Scholarly article on topic 'Estimación simultánea de datos hidrológicos anuales faltantes en múltiples sitios'

Estimación simultánea de datos hidrológicos anuales faltantes en múltiples sitios Academic research paper on "Educational sciences"

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{"algoritmo de Beale–Little" / "regresión lineal múltiple" / "coeficiente de correlación lineal" / "río Tempoal" / "Alto río Grijalva" / "Beale–Little algorithm" / "multiple linear regression" / "linear correlation coefficient" / "Tempoal River" / "Upper Grijalva River"}

Abstract of research paper on Educational sciences, author of scientific article — Campos-Aranda Daniel Francisco

Resumen La deducción de los datos anuales faltantes en los registros hidrológicos, es necesaria para integrar series con un periodo común, las cuales son requeridas en los estudios de simulación de los sistemas hidráulicos y en varios métodos regionales de estimación de crecientes. Además, las estimaciones estadísticas se vuelven más confiables y exactas conforme proceden de series completas más amplias. La regresión lineal múltiple (RLM) permite estimar datos anuales faltantes con base en los registros cercanos que tienen dependencia o correlación con la serie incompleta. El algoritmo de Beale–Little se basa en la RLM y considera cada registro como variable dependiente y el resto como regresores; emplea toda la información disponible, no únicamente el periodo común de datos y conduce a una estimación simultánea de los valores anuales faltantes en los registros procesados. Se describen tres aplicaciones numéricas del algoritmo de Beale-Little para estimar datos anuales faltantes de volumen escurrido y de gasto máximo, en el sistema del río Tempoal y en el Alto río Grijalva de las Regiones Hidrológicas Núm. 26 (Pánuco) y Núm. 30 (Grijalva–Usumacinta), que tienen cinco estaciones hidrométricas, cuatro de ellas completas. Las conclusiones destacan las ventajas del procedimiento descrito e ilustrado numéricamente y recomiendan su aplicación sistemática debido a que su implementación es sencilla. Abstract The deduction of annual missing data in hydrological records is necessary to integrate series with a common period, which are required in simulation studies of hydraulic systems and several regional flood estimation methods. Besides, the statistical estimates become more reliable and accurate when full and extensive series are utilized. Multiple linear regression (MLR) allows estimating annual missing data based on close records that have dependence or correlation with the incomplete sequence. The Beale–Little algorithm is based in MLR where each record considered as a dependent variable and the rest as regressors; uses all available information, not only the common data period and leads to a simultaneous estimation of annual missing values in the records processed. Three numerical applications of the Beale–Little algorithm are described to estimate annual missing data of runoff volume and maximum flow in the system Tempoal River and Upper Grijalva River of the Hydrological Regions No. 26 (Panuco) and No. 30 (Grijalva–Usumacinta), which has five hydrometric stations, four of which are complete. The conclusions pointed out the advantages of the procedure described and illustrated numerically and recommend its systematic application given its ease of implementation.

Academic research paper on topic "Estimación simultánea de datos hidrológicos anuales faltantes en múltiples sitios"

Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XVI (número 2), abril-junio 2015: 295-306 ISSN 1405-7743 FI-UNAM (artículo arbitrado)

doi: http://dx.doi.Org/10.1016/j.riit.2015.03.013

Estimación simultánea de datos hidrológicos anuales faltantes en múltiples sitios

Simultaneous Estimation of Hydrologie Annual Data Missing in Multiple Sites

Campos-Aranda Daniel Francisco

Profesor Jubilado de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí Correo: campos_aranda@hotmail.com

Información del artículo: recibido: marzo de 2014, aceptado: mayo de 2014

Resumen

La deducción de los datos anuales faltantes en los registros hidrológicos, es necesaria para integrar series con un periodo común, las cuales son requeridas en los estudios de simulación de los sistemas hidráulicos y en varios métodos regionales de estimación de crecientes. Además, las estimaciones estadísticas se vuelven más confiables y exactas conforme proceden de series completas más amplias. La regresión lineal múltiple (RLM) permite estimar datos anuales faltantes con base en los registros cercanos que tienen dependencia o correlación con la serie incompleta. El algoritmo de Beale-Little se basa en la RLM y considera cada registro como variable dependiente y el resto como regresores; emplea toda la información disponible, no únicamente el periodo común de datos y conduce a una estimación simultánea de los valores anuales faltantes en los registros procesados. Se describen tres aplicaciones numéricas del algoritmo de Beale-Little para estimar datos anuales faltantes de volumen escurrido y de gasto máximo, en el sistema del río Tempoal y en el Alto río Grijalva de las Regiones Hidrológicas Núm. 26 (Pá-nuco) y Núm. 30 (Grijalva-Usumacinta), que tienen cinco estaciones hidro-métricas, cuatro de ellas completas. Las conclusiones destacan las ventajas del procedimiento descrito e ilustrado numéricamente y recomiendan su aplicación sistemática debido a que su implementación es sencilla.

Ingeniería

Investigación y Tecnología

Descriptores:

• algoritmo de Beale-Little

• regresión lineal múltiple

• coeficiente de correlación lineal

• río Tempoal

• Alto río Grijalva

Abstract

The deduction of annual missing data in hydrological records is necessary to integrate series with a common period, which are required in simulation studies of hydraulic systems and several regional flood estimation methods. Besides, the statistical estimates become more reliable and accurate when full and extensive series are utilized. Multiple linear regression (MLR) allows estimating annual missing data based on close records that have dependence or correlation with the incomplete sequence. The Beale-Little algorithm is based in MLR where each record considered as a dependent variable and the rest as regressors; uses all available information, not only the common data period and leads to a simultaneous estimation of annual missing values in the records processed. Three numerical applications of the Beale-Little algorithm are described to estimate annual missing data ofrunoffvolume and maximum flow in the system Tempoal River and Upper Grijalva River of the Hydro-logical Regions No. 26 (Panuco) and No. 30 (Grijalva-Usumacinta), which hasflve hydrometric stations, four of which are complete. The conclusions pointed out the advantages of the procedure described and illustrated numerically and recommend its systematic application given its ease of implementation.

