Modelización numérica del comportamiento estructural cíclico de barras esbeltas de acero con pandeo restringido Academic research paper on "Civil engineering"

G Model

RIMNI-105; No. of Pages 9

ARTICLE IN PRESS

Métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniería

Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2014;xxx(xx):xxx-xxx

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

www.elsevier.es/rimni

Modelización numérica del comportamiento estructural cíclico de barras esbeltas de acero con pandeo restringido

J.C. Castro Medina3, F. López Almansab * y S. Ollerc

a Universidad pedagógica y tecnológica de Colombia, Avenida central del norte Tunja, Boyacá, Colombia

b Departamento de estructuras en la arquitectura, Universidad Politécnica de Cataluña, Avda. Diagonal 649, 08028 Barcelona, España

c Departamento de resistencia de materiales y de estructuras en la ingeniería, Universidad Politécnica de Cataluña, C. Gran Capitán s/n, 08034 Barcelona, España

INFORMACION DEL ARTICULO

RESUMEN

Historia del artículo: Recibido el 31 de enero de 2013 Aceptado el 9 de julio de 2013 On-line el xxx

Palabras clave: Disipadores de energía Barras de pandeo restringido Control pasivo Simulación numérica Modelo de dano Plasticidad

Este trabajo presenta un modelo numérico del comportamiento estructural cíclico de barras de pandeo restringido, comúnmente utilizadas como una alternativa a las clásicas barras de arriostramiento concéntrico para protección sismorresistente de pórticos de edificios y otras estructuras. Estos dispositivos se componen normalmente de un núcleo de acero esbelto recubierto por una carcasa de mayor rigidez que tiene por objeto impedir su pandeo cuando se encuentra comprimido. La carcasa puede ser de mortero o de acero, y una interfaz de deslizamiento está interpuesta entre el núcleo y la carcasa para evitar la transferencia excesiva de tensiones tangenciales. El comportamiento del núcleo de acero se describe mediante un modelo de daño y plasticidad, el comportamiento de la carcasa de mortero se describe mediante un modelo de daño isótropo y el comportamiento de la interfaz de deslizamiento se describe mediante un modelo de penalización de contacto. Estos 3 modelos se implementan en el paquete de software Abaqus siguiendo una formulación explícita. En un artículo previo publicado en una revista de ingeniería sísmica se describió someramente el modelo, se comprobó de forma preliminar su capacidad para reproducir el comportamiento cíclico de barras de pandeo restringido y se compararon satisfactoriamente sus resultados con los de ensayos experimentales; el objetivo de este trabajo es describir el modelo en profundidad y discutir en mayor extensión las valoraciones acerca de su utilidad.

© 2013 CIMNE (Universitat Politécnica de Catalunya). Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los

derechos reservados.

Numerical modelling of the cyclic structural behavior of slender steel members with restrained buckling

ABSTRACT

Keywords: Energy dissipators Buckling-restrained braces Passive control Numerical simulation Damage model Plasticity

This work presents a numerical model of the cyclic structural behavior of dissipative buckling-restrained braces, commonly used as an alternative to classical concentric braces for seismic protection of building frames and other structures. Such devices are usually composed of a slender steel core embedded in a stockiest casing that is intended to prevent its buckling when it is under compression. The casing is made either of mortar or steel, and a sliding interface is interposed between the core and the casing to prevent excessive shear stress transfer. The behavior of the steel core is described by a damage and plasticity model; the behavior of the mortar casing is described by an isotropic damage model and the sliding behavior of the interface is described by a contact penalty model. These 3 models are implemented in the Abaqus software package following an explicit formulation. In a previous article (published in an earthquake engineering journal) the model was briefly described, its ability to reproduce the cyclical behavior of buckling-restrained braces was preliminarily pointed out and their results were satisfactorily compared with those of experimental tests. The aim of this paper is to describe the model thoroughly and to present new judgments about its usefulness.

© 2013 CIMNE (Universitat Politécnica de Catalunya). Published by Elsevier España, S.L. All rights

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* Corresponding author:.

Correos electrónicos: francesc.lopez-almansa@upc.edu, francesc.lopez.almansa@gmail.com (F. López Almansa).

