic performance as a secondary issue. In this paper, the analysis of a nonlinear controller designed using passivity concepts is presented. This analysis is mainly oriented towards the performance evaluation of the induction motor when highly variable velocity profiles are imposed. Following a Root-Cause analysis, it is evaluated the im-
Tiempo [s]
(a) Seguimiento de velocidad de forma sinusoidal I en escenario de alto desempeño
(a) Acción de control de perfil sinusoidal I en escenario de alto desempeño
Tiempo [s]
(b) Error de seguimiento de velocidad de perfil sinusoidal I en escenario de alto desempeño
Tiempo [s]
(b) Corriente de estator de perfil sinusoidal I en escenario de alto desempeño
Figura 9: Respuesta al perfil de velocidad sinusoidal en el escenario de alto desempeño
Figura 10: Voltaje de control para el perfil de velocidad sinusoidal en el escenario de alto desempeño
plementation facility of this control scheme and the required implementation issues that improve its dynamic response. Special attention is given to the necessity of differentiate signals that appears in the control structure and several alternatives to carry this operation out are evaluated. The results are presented in simulation, as well as, in an experimental setup. In both cases the analysis is validated by key indicators of performance that identify the scenario with the best behavior under different operation conditions. The results show that the scenario with the best performance corresponds to the basic structure considered in the literature but incorporating suitable modifications that define a tuning strategy that allows to reach excellent dynamic performance.
Keywords:
Induction Motor, nonlinear passivity-based control, speed tracking, high dynamic performance.
Agradecimientos
Parte de este trabajo fue desarrollado con el apoyo de DGA-PA - UNAM (IN114513) y II-FI-UNAM (1111). El trabajo de Hoover Mujica fue desarrollado con el apoyo de CONACYT, Mexico.
Referencias
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■ - ■d
Tiempo [s]
(a) Seguimiento de velocidad de forma sinusoidal II en escenario de alto desempeño
(b) Error de seguimiento de velocidad de perfil sinusoidal II en escenario de alto desempeño
I- — e^ I
A. J\ S i AA AA
v V VVV V V V V ^ / V\ r \r
Tiempo [s]
Figura 11: Respuesta al perfil de velocidad sinusoidal II en el escenario de alto desempeño
dings. CIEP 95., IV IEEE International. pp. 33 -38. DOI: 10.1109/CIEP.1995.535931 7 Espinosa-Perez, G., Ortega, R., jan 1995. An output feedback globally stable controller for induction motors. Automatic Control, IEEE Transactions on 40 (1), 138 -143. DOI: 10.1109/9.362883 2 Guerrero, C., 2000. Control de motores de induccion para maximizacion de par con mejora en el desempeño : una evaluación experimental. Tesis maestría, Universidad Nacional Autónoma de Mexico. 9 Hasse, K., 1969. Zur dynamik drehzahlgeregelter antriebe mit stromrichtergespeisten asynchron-kurzschlußlaufermaschinen (on dynamics of the speed controlled static ac drive with squirrel-cage induction machine). Tech. rep., Technische Hochschule Darmstadt. 2
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34 Tiempo [s]