Keywords:

• Beale-Little algorithm

• multiple linear regression

• linear correlation coefficient

• Tempoal River

• Upper Grijalva River

Introducción

En hidrología superficial las aplicaciones de la regresión lineal múltiple (RLM) más comunes, emplean diversas variables explicativas y una variable de respuesta. Con frecuencia, las variables explicativas o regresores son causales, como en el caso de la lluvia que origina el escu-rrimiento. En ocasiones, los regresores no son directamente causales, sino que establecen el escalamiento, como el tamaño de cuenca y la longitud o la pendiente del colector principal, en relación con las crecientes o gastos máximos. Cuando la RLM se emplea con varias variables de respuesta de manera simultánea, se trabaja en el campo del análisis multivariado (AM).

Una aplicación práctica del AM consiste en estimar datos hidrológicos anuales faltantes, tanto de escurri-miento como de lluvia o de gasto máximo; los cuales no existen debido a fallas o pérdida del equipo de mues-treo, enfermedad o abandono de los operadores o simplemente por un inicio retrasado de la operación de la estación hidrométrica o pluviométrica. Los dos objetivos básicos de la estimación de datos faltantes son: 1) completar las series disponibles para poder realizar análisis hidrológicos del tipo de periodo común y 2) mejorar la calidad estadística de los parámetros que se estiman, al emplear series completas y más largas (Gyau y Schulte, 1994; Simonovic, 1995; Salas et al., 2008).

Diversos enfoques han sido aplicados en la estimación de datos hidrológicos faltantes, por ejemplo, Ben-nis et al. (1997) usan la regresión lineal para deducir los valores perdidos, corrigiendo estos con factores deducidos de la aplicación de dos procesos autorregresivos que operan hacia atrás y hacia adelante del periodo de

datos faltantes. Khalil et al. (2001) toman en cuenta el efecto de las estaciones o épocas al usar grupos de registros hidrométricos y redes neuronales artificiales basadas en tal grupo, para estimar los datos faltantes. Ulke et al. (2009) calculan valores faltantes de carga de sedimentos en suspensión con base en datos de precipitación y gasto, usando diversos métodos como regresión lineal y no lineal múltiple, redes neuronales artificiales y sistemas de inferencia neurodifusa.

El algoritmo de Beale-Little, es una técnica del AM que permite estimar de manera simultánea los datos anuales faltantes en registros de estaciones hidrométricas o pluviométricas de una zona geográfica, los cuales muestran una correlación significativa, pero no tienen persistencia. Es únicamente apropiado para estimar datos faltantes que fueron perdidos de una manera aleatoria; consideración que es válida cuando hubo ausencia del operador, o una suspensión temporal por pérdida o mantenimiento del equipo, o bien, por mejoras en la instalación; sin embargo, no han cambiado las condiciones ambientales regionales. Por el contrario, cuando la parte baja de una cuenca grande es colonizada y se establecen estaciones de aforos en sus cercanías, estos datos no se pueden utilizar para ampliar los registros cortos de las estaciones hidrométricas que se ubicaron posteriormente en la zona alta con dificultades de acceso, pues tales registros seguramente estarán afectados por la deforestación, los desarrollos agrícolas, los aprovechamientos hidráulicos, o bien, la urbanización (Bea-le y Little, 1975; Clarke, 1994).

La ausencia de persistencia implica que los datos de cada serie no muestran correlación o dependencia serial, lo cual es una consideración aceptable cuando se

procesan registros de valores anuales de gasto máximo de cuencas de cualquier tamaño; así como registros de escurrimiento anual procedentes de cuencas que no presentan un efecto de almacenamiento considerable, como son cuencas pequeñas montañosas con suelos someros, o cuencas medianas con áreas impermeables importantes que generan mucho escurrimiento directo. La condición de independencia serial deberá ser cuestionada en registros de volumen escurrido anual de cuencas grandes o medianas y pequeñas, pero con grandes áreas permeables o con almacenamiento importante en acuíferos de respuesta lenta (Clarke, 1994).

El objetivo de este trabajo consiste en exponer con detalle el procedimiento operativo del algoritmo de Beale-Little, describiendo dos aplicaciones numéricas en el sistema del Río Tempoal, de la Región Hidrológica Núm. 26 (Pánuco); la primera permite deducir los datos faltantes de volumen escurrido anual y la segunda los de gasto máximo anual (crecientes), en las cinco estaciones hidrométricas que se procesan simultáneamente, que son: Tempoal, El Cardón, Platón Sánchez, Los Hules y Terrerillos. Los resultados del algoritmo de Beale-Little se comparan con los obtenidos previamente empleando la RLM aplicada durante el periodo común de datos. La tercera aplicación numérica se desarrolla en cinco cuencas del Alto río Grijalva de la Región Hidrológica Núm. 30 (Grijalva-Usumacinta), tres de ellas incompletas en su registro de volumen escurrido anual.

Procedimientos aplicados

Descripción operativa del algoritmo de Beale-Little

En Beale y Little (1975) se pueden consultar los aspectos teóricos del algoritmo y en Clarke (1994) los relativos a

su aplicación práctica. Su proceso operativo consta de

los cinco pasos siguientes:

Paso 1: Recopilación de información disponible. El arreglo para la disponibilidad de información hidrológica, que concuerda con las matrices que resuelven la RLM, establece una matriz de R renglones y C columnas, donde los primeros pertenecen a los años de registro y las segundas a las estaciones hidrométricas o pluviométricas, indicando con un asterisco los datos faltantes. Lo anterior se ilustra en la tabla 1 siguiente.