0213-1315/$ - see front matter© 2013 CIMNE (Universitat Politécnica de Catalunya). Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados. http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2013.07.008

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1. Introducción

La estrategia habitual de un proyecto sismorresistente de edificios y otras construcciones consiste en dotar a sus estructuras de suficiente ductilidad como para absorber la energía aportada por el sismo de proyecto, evitando así colapsos prematuros; en otras palabras, se trata de lograr que el fallo se inicie por los elementos estructurales menos vitales (vigas y arriostramientos) y solo alcance en última instancia a las partes vitales del edificio (los pilares). Este planteamiento conduce a soluciones, en general, suficientemente seguras pero no logra evitar los danos en la estructura principal, la cual queda frecuentemente inservible; por otra parte, queda un riesgo excesivo de que sismos de intensidad superior a la prevista causen el colapso del edificio. Para superar estas limitaciones, una solución más avanzada es incorporar a la estructura elementos cuya finalidad es absorber la energía de la excitación, es decir, concentrar los danos, protegiendo así los elementos estructurales principales [1,2]; en otras palabras, se trata de fusibles estructurales. Los elementos incorporados se denominan disipadores de energía y son ajenos a la estructura principal; es decir, no forman parte del mecanismo resistente a acciones gravitatorias, por lo que pueden ser fácilmente sustituidos después de que movimientos sísmicos fuertes los hayan danado. Se han propuesto distintos tipos de disipadores de energía; los basados en plastificación de metales (conocidos habitualmente como histeréticos) son simples, económicos, robustos y suficientemente fiables. De entre los disipadores histeréticos, las barras de pandeo restringido (conocidas como "buckling restrained braces"en lengua inglesa) son unos de los tipos más utilizados, especialmente para la protección sísmica de edificios [3,4]. Las barras de pandeo restringido son barras esbeltas de acero conectadas habitualmente a la estructura en forma de diagonales o en V invertida (fig. 1).

En la estrategia convencional de proyecto sismorresistente, las barras de arriostramiento representadas en la figura 1 se dimensionan para ser capaces de absorber las fuerzas axiales generadas en ellas por las acciones sísmicas de proyecto, habi-tualmente correspondientes a períodos de retorno próximos a 475 anos. Esta solución, aun siendo globalmente válida, plantea diversos inconvenientes: (i) las barras de arriostramiento incrementan sensiblemente la rigidez lateral del edificio, lo cual puede generar mayores fuerzas sísmicas equivalentes por el consiguiente aumento de su período fundamental; y (ii) el nivel de amortiguamiento global del edificio no aumenta por el efecto de las barras de arriostramiento, quedando este con una ductilidad excesivamente limitada. Una alternativa más correcta consiste en dimensionar barras de arriostramiento de menor sección (o con acero de límite elástico más bajo) con la finalidad de que se plastifiquen para las acciones sísmicas de proyecto, o incluso antes. De esta manera se aporta al edificio amortiguamiento en vez de rigidez, siendo

Figura 1. Barras de pandeo restringido como arriostramientos diagonales (izquierda) y en V invertida (derecha).

Figura 2. Barra de pandeo restringida.

el efecto de aquel bastante más beneficioso que el de esta. En otras palabras, con movimientos sísmicos horizontales fuertes, los desplazamientos relativos entre plantas producen deformaciones axiales plásticas en estas barras, disipándose de esta forma energía.

Cuando estas barras se encuentran comprimidas, su pandeo se impide rodeándolas con un revestimiento de mayor robustez, tal como se muestra en la figura 2. Este revestimiento habitualmente es de acero [5,6] aunque, en bastantes casos, está compuesto por elementos de acero rellenos de mortero [7-10]. En dispositivos como los representados en la figura 2, es necesario que la interfaz entre el núcleo de acero y el revestimiento de mortero permita el deslizamiento longitudinal entre ambos para impedir una transferencia excesiva de tensiones tangenciales. Por otra parte, esta interfaz debe incluir una cierta holgura para permitir la expansión transversal del núcleo durante la compresión, especialmente cuando este está plastificado.

Las barras de pandeo restringido poseen ventajas relevantes en comparación con otros disipadores histeréticos. Esto ha facilitado su desarrollo: existen diversas aplicaciones [5,6,11,12] y se ha desarrollado una notable actividad investigadora tanto experimental como teórica [6,12-27]. No obstante, algunos aspectos requieren investigación adicional. En particular, debe destacarse la ausencia de modelos numéricos precisos y fiables del comportamiento estructural de estos dispositivos. Este comportamiento es complejo ya que involucra el trabajo conjunto y no lineal de 3 materiales, existe deslizamiento parcial entre el núcleo y el revestimiento, y se producen grandes desplazamientos y deformaciones. Esta carencia obliga a que el diseno y el dimensionamiento de estos dispositivos se base en formulaciones excesivamente conservadoras y dificulta el desarrollo de soluciones innovadoras. El objetivo de este trabajo es presentar un modelo numérico del comportamiento estructural de barras de pandeo restringido. Este modelo se desarrolla en el programa de elementos finitos Abaqus siguiendo una formulación explícita [28].