Paso 2: Sustitución inicial de datos faltantes. Partiendo del arreglo matricial de disponibilidad de información, se comienza por identificar y anotar cada uno de los datos o secuencia de valores faltantes en los registros. Después se obtienen las medias aritméticas de cada columna y tales magnitudes se sustituyen en cada dato faltante del registro.

Paso 3: Se calcula la RLM de cada registro y se obtienen nuevas estimaciones de datos faltantes. Se obtiene la RLM de cada registro Xij, considerado como variable dependiente (Y) y el resto de los registros tomados regresores X¡y Con base en tal RLM se define una nueva estimación de cada dato faltante del registro procesado.

Paso 4: Se calculan las diferencias entre el dato anterior y el nuevo. En el primer ciclo del algoritmo de Beale-Little corresponden a las diferencias entre las medias del registro y la nueva estimación de cada dato faltante. Estas diferencias ayudarán a definir cuando terminan los ciclos del algoritmo; lo anterior cuando estas son muy reducidas o tienden a ser despreciables; por ejemplo, menores de una unidad.

Tabla 1. Arreglo matricial para la disponibilidad de información hidrológica

Renglón 1 2 3 Columna 4 • C-l C

1 * * xi3 xi4 xi,C-I xi,c

2 x21 * x23 x24 •* x2,C

3 x3i x32 x33 * • x3,C-l x3,c

4 x41 x42 x43 x44 x4,C-l x4,C

R-2 xR-2,l xR-2,2 xR-2,3 xR-2,4 xR-2,C-l xR-2,C

R-l xR-l,l xR-l,2 * xR-l,4 xR-l,C-l xR-l,C

R * xR2 xR3 xR4 xR,C-l *

Paso 5: Se remplazan las estimaciones anteriores por las nuevas y se realiza otro ciclo. Cada nuevo ciclo inicia sustituyendo las nuevas estimaciones por las anteriores y se repiten los pasos 3y4.

Antes de aplicar el algoritmo de Beale-Little se debe verificar que los registros involucrados tienen las características estadísticas siguientes:

1) Se puede aceptar que proceden de distribuciones normales, lo que implica que los datos X¡-tienen una distribución multivariada normal. Lo anterior se puede verificar con alguna prueba estadística, por ejemplo el Test W de Shapiro y Wilk (1965), o el cociente de Geary (Machiwal y Jha, 2012). Cuando los datos no son normales se usa una transformación, la más simple consiste en emplear los logaritmos de los datos.

2) Una estrategia apropiada cuando se estiman valores hidrológicos anuales faltantes, recomienda emplear

el mayor número de registros posibles o columnas en la matriz definida en la tabla 1, siempre y cuando tales registros estén correlacionados. Por lo anterior, es aconsejable antes de aplicar el algoritmo de Beale-Little, verificar que las correlaciones entre los registros (rxy) son importantes; por ejemplo superiores a 0.80.

3) El algoritmo de Beale-Little requiere que no exista correlación entre los datos de cada renglón de la matriz de la tabla 1, lo cual significa que no exista persistencia en los registros procesados. Entonces el algoritmo de Beale-Little no es adecuado para estimar valores anuales faltantes de gasto mínimo o de cualquier otro indicador de sequías hidrológicas, pues tales parámetros por lo general reproducen el comportamiento de las secuencias de años secos.

Formulación matemática de la RLM

Considerando que existen p variables independientes o regresores la RLM establece el modelo siguiente (Ryan, 1998):

cuyas matrices son

Y = po +piX1 +P2 X2 + ■■■ + VpXp + s

Aceptado que se tienen n observaciones de Y, Xv X2, . . . . . , Xp, la expresión anterior en notación matricial será

Y = 2 X =

1 X11 X12 ■■■ X1p

En la matriz X, X¡j representa a la i-ésima observación o dato en la /-ésima variable independiente. El método de mínimos cuadrados de los residuos establece que la suma de los errores (ei) elevados al cuadrado debe ser minimizada, esto es

t= t ('Y "Po -PX -P2X,2 — -PpX,p )2

La diferenciación del lado derecho de la ecuación anterior con respecto a |3X, |32, . . . , |3p, por separado e igualada a cero, produce p ecuaciones con p parámetros desconocidos, las cuales se conocen como ecuaciones normales, su notación matricial es

XTXf = XT-Y

y cuya solución es p = (XT-X)"1-XT-Y

Y=Xf+E

En la ecuación anterior, XT es la matriz transpuesta de X y (XT-X)_1 es la matriz inversa de XT-X.

Programa de cómputo desarrollado

A continuación se describen los aspectos relevantes del programa de cómputo generalizado desarrollado para este trabajo, el cual se modifica según cada aplicación numérica.

Aspectos relevantes:

1) Los datos disponibles en cada registro completados con sus medias, se guardan en vectores renglón, que después se acomodan como vectores columna al formar las matrices Y y X correspondientes a cada RLM. En estos vectores renglón es donde se sustituyen las nuevas estimaciones de cada dato faltante.

2) Las matrices Y y X se forman en arreglos bidimensio-nales: Y(n,l) y X(n,p), donde n es el número de años de los registros y p el número de regresores. La matriz X en su primera columna tiene a la unidad.

3) Una subrutina llamada CALBETA aplica la ecuación 5, después que se han formado las matrices Y y X relativas a cada RLM. En esta subrutina se comienza por obtener la transpuesta de X, para multiplicarla por la matriz Y y así definir la matriz XT Y. Después se multiplican las matrices XT por X y se obtiene su inversa. Por último, se multiplican las matrices, inversa de XT X por XT Y, para obtener el vector columna de coeficientes |3¿. Calculada cada RLM se obtienen las nuevas estimaciones de datos faltantes. Al término de cada ciclo del algoritmo de Beale-Little el programa pregunta si se imprimen sus resultados parciales.