Este trabajo forma parte de un proyecto más amplio cuyo objetivo final es promover el uso masivo de barras de pandeo restringido para la protección sísmica de edificios en países en desarrollo. La investigación consta de las siguientes etapas: (i) disenar, producir y ensayar 5 dispositivos de corta longitud (400 mm) [7,8]; (ii) aprovechar la experiencia adquirida para disenar, producir y ensayar 4 dispositivos de mayor longitud (3 m) [9,10]; (iii) desarrollar un modelo simplificado del comportamiento a pandeo de barras de pandeo restringido [9,10]; (iv) desarrollar un modelo más sofisticado de este comportamiento [28,29]; (v) disenar, producir y ensayar dispositivos a escala real, y (vi) llevar a cabo estudios paramétricos numéricos sobre la eficacia de estos dispositivos. Las etapas (i), (ii) y (iii) han sido completadas, la (iv) se presenta en este trabajo, y las etapas (v) y (vi) se encuentran en fase de

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Figura 3. Modelo constitutivo uniaxial del mortero.

desarrollo. La exactitud del modelo propuesto se contrastó con los resultados de la etapa (ii) y con otros resultados experimentales disponibles en la literatura técnica [29]. En este contexto, este trabajo se centra en describir con mayor detalle el modelo propuesto y en verificar exhaustivamente su capacidad para reproducir los fenómenos involucrados en el comportamiento de barras de pandeo restringido como las representadas en la figura 2.

2. Modelización numérica de barras de pandeo restringido

El comportamiento de las barras de pandeo restringido se describe mediante un modelo numérico que representa el mortero del revestimiento, el acero del núcleo, la interfaz entre ambos y el acero de la funda exterior. El comportamiento del mortero se describe mediante un modelo isótropo de dano teniendo en cuenta que la resistencia a compresión es bastante superior a la resistencia a tracción [30]. El comportamiento del acero del núcleo se representa mediante un modelo plástico de endurecimiento cinemático e isótropo [31]; las condiciones de agotamiento se establecen a través de un modelo de dano teniendo en cuenta que las resistencias a compresión y a tracción son iguales. El comportamiento de la interfaz entre el núcleo y el revestimiento se describe mediante un modelo de contacto de penalización [32]. El acero exterior se homo-geneíza al mortero adyacente [33]. El modelo integrado resultante se implementa en el programa Abaqus [34] siguiendo una formulación explícita. El análisis considera comportamiento no lineal de los materiales; en la modelización del acero del núcleo se consideran además grandes desplazamientos y pequenas deformaciones.

3. Modelización del mortero

Los modelos de dano describen la degradación experimentada por el material mediante una variable escalar d denominada índice de daño y cuyos valores están entre 0 (ausencia de dano) y 1 (degradación total); este deterioro puede ser interpretado como una reducción del volumen útil del material dada por V = (1 — d) V, donde Vrepresenta el volumen total y V es el volumen útil, es decir, no danado [35-39]. El coeficiente d afecta a la matriz de constantes elásticas E: E = (1 — d) E, de tal forma que la relación constitutiva entre las tensiones o y las deformaciones s se expresa mediante la siguiente expresión tensorial:

v = E : e = (1 -d)E : e = (1 - d) vo

En esta expresión, a0 debe ser entendida como la tensión que correspondería a una deformación s, en caso de no haber dano. La relación 1 muestra que si el modelo sin dano (<r=E:e) es isótropo, esta propiedad se mantiene en el modelo de dano.

El modelo isótropo sin dano se genera a partir del comportamiento uniaxial del mortero descrito en la figura 3.

En la figura 3, Em es el módulo de deformación del mortero y f ' y f ' son los valores característicos de sus resistencias a compresión y a tracción, respectivamente; estos valores se adoptan como resistencias en el modelo.

Dominio elástico

Figura 4. Modelo constitutivo biaxial del mortero.

El modelo multiaxial sin dano se define a partir de la siguiente norma ^ del tensor de tensiones o0:

f (vo) = + ^^ v^o : E-1 : vo

En esta relación, 9 es un coeficiente escalar que toma valores entre 0 en compresión triaxial y 1 en tracción triaxial:

0=.£ 3=1<vIo>

donde oQ es la i-ésima tensión principal considerando como positivas las tensiones de tracción [30]. La norma ^ representa, pues, una medida de la energía por unidad de volumen expresada respecto de los límites de la resistencia a tracción. La figura 4 describe, en 2 dimensiones, los límites del modelo multiaxial sin dano.

El criterio de dano consiste en la condición F(^, r) < 0, donde ^ y r representan la norma y el umbral de dano en un determinado instante. Dado que la degradación del mortero es irreversible, dicho umbral debe ser igual o superior al umbral inicial de dano r0

Fr) = G — G (r) (4)

En esta definición, G debe ser una función creciente que cuanti-fica la evolución del dano. En este trabajo se selecciona [40]:

(r) = 1 - 1-,0)

0 < ro < r

Esta expresión muestra que G (r0) = 0 y lim G (r) = 1. A es un

parámetro adimensional que expresa la rapidez de la reducción de pendiente de las ramas de descarga de la figura 3; el valor de A se determina integrando en el tiempo la disipación de energía producida por el dano [41], resultando:

En esta expresión, Gf es la energía de fractura por unidad de área y l* es una longitud característica de los elementos finitos utilizados en el análisis [42].

La definición de la norma ^ en la ecuación (2) muestra que el umbral inicial de dano r0 está dado por:

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La evolución del índice de dano d y del umbral de dano r se rige por las relaciones:

• dF dG r = ¡ d = ¡df =¡d?

¡¡ es un parámetro de consistencia de dano que se utiliza para caracterizar las condiciones de carga o descarga mediante las relaciones de Kunh-Tucker:

Fr) <0

r) = 0

La integración explícita de estas relaciones proporciona los valores del índice de dano d y del umbral de dano r:

d(t) = J d(t)dt = G[r(t)]

r (t) = max[rQ, r (s)]

Figura 5. Comportamiento de dano y plasticidad para el acero.

Esta formulación se implementa en un algoritmo de cálculo iterativo paso a paso que se describe a continuación:

1) Obtención de las deformaciones en el instante inicial.

2) Determinación de A según la ecuación (6).

3) Inicialización r =0.

4) Evaluación de las tensiones no danadas a0 = E : e.

5) Obtención de r a partir del valor máximo de la norma ft.

6) Verificar si se ha alcanzado el criterio de dano r0 = r.

7) Actualización de las variables internas r = max [r0, r ] y d = G (r).

8) Actualización de las tensiones a = (1 - d) a0.

9) Fin del cálculo.

Este algoritmo es un modelo de dano implícito que está integrado analíticamente y, por lo tanto, la solución que aquí se presenta para la evolución de la variable interna de dano contiene el criterio de convergencia fijado por el umbral de dano y las condiciones de consistencia de dano [30].

4. Modelización del acero

4.1. Definición fenomenológica

A continuación se presenta una formulación elastoplástica con dano para representar el comportamiento del núcleo de acero de los disipadores de energía previamente descritos. La formulación está desarrollada en pequenas deformaciones y se utiliza el contexto de una formulación en grandes desplazamientos para representar el fenómeno de inestabilidad elástica producido por la compresión que sufren estas barras. Para describir el dano se utiliza el mismo modelo que en el apartado anterior.

Hay evidencias en el comportamiento del acero que demuestran que el dano y la plasticidad actúan juntamente [31]; sin embargo, los mecanismos de interacción entre la degradación de rigidez (dano) y las deformaciones permanentes (plasticidad) son de naturaleza muy distinta y no pueden ser simulados mediante un único modelo fenomenológico. Por esta razón se desarrolla una formulación para tratar ambos fenómenos a la vez.

Tal como se ha discutido en la descripción del modelo del mortero, el dano puede interpretarse como una reducción del área efectiva (parte no danada del material): A = (1 - d)A representa el área útil (no danada) y a y a son, respectivamente, las tensiones referidas a las áreas A y A; evidentemente, a = (1 - d) a. La reducción del área hace que el dano tienda a producir deformaciones plásticas en los metales; no obstante, no existe un "acoplamiento de

estado" sino que este se establece únicamente de forma indirecta a través de esta disminución de área.

En los metales, existe un umbral de deformación permanente (plástica) por debajo del cual no se produce dano, ya que en esta etapa la nucleación de microfisuras [31] corresponde a la acumulación de microtensiones o a dislocaciones. Por esta razón, para deformaciones inferiores a dicho umbral, se considera un modelo de plasticidad (con endurecimiento isótropo y cinemático) que comienza a actuar después de alcanzar el primer umbral de fluencia plástica definido por F(a -1; q) = f (a -1) - fy (q) < 0, donde f (a -1) es la función de tensión; i es una variable que expresa el endurecimiento plástico, es decir, la evolución de la superficie de discontinuidad plástica; fy es el límite elástico actualizado del acero; y q representa el conjunto de variables internas plásticas. El endurecimiento cinemático representa el efecto Bauschinger [43]; este se define en forma simple en el sentido de Prager y Melan [44] como i = ck£p, donde ck es un coeficiente que cuanti-fica la velocidad del endurecimiento cinemático. El endurecimiento isótropo expresa la evolución de la resistencia del umbral de plasticidad a través del incremento del límite elástico del acero: fy = fy + H¡ ||ep ||; en esta expresión, H¡ es el módulo de endurecimiento isótropo, fy es el valor inicial del límite elástico del acero y ep es la deformación plástica.