Modificaciones particulares: En cada aplicación numérica se ubican o definen los datos faltantes de cada registro, los cuales se estiman con cada RLM, que se calcula considerando tal registro como variable dependiente y el

Figura 1. Localización y morfología del sistema del río Tempoal

resto como regresores. Calculados los datos faltantes de todos los registros incompletos, se muestran sus valores anteriores y los del ciclo que se está realizando, así como sus diferencias, para definir si se efectúa otro ciclo o si ya estas son muy reducidas o despreciables; por ejemplo, menores de la unidad.

Resultados y su análisis

Primera aplicación numérica

El río Tempoal pertenece a la Región Hidrológica Núm.

26 (Pánuco), es el último afluente importante del río Moctezuma que junto con el Tampaón forman el río Pánuco. En la figura 1 se muestra la morfología y localización geográfica del sistema del río Tempoal. En este río existen cinco estaciones hidrométricas, cuyos datos disponibles en el sistema BANDAS (IMTA, 2002), de volumen escurrido anual en millones de metros cúbicos (Mm3) se muestran en la tabla 2.

Campos (2011b) procesó esta información, verificando primeramente que tales muestras pueden ser consideradas procedentes de poblaciones normales, además encontró que tales registros tienen fuerte dependencia, con valores del

coeficiente de correlación lineal (r )

\ xy /

que varían de 0.858 a 0.949. Después, aplicó la RLM en el periodo común de datos de 1979 a 2002 con 18 datos en cada registro y el método de selección óptima de regreso-res, para obtener la secuencia inicial faltante en Platón Sánchez, los resultados adoptados se exponen en la segunda columna de la tabla 3.

Para el arreglo mostrado en la tabla 2, se tiene n = 42 y p = 4. En la estación El Cardón están faltantes los renglones (años) 38, 39 y 40; en Los Hules los renglones 30 y 31; en Terrerillos el renglón 21 y por último, en Platón Sánchez falta el lapso inicial de 18 renglones (años). Se utilizaron en los registros de las cuatro estaciones incompletas los siguientes valores medios: 383, 943, 1115 y 2099 Mm3, respectivamente y después de 80 ciclos se obtuvieron las estimaciones siguientes: en El

Figura 2. Localización de las cinco estaciones hidrométricas procesadas del Alto Río Grijalva

Núm. Año Tempoal El Cardón

1 1961 3150.302 386.787

2 1962 1796.844 272.019

3 1963 1655.044 197.102

4 1964 1076.755 145.934

5 1965 2293.958 244.780

6 1966 2786.573 235.217

7 1967 3263.920 548.409

8 1968 2837.862 511.579

9 1969 3323.340 488.246

10 1970 2863.385 412.411

11 1971 2441.337 336.091

12 1972 2566.835 373.829

13 1973 3599.619 522.902

14 1974 4296.827 642.511

15 1975 4298.112 570.883

16 1976 4241.779 673.933

17 1977 1332.365 134.540

18 1978 3688.256 547.106

19 1979 2103.745 284.234

20 1980 1586.278 227.079

21 1981 4491.975 728.237

22 1982 880.923 148.206

23 1983 2187.518 271.316

24 1984 5057.565 636.325

25 1985 2607.572 361.991

26 1986 1807.878 264.761

27 1987 2213.954 322.006

28 1988 2325.627 274.661

29 1989 1749.932 288.773

30 1990 2680.279 359.339

31 1991 4016.997 713.490

32 1992 4134.539 607.888

33 1993 5629.170 749.586

34 1994 1634.689 305.695

35 1995 1861.508 343.729

36 1996 1250.085 185.781

37 1997 1180.939 152.708

38 1998 3314.234 -

39 1999 3206.621 -

40 2000 1710.830 -

41 2001 1929.465 277.771

42 2002 1411.568 172.370

Valor Medio 2678.262 382.570

P.Sánchez Los Hules Terrerillos

- 1021.195 1211.240

- 677.758 628.203

- 661.475 668.833

- 378.162 324.150

- 749.130 865.133

- 1011.194 1020.039

- 1080.269 1067.163

- 945.499 985.655

- 1127.562 1336.178

- 941.203 944.250

- 808.878 1072.324

- 950.725 915.385

- 1160.392 1243.497

- 1312.057 1428.909

- 1656.828 1446.878

- 1564.284 1868.405

- 466.286 521.217

- 1376.984 1406.349

2995.751 796.465 829.710

1325.674 586.212 702.483

3666.737 1665.041 -

776.575 359.815 394.620

2116.887 967.822 1190.780

4065.671 1832.083 2444.332

2257.756 936.464 1390.327

1654.262 688.127 891.569

2018.218 815.745 1418.647

1955.431 729.049 1312.224

1457.954 1032.017 958.891

2413.499 - 1209.258

2682.264 - 1712.530

3144.544 1545.657 1929.711

4291.278 2230.109 2370.400

1228.833 809.173 703.788

1542.547 1081.871 843.071

1034.440 778.378 594.657

1046.949 651.170 520.502

2475.934 950.051 1523.011

2456.724 1294.764 1481.634

1426.170 425.543 839.818

1281.262 535.401 805.264

1058.208 644.391 683.526

2098.899 943.131 1114.745

Tabla 2. Volúmenes escurridos anuales (Mm3) en las estaciones hidrométricas del Río Tempoal en el periodo común de 1961 a 2002

Tabla 3. Volúmenes escurridos anuales (Mm3) estimados en la estación Platón Sánchez con los métodos indicados

Año RLM aplicada con selección de regresores Algoritmo de Beale-Little

1961 2589.4 2739.8

1962 1574.9 1519.0

1963 1468.6 1601.0

1964 1035.1 1112.3

1965 1947.5 2170.8

1966 2316.8 2757.8

1967 2674.6 2497.1

1968 2355.2 2107.0

1969 2719.1 2664.1

1970 2374.4 2398.2

1971 2058.0 2066.1

1972 2152.1 2169.3

1973 2926.2 2914.3

1974 3448.9 3378.5

1975 3449.8 3612.3

1976 3407.6 3174.7

1977 1226.7 1399.4

1978 2992.7 2949.1

MAX 3449.8 3612.3

mín 1035.1 1112.3

X 2373.2 2401.7

S 736.7 698.4

Cv 0.310 0.291

Cs -0.196 -0.169

Ck 2.736 2.812

r1 0.360 0.350

Cardón 473.1, 478.1 y 231.0 Mm3; en Los Hules 1007.6 y 1510.8 Mm3; en Terrerillos 1773.2 Mm3 y en Platón Sánchez la secuencia mostrada en la columna tres de la tabla 3.

Segunda aplicación numérica

También se realiza en el sistema del río Tempoal, pero ahora se completan los datos disponibles de gasto máximo anual (m3/s), procedentes del sistema BANDAS (IMTA, 2002), los cuales se exponen en la tabla 4.

Se observa que los lapsos disponibles y los datos fal-tantes son escasamente diferentes a los de la aplicación anterior. Campos (2011a) utilizó la RLM para estimar la secuencia inicial de datos en la estación hidrométrica Platón Sánchez; la aplicó en el periodo común de 1978 a 2002, empleando 20 datos en los registros auxiliares. Como en los registros de gasto máximo anual no se puede aceptar que provengan de una distribución Normal, trabajó con los logaritmos naturales de los datos. Los resultados obtenidos se muestran en la segunda columna de la tabla 5.

La aplicación del algoritmo de Beale-Little con n = 43, p = 4y datos transformados (Zij = ln Xij), después de 35 ciclos aporta las estimaciones mostradas en la tercera columna de la tabla 5, para la secuencia inicial de datos faltantes en la estación Platón Sánchez y los valo-

res siguientes en El Cardón 271.9 y 185.5 m3/s. En la estación Los Hules se estimaron 3463.7 y 1072.2 m3/s y por último, en Terrerillos 1151.3 m3/s, como datos faltantes.

Tercera aplicación numérica

Se ubica dentro de la Región Hidrológica Núm. 30 (Gri-jalva-Usumacinta) y corresponde a cinco cuencas de la vertiente de margen izquierda del Alto Río Grijalva, pues estas se localizan antes de la Presa Nefeahualcó-yotl (Malpaso). En la figura 2 se muestra su ubicación geográfica y en la tabla 6 sus registros disponibles de volumen escurrido anual en millones de metros cúbicos (Mm3).

Campos (2014) primeramente verificó que las muestras de la tabla 6 pudieran ser consideradas procedentes de distribuciones normales. Por otra parte, como las estaciones hidrométricas Santa María y Las Flores II comenzaron a operar en 1962, para completar el periodo común de datos de 18 años de 1956 a 1973 que define la estación incompleta Santa Isabel; Campos (2014) estimó sus primeros seis valores faltantes por regresión lineal con la estación El Boquerón II, tales magnitudes se muestran en la tabla 6 entre paréntesis.

Campos (2014) procesó la información de la tabla 6 a través de la RLM de tipo Ridge y estimó la secuencia faltante de 21 años en la estación Santa Isabel con un parámetro de sesgo (k) de 0.350, la cual se muestra en la segunda columna de la tabla 7.

La aplicación del algoritmo de Beale-Little con n = 39 y p = 4, se realizó considerando faltantes los seis valores iniciales de las estaciones Santa María y Las Flores II; después de 95 ciclos estima los siguientes seis valores en la primera: 1467.4, 929.4,1208.4, 943.1,1203.7 y 859.9 Mm3 y estos seis en la segunda: 748.1,335.5, 524.8, 251.9, 554.0 y 245.8 Mm3. La secuencia obtenida de 21 años en Santa Isabel se tiene en la tabla 7. Se observa que ambas series estimadas en Santa Isabel tienen el mismo comportamiento serial, pero la procedente del algoritmo de Beale-Little tiene mayor dispersión y sesgo, así como menor valor promedio.

Análisis de los resultados

Los resultados mostrados en las tablas 3 y 5, tienen el mismo comportamiento secuencial de valores y ello ge-ñera confianza en tales estimaciones, ya que proceden de periodos comunes bastante diferentes. La similitud serial observada también se detecta en la semejanza que muestran los parámetros estadísticos, sobre todo los de la tabla 3; un poco menos en la tabla 5. Tal similitud se debe a la correlación general que guardan los registros