Una vez que se ha superado este primer umbral plástico, se incrementa el tamano de la función umbral de plasticidad (manteniendo su forma) hasta alcanzar el segundo umbral establecido por el criterio Fr) = G - G (r) <0 (ec. 4). Mas allá de este umbral la plasticidad y el dano se comportan en forma acoplada; este acoplamiento se representa, a nivel constitutivo, gracias al concepto de tensión efectiva a mencionado anteriormente. La figura 5 ilustra, en el espacio de las tensiones principales (a1, o2 y o3), los dominios elástico, plástico y de dano del acero; estos se refieren, en el espacio de tensiones, a las regiones en que el comportamiento del material es plástico sin dano y plástico con dano, respectivamente.

4.2. Modelo acoplado de daño y plasticidad

4.2.1. Introducción

Cuando se formulan modelos en los que entran en juego las leyes del dano y las leyes de endurecimiento plástico a la vez, surgen distintas posibilidades en relación con la consideración explícita del dano en la energía libre asociada al fenómeno plástico [45]; en este trabajo se utiliza un modelo de dano y plasticidad acoplado en forma débil, en el cual la fuerza termodinámica asociada al dano es la misma que en el modelo de dano simple antes descrito, f =-dd, y coincide con la energía libre Este enfoque

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consiste en considerar separadamente los dos mecanismos de dano y plasticidad y sus correspondientes funciones umbrales; se tienen entonces dos potenciales de disipación independientes y dos factores de consistencia (multiplicadores de Lagrange) independientes de plasticidad y y dano //:

F (ff-n; q) =I (ff-') - Iy (i) <G

. . dF(ff-n;q)

ep = у-a=-

F (ffo; r) = G[f (ffo)] - G (r) < G

d = // (10)

Este planteamiento tiene la ventaja de permitir la construcción de leyes independientes (aunque acopladas por medio del concepto de tensión efectiva) entre la plasticidad y el dano. En particular, según se regulen los umbrales de plasticidad y dano, se puede describir tanto el dano frágil (propio de materiales pétreos y cerámicos, en el que no se producen deformaciones plásticas significativas) como el dano dúctil (propio de materiales metálicos, en el que puede haber deformaciones plásticas importantes sin que se produzca dano).

4.2.2. Bases termodinámicas

El acoplamiento entre plasticidad y dano se establece definiendo la energía libre de Helmholtz mediante:

¥(e,ap, q, d) = [(1 —d) ¥o(e)] — [e: op] + *p(op, q) (11)

En esta expresión el primer sumando representa la energía del modelo con dano y los 2 sumandos siguientes corresponden a la plasticidad; es un potencial plástico y la energía libre sin dano corresponde a:

^o(e) = 1 e: E : e (12)

El potencial disipativo [40] se puede expresar mediante:

S = o : e—= o : e — (1 — d) —— : e+d+ e : o„ + e : Op

+ d ; +

(1 -d) ^ -ffp

: e (13)

a; дffD

: CTp- iq: 11 >G

De esta última expresión, tras aplicar las condiciones de Coleman [46], surgen tanto las ecuaciones constitutivas secantes que describen el comportamiento del acero como las desigualdades que rigen la disipación producida por el dano y la plasticidad:

ff = (1 - d) -g-0 - ffp - .e

Sp = iqp : 11 <G

дФ„

3d = d ^o>G

La variable termodinámica y conjugada de la variable de dano resulta:

i (f)=-ï=;

4.2.3. Regla de evolución de la plasticidad

La función umbral de plasticidad en términos de las tensiones efectivas corresponde al criterio de von Mises:

I (ff-n) - Iy = y 3 dev (ff-n) : dev (ff-n) - Ly(q) < G (16)

Utilizando la hipótesis de plasticidad asociada y la condición de consistencia plástica, se obtienen las ecuaciones que describen la evolución de la respuesta plástica en el espacio de deformaciones:

д1 - д1 . д1 . ф: ff + : n + : ci = G дff д' dq

__ _ Э2Фо : s_ Э2 ; : s_ . di de®de p de«de de

Э2Фо de®de

: (г-у

JL dff

Э2Фо Эе®Э<

df . Э2;

_ Э2Фо de®de de®de

Teniendo en cuenta la ecuación (9), se concluye que la evolución cinemática de la superficie de discontinuidad se expresa mediante:

П = ckiîp = у Ck

dF(ff - n; q) dff

= )/ Ck

дет

En esta expresión, el coeficiente ck se relaciona con el módulo de endurecimiento cinemático Hk mediante ck = |H. El vector q se relaciona con y introduciendo un vector h según:

q = у h

Reemplazando estos resultados de o, tt| y q en (17) se obtiene la derivada temporal del factor de consistencia plástica y:

д2Фр de®de

д2Фо

да ' de®de ' да

с д'

Л , .i

dff + dq

La relación constitutiva tangente efectiva se expresa como:

ff = E : e

El tensor constitutivo tangente resulta:

ET = d2;

д2Фо

de®de ' да

L ® I :

д2Фо

да ' de®de

de®de

df : д2 ;

да ' de®de ' да

Ю _ ( Ck .di : JL + ai : h

да I l k d' ' dff dq '

Si se consideran modelos de plasticidad asociada este tensor es simétrico.