Núm. Año Tempoal El Cardón P.Sánchez Los Hules Terrerillos

1 I960 1277.0 1080.0 - 452.6 314.0

2 1961 852.9 303.5 - 434.5 525.0

3 1962 739.2 262.0 - 457.5 565.9

4 1963 1800.0 481.0 - 947.4 895.9

5 1964 748.0 188.6 - 258.0 397.1

6 1965 792.7 338.0 - 414.9 659.4

7 1966 1778.0 287.0 - 742.2 1121.7

8 1967 2245.0 854.2 - 1009.4 1153.0

9 1968 1145.0 476.0 - 1096.0 611.2

10 1969 1948.0 555.8 - 825.0 2224.2

11 1970 1418.0 560.0 - 800.0 1420.0

12 1971 1630.0 720.4 - 1064.0 1488.5

13 1972 989.0 320.0 - 1110.0 529.0

14 1973 1668.0 392.0 - 749.0 1740.0

15 1974 4950.0 1198.3 - 1950.0 3187.8

16 1975 4040.0 1204.2 - 2470.0 2085.0

17 1976 1275.0 419.7 - 937.7 1000.5

18 1977 514.0 179.1 - 559.0 291.2

19 1978 3725.0 1390.0 2898.0 2874.0 2152.3

20 1979 1655.9 667.0 1040.0 1082.0 659.1

21 1980 1162.0 357.0 976.0 583.2 994.1

22 1981 2020.0 765.2 1940.0 1650.3 -

23 1982 539.6 182.3 589.8 340.0 491.4

24 1983 868.0 269.8 827.3 544.0 768.4

25 1984 4030.0 572.0 4530.0 2834.9 2981.0

26 1985 1882.0 457.0 1608.0 938.4 1487.7

27 1986 476.0 192.0 462.0 308.0 434.0

28 1987 1765.0 346.8 1773.0 1440.0 2635.0

29 1988 3265.0 356.0 3653.0 4350.0 3710.0

30 1989 649.0 306.0 653.0 644.0 2100.0

31 1990 1611.0 306.0 4115.0 - 702.0

32 1991 3532.0 1248.0 1916.0 - 2860.0

33 1992 2291.0 790.0 1494.9 762.8 1607.5

34 1993 6120.0 865.5 4380.0 1684.1 3422.5

35 1994 1133.0 412.0 1153.8 723.8 1237.9

36 1995 741.9 412.2 537.0 568.0 531.0

37 1996 683.0 218.0 758.0 804.0 507.6

38 1997 905.0 348.2 1217.5 428.4 362.5

39 1998 1266.9 - 1259.3 260.9 1605.9

40 1999 2693.7 602.9 2776.6 630.9 3328.3

41 2000 641.2 - 580.4 84.9 753.4

42 2001 1847.9 498.3 1201.3 278.5 1512.2

43 2002 926.4 134.0 774.8 496.7 822.2

Valor Medio 1773.0 524.8 1724.6 990.0 1378.0

Tabla 4. Gastos máximos anuales (m3/s) en las estaciones hidrométricas del Río Tempoal en el periodo común de 1960 a 2002

RLM aplicada con Algoritmo de Beale-Little aplicado con: Tabla 5- Gastos máximos anuales (m3/s)

estimados en la estación Platón Sánchez con los métodos indicados

Año 4 registros auxiliares 4 registros auxiliares 3 registros auxiliares

I960 824.1 793.2 1097.8

1961 758.4 810.8 816.7

1962 693.9 747.1 748.0

1963 1540.6 1664.2 1649.1

1964 685.4 765.3 659.0

1965 696.7 709.8 765.8

1966 1660.0 1857.9 1538.2

1967 1702.8 1687.3 1948.1

1968 1026.3 1120.2 1251.4

1969 1642.4 1585.3 1670.3

1970 1199.8 1170.8 1335.0

1971 1344.2 1303.2 1575.0

1972 971.7 1128.5 1135.2

1973 1498.6 1527.4 1468.2

1974 3713.2 3595.5 3920.4

1975 3122.9 3151.8 3618.3

1976 1163.4 1230.8 1292.6

1977 538.5 644.3 613.6

MAX 3713.2 3595.5 3920.4

mín 538.5 644.3 613.6

X 1376.8 1416.3 1505.7

S 839.1 806.2 910.6

Cv 0.609 0.571 0.605

Cs 1.801 1.721 1.838

Ck 6.497 6.105 6.469

r, 0.417 0.414 0.421

Núm. Año Santa María Las Flores II El Boquerón II La Escalera Santa Isabel

1 1956 (1348.100) (617.200) 700.426 524.303 1113.119

2 1957 (829.200) (195.700) 327.830 343.245 846.957

3 1958 (1176.100) (477.500) 576.979 759.834 1134.394

4 1959 (1008.000) (340.900) 456.217 538.022 748.138

5 I960 (1131.400) (441.200) 544.870 831.507 1259.572

6 1961 (846.500) (209.800) 340.309 555.208 876.884

7 1962 780.873 528.749 594.985 700.956 1345.812

8 1963 1062.852 509.515 519.857 793.521 1151.548

9 1964 1040.491 428.682 572.255 809.059 1103.385

10 1965 926.283 311.510 424.201 619.464 1227.758

11 1966 1234.455 400.731 543.392 612.066 671.762

12 1967 820.282 319.296 337.493 302.969 629.364

13 1968 886.820 245.051 327.265 443.917 863.049

14 1969 1475.765 654.717 702.579 872.190 1071.681

15 1970 2071.694 971.609 674.119 636.918 1182.934

16 1971 1156.651 499.456 707.531 737.992 1131.230

17 1972 823.366 244.434 287.889 313.800 627.775

18 1973 1714.570 800.408 800.585 701.963 1183.812

19 1974 1185.743 447.160 431.411 270.474 -

20 1975 1006.232 258.044 429.059 285.090 -

21 1976 852.063 127.823 280.568 219.347 -

22 1977 710.200 95.508 253.843 272.813 -

23 1978 1018.654 288.524 609.759 563.517 -

24 1979 1124.668 318.484 371.625 286.202 -

25 1980 2438.163 1312.039 552.401 590.997 -

26 1981 1516.715 659.665 729.838 844.403 -

27 1982 954.137 190.252 442.376 662.449 -

28 1983 874.889 395.663 545.409 436.859 -

29 1984 1250.051 522.289 572.296 600.143 -

30 1985 736.901 190.942 392.148 434.315 -

31 1986 794.653 234.945 424.557 409.003 -

32 1987 764.274 143.007 334.747 298.749 -

33 1988 1318.376 731.723 671.978 618.826 -

34 1989 988.181 662.633 738.056 601.612 -

35 1990 791.806 253.685 437.495 393.349 -

36 1991 751.560 137.659 257.679 177.277 -

37 1992 843.562 162.104 432.906 612.984 -

38 1993 1096.850 375.818 504.291 414.408 -

39 1994 657.381 73.578 230.450 153.414 -

Valor medio 1077.140 404.564 489.274 519.055 1009.399

Tabla 6. Volúmenes escurridos anuales (Mm3) en las estaciones hidrométricas del Alto Río Grijalva en el periodo común de 1956 a 1994

Tabla 7. Volúmenes escurridos anuales (Mm3) estimados en la estación Platón Sánchez con los métodos indicados

Año RLM de tipo Ridge Algoritmo de Beale-Little

1974 767.1 736.7

1975 720.1 685.9

1976 616.4 497.1

1977 658.2 573.2

1978 938.3 784.4

1979 711.0 625.5

1980 1135.1 1382.3

1981 1205.4 1166.7

1982 922.7 793.5

1983 937.2 927.0

1984 1017.1 996.5

1985 827.7 765.0

1986 829.4 767.1

1987 703.8 607.1

1988 1142.3 1224.0

1989 1188.8 1286.0

1990 833.4 779.6

1991 614.8 539.6

1992 902.7 784.3

1993 852.8 775.3

1994 583.6 496.2

MAX 1205.4 1382.3

mín 583.6 496.2

X 862.3 818.7

S 192.3 257.8

Cv 0.223 0.315

Cs 0.396 0.882

Ck 2.566 3.306

r, 0.285 0.289

procesados de volumen escurrido anual, la cual se muestra en la parte superior de la tabla 8 para los registros incompletos y en su parte inferior, para tales series completadas con los datos estimados con el algoritmo de Beale-Little.

Se observa en la tabla 8 que la mayoría de los coeficientes rxy aumentan ligeramente con los registros completos, lo cual indica que la aplicación del algoritmo de Beale-Little es conveniente desde un punto de vista estadístico. Esta correlación elevada entre todos los registros genera un problema de mul-ticolinealidad al aplicar la RLM (Montgomery et al., 1998); problema que se detecta y evalúa con los factores de inflación de la varianza y el análisis de residuos (Campos, 2011b).

Respecto a la segunda aplicación numérica, en la tabla 9 se observa que la estimación de datos faltantes con el algoritmo de Beale-Little en la estación hidrométrica Platón Sánchez, mejora todas sus correlaciones con las otras estaciones, lo cual destaca la conveniencia de tal deducción. Lo contario ocurre en la estación Los Hules, cuyos valores estimados para los años 1990 y 1991 con el algoritmo de Beale-Little resultan con magnitud inversa a la que presentan las estaciones El Cardón, Terre-

rillos y Tempoal (tabla 4), y debido a ello su correlación disminuye al procesar los registros completos.

En la porción superior de la tabla 9 se observa que el registro de la estación El Cardón no presenta correlación con el resto y que únicamente tiene una dependencia baja (rxy = 0.729) con la estación Tempoal; además con la estación Platón Sánchez es la que presenta menor correlación (rxy = 0.401). Debido a lo anterior, se consi-

dera conveniente aplicar el algoritmo de Beale-Little sin tal registro, entonces ahora se tienen n = 43y p = 3. Empleando datos transformados y después de 20 ciclos se

obtuvieron las siguientes estimaciones: en Los Hules 3819.5 y 872.2 m3/s, en Terrerillos 1421.1 m3/s y en Platón Sánchez la secuencia mostrada en la cuarta columna de la tabla 5.

Tabla 8. Coeficientes de correlación lineal (rxy) entre los registros de volumen escurrido anual (Mm3) del sistema del río Tempoal, durante el periodo 1961 a 2002

Datos disponibles (número de años del periodo común)

Estación Tempoal El Cardón Platón S. Los Hules Terrerillos

Tempoal 1.000 0.949 0.948 0.934 0.921

El Cardón (39) 1.000 0.881 0.912 0.858

Platón Sánchez (24) (21) 1.000 0.887 0.921

Los Hules (40) (37) (22) 1.000 0.889

Terrerillos (41) (Э8) (2Э) (39) 1.000

Datos completados (42 años)

Estación Tempoal El Cardón Platón S. Los Hules Terrerillos

Tempoal 1.000 0.950 0.955 0.936 0.924

El Cardón 1.000 0.8б0 0.907 0.8бб

Platón Sánchez 1.000 0.890 0.873

Los Hules 1.000 0.898

Terrerillos_1.000

Tabla 9. Coeficientes de correlación lineal (rxy) entre los registros de gasto máximo anual (m3/s) del sistema del río Tempoal, durante el periodo 1960 a 2002

Datos disponibles (número de años del periodo común)

Estación Tempoal El Cardón Platón S. Los Hules Terrerillos

Tempoal 1.000 0.729 0.8ЭЭ 0.711 0.818

El Cardón (41) 1.000 0.401 0.476 0.490

Platón Sánchez (25) (2Э) 1.000 0.784 0.700

Los Hules (41) (39) (2Э) 1.000 0.б8б

Terrerillos (42) (40) (24) (40) 1.000

Datos completados (43 años)

Estación Tempoal El Cardón Platón S. Los Hules Terrerillos

Tempoal 1.000 0.736 0.867 0.627 0.816

El Cardón 1.000 0.487 0.387 0.481

Platón Sánchez 1.000 0.8Э2 0.740

Los Hules 1.000 0.552

Terrerillos 1.000

Tabla 10. Coeficientes de correlación lineal (rxy) entre los registros de volumen escurrido anual (Mm3) de la cuenca Alta del Río Grijalva, durante el periodo 1956 a 1994