El límite del dominio elástico dado por la ecuación (16), la regla de flujo dada por la ecuación (9), la condición F (o — q) y = 0 [46] y las relaciones (21, 23) describen el comportamiento plástico del

4.2.4. Tensor elastoplástico dañnado tangente

El tensor constitutivo tangente obtenido en la ecuación (23) corresponde al problema elastoplástico en el espacio de tensiones efectivas; sin embargo, el acoplamiento entre dano y plasticidad exige que este tensor sea trasladado al espacio real, donde es afectado por el dano. El tensor tangente en el espacio de tensiones reales se deduce de la expresión [47]:

ff=(1 -d) le -ffp = (1 -d)

dWo de

-ffp = (1 -d) ff (24)

Derivando esta relación y teniendo en cuenta la ecuación (22) se obtiene la relación constitutiva tangente

CT = (1 -d) ff- d = (1 - d) ET : e - e : ff = ET : e

En esta expresión, HD es un coeficiente que rige la evolución

del dano. A partir de esta expresión se obtiene la relación entre los

—t T

tensores tangentes E en el espacio de tensiones efectivas y ET en

el espacio de tensiones reales:

et - d-o Et - hD i'® de

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En general, el tensor ET no es simétrico, excepto en los casos de dano sin plasticidad (a = ^dr, lo cual implica ap = 0) o plasticidad sin dano (plasticidad asociada y HD = 0).

4.2.5. Algoritmo del modelo de dano escalar acoplado con plasticidad

El procedimiento se implementa en forma desacoplada, en primer lugar el problema de dano y después el plástico, mediante un algoritmo iterativo de tipo retorno mapeado. A continuación se esquematiza este algoritmo; los índices de los procesos iterativos de dano y plástico se representan mediante n y k, respectivamente.

mortero

Figura 6. Contacto entre mortero y acero.

1) Obtención del campo de deformaciones e".

2) Predictor elástico d" y umbral de dano r".

3) Evaluación de la energía libre no danada: ^JJ(e) = 1 en : E : en

4) Evaluación de la norma de energía de dano: ф = ф (^n)

5) Verificación del criterio de dano: si F (o0; rn) = G [ф (о0)] -G (rn) < 0 no hay evolución del dano y se continúa en la etapa 8.

6) Evolución del dano. Evaluación de la variable de dano dn =

G (Vn)

7) Actualización del umbral de dano: r" = ф"

8) Predictor elástico (k = 0): (op)0 =

= №)' - fa)0; W*

n p) 0

= (fy) 0 = f

9) Verificación de la condiaión de evolución plástica: si F(a - q; q)JJ =f(a - i)JJ - (/y)k <0 no hay evolución plástica y se continúa en la etapa 14.

10) Evolución del proceso plástico: k = k + 1, n

11) Cálculo del parámetro de consistencia plástica:

: 9e®9e

Э2Ф0 9e®9e

4 + f : h do- 9q

Э2Ф0 9e®9e

-, еД : 4 + df

9^ ' dw 9q

12) Actualización de las variables plásticas y de la tensión efectiva:

(oon = (ap)ü-1+^(Jf))^; qn=q¡?-1+AKk(h)n-1 =

(fy)n f + HpSp; in = ck(íép)k; a = (d^)" - (ap)n

13) Regresar a la etapa 9.

14) Fin de la corrección plástica: ap = (ap)k; qn = qjj; an = o^; an = (1 -d) an

15) Fin de la integración de la ecuación constitutiva.

5. Modelización de la interfaz entre el acero y el mortero

El problema de contacto entre el núcleo de acero y el mortero circundante se describe mediante un modelo de contacto de penalización [32]. La superficie de acero se considera como la penetrante, mientras que la de mortero adopta el papel de penetrada; la penetración se representa mediante una formulación de pena-lización interponiendo un resorte de rigidez elevada entre ambas superficies. En el correspondiente modelo de elementos finitos el contacto se establece nodo a nodo. El subsiguiente modelo de distancia mínima se resuelve minimizando la energía potencial:

П = 1 J (kngn2 +ktg2 ) dA

En esta ecuación, r es la superficie de contacto y kn y kt son coeficientes de penalización en dirección normal y tangencial, respectivamente. Los coeficientes escalares gn y gt también corresponden a dirección normal y tangencial, respectivamente, y están dados por

gn = (xm -xs)ns

En estas expresiones, xm y xs son, respectivamente, las coordenadas de los puntos de mortero y de acero, ns es el vector unitario normal a la superficie penetrante (de acero), u es el desplazamiento tangencial relativo del punto del acero y g es la coordenada convectiva. La figura 6 describe los significados de estas magnitudes.