Datos disponibles (periodo común = 18 años)

Estación Santa María Las Flores II El Boquerón II La Escalera Santa Isabel

Santa María 1.000 0.912 0.759 0.410 0.Эбб

Las Flores II 1.000 0.867 0.522 0.577

El Boquerón II 1.000 0.707 0.652

La Escalera 1.000 0.743

Santa Isabel 1.000

Datos completados (39 años)

Estación Santa María Las Flores II El Boquerón II La Escalera Santa Isabel

Santa María 1.000 0.920 0.641 0.470 0.604

Las Flores II 1.000 0.757 0.561 0.804

El Boquerón II 1.000 0.774 0.784

La Escalera 1.000 0.808

Santa Isabel 1.000

Se observa que estas últimas estimaciones en la estación Platón Sánchez tienen semejanza serial con las anteriores y que sus parámetros estadísticos son similares. Como esta última secuencia es ligeramente más extrema que las dos anteriores, en sus valores: máximo, media y variabilidad, según su coeficiente de variación (Cv), es la que se recomienda adoptar por seguridad hidrológica, ya que las predicciones (crecientes) que se obtengan con tales datos seguramente serán mayores.

Por el contrario, cuando se trate de seleccionar una secuencia de estimaciones de volumen escurrido anual, se recomienda adoptar por seguridad hidrológica de la disponibilidad, la de menor valor medio (volumen escurrido medio anual, VEMA) y Cv mayor, pues tal dispersión se reflejará en una mayor capacidad de regulación necesaria en el embalse que se dimensiona hidrológicamente para aprovechar un cierto porcentaje del VEMA.

Por último, en la parte superior de la tabla 10 se muestran las correlaciones que tienen los registros de la tercera aplicación numérica, en el periodo común de 18 años de 1956 a 1973, definido este por los datos disponibles en la estación incompleta Santa Isabel. En la porción inferior de la tabla 10 se muestran las dependencias de los registros completados con base en las estimaciones del algoritmo de Beale-Little, se observa que todas las correlaciones de la estación Santa Isabel aumentan de manera importante, sobre todo con las estaciones más alejadas que son Santa María y Las Flores II.

También se observa que las correlaciones del registro completo de la estación El Boquerón II disminuyen con las de las estaciones Santa María y Las Flores II, pues ahora los valores faltantes en estas dos estaciones proceden de la RLM con cuatro regresores no únicamente de la regresión lineal con los datos de El Boquerón II, como se estimaron los indicados entre paréntesis en la tabla 6.

Conclusiones

Verificando previamente que los datos faltantes se perdieron de una manera aleatoria, o que no existen debido a un inicio posterior de la operación de la estación hidrométrica o climatológica, el algoritmo de Beale-Little es aplicable. Lo que se debe evitar es estimar datos faltantes que están asociados a condiciones severas del clima y que por ello, no se registraron. Caso común de las crecientes extremas que dañan las instalaciones de aforos, o de los periodos de sequía extrema en los cuales no se mide ni la lluvia ni el escurrimiento porque toda la población ya emigró.

El algoritmo de Beale-Little, permite utilizar toda la información hidrológica disponible, de una manera

conjunta, no exclusivamente en el periodo común, como opera la regresión lineal múltiple (RLM). Lo anterior seguramente conduce a estimaciones más exactas para los datos faltantes.

Otra ventaja del procedimiento descrito, consiste en obtener de forma simultánea todos los datos anuales faltantes en los registros procesados, con lo cual queda integrado un grupo de series de datos hidrológicos en un periodo común. Esto permite aplicar técnicas hidrológicas de simulación de aprovechamientos hidráulicos o de estimación regional de crecientes, que requieren muestras que tienen un lapso común de registro.

Siendo el algoritmo de Beale-Little descrito, un procedimiento bastante simple de implementar, se recomienda su aplicación sistemática para procesar información regional que está correlacionada y obtener resultados que permitan verificar y complementar las estimaciones de la RLM, aplicada según los enfoques de selección óptima de regresores o de tipo Ridge, para el caso del volumen escurrido anual, o de su conveniencia estadística en la transferencia de información de gasto máximo anual (crecientes).

Referencias

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Este artículo se cita: Citación estilo Chicago

Campos-Aranda, Daniel Francisco. Estimación simultánea de datos hidrológicos anuales faltantes en múltiples sitios. Ingeniería Investigación y Tecnología, XVI, 02 (2015): 295-306.

Citación estilo ISO 690

Campos-Aranda D.F. Estimación simultánea de datos hidrológicos anuales faltantes en múltiples sitios. Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XVI (número 2), abril-junio 2015: 295-306.

Semblanza del autor

Daniel Francisco Campos-Aranda. Obtuvo el título de ingeniero Civil en diciembre de 1972, en la entonces Escuela de Ingeniería de la UASLP. Durante el primer semestre de 1977, realizó en Madrid, España un diplomado en hidrología general y aplicada. Posteriormente, durante 1980-1981 llevó a cabo estudios de maestría en ingeniería en la especialidad de Hidráulica, en la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. En esta misma institución, inició (1984) y concluyó (1987) el doctorado en ingeniería con especialidad en aprovechamientos hidráulicos. Ha publicado artículos principalmente en revistas mexicanas de excelencia: 46 en Tecnología y Ciencias del Agua (antes Ingeniería Hidráulica en México), 18 en Agrociencia y 15 en Ingeniería. Investigación y Tecnología. Es profesor jubilado de la UASLP, desde el Io de febrero de 2003. En noviembre de 1989 obtuvo la medalla Gabino Barreda de la UNAM y en 2008 le fue otorgado el Premio Nacional "Francisco Torres H." de la AMH. A partir de septiembre de 2013 vuelve a ser investigador nacional nivel I.