El modelo de penalización considerado se describe para una dimensión en la figura 7.

En la figura 7, k es la rigidez del muelle que representa a las superficies en contacto, h es la separación entre las superficies (fig. 6), u es el desplazamiento del nodo en dirección normal a la superficie y m es la masa correspondiente al nodo.

A la energía dada en la relación (27) se anade un término de penalización:

П (u) = 7Tku2 - mgu + -ke(h - u)

En esta expresión, g es la aceleración de la gravedad y ke es interpretado como la rigidez del muelle de la superficie de contacto (parámetro de penalización) que rige la penetración. La minimiza-ción de la energía expresada en la ecuación (29) proporciona el valor de u y, a partir de este, se determina inmediatamente la restricción h-u:

h - u =

kh - mg k + ke

Figura 7. Modelo unidimensional de penalización.

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Si h - u <0 se produce penetración. La fuerza normal entre ambas superficies pn está dada por

■ (kh - mg)

El problema de contacto está gobernado por las conocidas condiciones de Herz-Signori-Moreau [33]:

gnPn = 0

En las relaciones (32) la primera desigualdad expresa la imposibilidad de penetración y la segunda indica que la fuerza normal entre ambas superficies no puede ser positiva (es decir, solo puede haber compresión) y la igualdad impone que o bien gn = 0 (contacto), o bien pn = 0 (separación).

En la formulación considerada se toman, en la expresión 27, dos valores k€T y kfN que representan la penalización del contacto tangencial y normal a la superficie, respectivamente.

A continuación se describe la implementación del algoritmo resultante.

1) Definición de los coeficientes k€T y kfN de penalización del contacto tangencial y normal.

2) Determinar si hay contacto (gn = 0) o penetración (gn < 0).

3) En caso de haber contacto, utilizar las condiciones de Herz-Signori-Moreau (32) para establecer si se da bloqueo o deslizamiento.

4) Ensamblar la matriz tangente KT.

5) Obtener iterativamente KT mediante el método de Newton-Raphson.

6) Fin del proceso de cálculo.

6. Modelo integrado de las barras de pandeo restringido

6.1. Modelo integrado

Los modelos del mortero, del acero y del contacto descritos en los 3 apartados anteriores se implementan conjuntamente en el programa Abaqus [34]. El subsiguiente problema dinámico se resuelve numéricamente siguiendo una formulación explícita; esta se elige porque la matriz de rigidez está mal condicionada a causa del modelo de contacto de penalización. La integración de los modelos del mortero, del acero y del contacto se lleva a cabo imponiendo una condición de balance energético; para este fin el tensor de velocidades de deformación é se descompone según é = ée + ép + éd, donde éd corresponde a la deformación recuperable de dano. El cumplimiento de esta condición garantiza la integración de los modelos en un modelo conjunto capaz de describir el comportamiento dinámico de barras de pandeo restringido.

100 x 30 x 30 mm (revestimiento) 100 x 10 x 10 mm (núcleo)

Figura 8. Ejemplo simplificado de barra de pandeo restringido.

acero y el revestimiento de mortero consiste meramente en una holgura de 0,12 mm de espesor. El acero es S275, es decir, el tipo utilizado más comunmente en la construcción en Europa; el peso específico es 78, 5 kN/m3, el límite elástico es fy = 275 MPa, la resistencia última es fu =410 MPa, el módulo de Young es Es = 210 GPa, el coeficiente de Poisson es v = 0,2, el módulo de endurecimiento cinemático se ha tomado como Hk = 21 GPa y la energía de fractura por unidad de superficie se considera igual a Gf = 68, 5 MPa. Para el mortero se consideran los siguientes parámetros mecánicos: peso específico 27,5 kN/m3, resistencia a compresión f = 39, 92 MPa, resistencia a tracciónf = 3, 99 MPa, módulo de deformación elástica Em = 17,52 GPa, coeficiente de Poisson v = 0,2 y energía de fractura por unidad de superficie Gf = 104 Pa. En el modelo de contacto el coeficiente de rozamiento es k = 0,1, la direccionalidad es isótropa y no hay límite en la transferencia de tensiones tangenciales.

La figura 9 describe el movimiento axial impuesto al núcleo; este se somete a 6 ciclos triangulares simétricos cuyas amplitudes son, respectivamente, Ay, 2Ay, 3Ay, 5Ay, 10Ay y 15Ay; siendo Ay el desplazamiento que genera plastificación del núcleo, que viene dado por Ay = ^ = 227150000° = 0,13 mm. La amplitud máxima (15Ay) se elige para generar los fenómenos que se desea reproducir: plastificación del acero, transferencia de tensiones tangenciales entre el núcleo y el revestimiento, dano en el mortero y dano en el núcleo.

La figura 10 representa los ciclos de histéresis, es decir, diagramas de la fuerza y del desplazamiento axiales en el núcleo. Los valores positivos de fuerza y de desplazamiento corresponden a tracción y a alargamiento, respectivamente.

Aparte de la obvia constatación de la plastificación del acero, la figura 10 pone de manifiesto la capacidad del modelo propuesto para reproducir los fenómenos implicados en el problema considerado:

6.2. Comprobación del modelo integrado de las barras de pandeo restringido

Se verifica la capacidad del modelo para reproducir el comportamiento cíclico de barras de pandeo restringido mediante el ejemplo mostrado en la figura 8.

La figura 8 representa una barra de pandeo restringido formada por un núcleo de acero de 100 mm de longitud y sección cuadrada de 10 mm de lado rodeada por un revestimiento de mortero de 100 mm de longitud y sección cuadrada de 30 mm de lado; las condiciones de borde indicadas (empotramiento y extremo libre) podrían corresponder a la mitad de la longitud de una barra articulada en sus extremos. Se muestra la discretización mediante elementos finitos paralelepipédicos lagrangianos de 8 nodos, cada elemento es un cubo de 10 mm de lado; para la adecuada representación del contacto entre el acero y el mortero se ha procurado que este se establezca nodo a nodo. La interfaz deslizante entre el núcleo de

Tiempo (s)

Figura 9. Movimiento axial impuesto.

МЯЖИД^И A RIIILE IN PRESS

8 J.C. Castro Medina et al / Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2014;xxx(xx):xxx-xxx

Desplazamiento (mm)

Figura 10. Ciclos de histéresis del modelo de la barra de pandeo restringido.

• Ya que los ciclos impuestos son simétricos (fig. 9), las diferencias entre las fuerzas de tracción (positivas) y de compresión (negativas) senalan la transferencia de tensiones tangenciales entre el núcleo de acero y el revestimiento de mortero generada por el bloqueo en el contacto entre ambos. Por ejemplo, en la esquina superior derecha de la rama plástica inicial el desplazamiento es 0,637 mm y la fuerza es 36,98 kN, mientras que en el punto opuesto el desplazamiento es —0,623 mm y la fuerza es —38,60 kN.

• La inclinación de las ramas plásticas de los ciclos iniciales (de pequena amplitud) indica el endurecimiento isótropo.

• El crecimiento de las ramas plásticas de los ciclos finales (de mayor amplitud) indica el endurecimiento cinemático.

• La rama plástica decreciente (en la zona de compresiones) corresponde al dano en el acero del núcleo.

En la referencia [28] se presentan más verificaciones de la capacidad del modelo, incluyendo comparaciones con resultados experimentales.

7. Conclusiones

Este trabajo presenta un modelo numérico del comportamiento estructural cíclico de barras de pandeo restringido constituidas por un núcleo de acero esbelto recubierto por una carcasa de mortero de mayor rigidez que tiene por objeto impedir su pandeo cuando se encuentra comprimido. El comportamiento del núcleo de acero se describe mediante un modelo original que considera el acoplamiento débil entre el dano y la plasticidad, el comportamiento de la carcasa de mortero se describe mediante un modelo de dano isótropo, y el comportamiento de la interfaz de deslizamiento se describe mediante un modelo de penalización de contacto.

Se presentan resultados del modelo integrado de las barras de pandeo restringido; obviamente, ello involucra a los modelos del mortero, del acero y de la interfaz deslizante. Estos resultados ponen de manifiesto la capacidad del modelo para reproducir los fenómenos implicados en el comportamiento no lineal de barras de pandeo restringido: (i) plastificación y endurecimiento isótropo y cinemático del acero del núcleo; (ii) pandeo del núcleo expresado mediante transferencia de tensiones tangenciales entre el núcleo de acero y el revestimiento de mortero generada por el bloqueo en el contacto entre ambos, (iii) dano en el acero del núcleo. Esta constatación se completa en otro artículo (publicado en una revista de ingeniería sísmica) con la comparación satisfactoria entre los resultados experimentales y los resultados numéricos obtenidos con el modelo presentado.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido financiado por el gobierno de Espana, proyectos CGL2GG8-GG869/BTE, CGL2G11-23621, BIA2GG8-GGG5G y BIA2G11-26816 y por la Unión Europea (fondos Feder).

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