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Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 13 (2016) 207-219
R I A I
www.elsevier.es/RIAI
Generación Determinística de Lenguajes Legales para Sistemas de Eventos Discretos
Muñoz, Doyra Marielaa, Correcher, Antoniob, García, Emiliob, Morant, Franciscob
a Grupo de Automática Industrial, Universidad del Cauca, Popayán, Colombia. bInstituto de Automática e Informática Industrial, Universitat Politécnica de Valencia, Camino de Vera, no14, 46022, Valencia, España.
Resumen
En este artículo se propone una red de Petri, interpretada, estocastica, (st-IPN), como modelo para representar el lenguaje regular obtenido a partir de la combinacion de señales de entrada - salida, en un sistema de eventos discretos (SED) en lazo cerrado. Las señales de entrada, son las señales externas que afecten al sistema y las (ordenes de control emitidas por el controlador a la planta y las señales de salida son las respuestas de los sensores a las ordenes de control. La st-IPN propuesta, es un generador determinista del lenguaje legal del sistema, capaz de representar secuencias de eventos temporizados de naturaleza estocastica. El modelo propuesto puede ser aplicado a sistemas de gran escala, a partir de la division del sistema en subsistemas, ya que el modelo global puede ser encontrado con base en la composicion de los modelos de los subsistemas.
Palabras Clave:
Modelado de sistemas de eventos discretos, Redes de Petri, Observabilidad temporal.
1. Introducción
En (Guasch et al., 2005) los autores definen un sistema como una coleccion de objetos o entidades que interactóan entre sí para alcanzar un cierto objetivo y el estado de un sistema como un conjunto mínimo de variables necesarias para caracterizar o describir todos aquellos aspectos de interés del sistema en un cierto instante de tiempo. El problema de modelado de un sistema dinamico se puede ver, de acuerdo a Lunze (1998) como: "Dado un sistema dinamico S, con un conjunto de preguntas B, sobre su comportamiento, encontrar una representacion M que ayude a responder a las preguntas dadas; entonces, M se llama el modelo de S". Desde este enfoque se precisa que dado que el modelo se utiliza para resolver un problema, este no necesariamente es unico.
El modelado de sistemas de eventos discretos (SED) ha sido estudiado desde hace muchos años, tanto por la academia como la industria; puesto que la evolucion exponencial de las tecnologías industriales de computacion, comunicacion y de sensores ha traído nuevos sistemas dinamicos, complejos y flexibles que se caracterizan por acontecimientos discretos, algunos controlados y otros no, algunos observados por sensores y otros no,
* Autor en correspondencia.
Correos electronicos: mamunoz@unicauca.edu.co (Muñoz, Doyra Mariela), ancorsal@upv.es (Correcher, Antonio ), egarciam@isa.upv.es (García, Emilio), fmorant@isa.upv.es (Morant, Francisco)
algunos aparecen de forma automática a partir de los procesos físicos remotos y algunos se generan manualmente por los usuarios. Los SED tienen un comportamiento que se representa por una secuencia finita o infinita de estados delimitados por eventos que ocurren de manera asincrona o síncrona (Cassan-dras y Lafortune, 2008).
Varias propuestas de modelado han sido dadas usando diferentes enfoques: autómatas, maquinas de estado finito, Redes de Petri (PN) y cadenas de Markov. En el caso de los sistemas de manufactura, donde pueden existir dinamicas determinadas por eventos discretos, si se utilizan autómatas como formalismo de modelado, las dimensiones de tales modelos pueden resultar intratables para su analisis en tiempo real, particularmente cuando se aplica para detectar y diagnosticar fallos. (Gonzalez-Miranda, 2014).
Las PN han sido reconocidas como un modelo apropiado para describir SED (Ichikawa y Hiraishi, 1988; Girault y Valk, 2003; Silva, 1993), particularmente cuando se trata de sistemas asincronos (Fanti et al., 2012; Hu et al., 2012). Las PN incorporan la nocion de estado distribuido y de reglas que permiten pasar de un estado a otro, lo cual captura tanto el comportamiento estatico como el comportamiento dinamico.
Teniendo en cuenta que un sistema en lazo cerrado es una interrelacion de señales, se han desarrollado propuestas de modelado bajo PN que se han denominado modelos de sistemas de condiciones; estos modelos se representan mediante PN con entradas y salidas explícitas llamadas condiciones (Ashley y
© 2015 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L.U. Este es un artículo Open Access bajo la licencia CC BY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/) http://dx.doi.org/10.1016/j.riai.2016.01.002
Holloway, 2004); esas representaciones permiten la interacción entre subsistemas así como la interacción de la planta con el controlador (Holloway et al., 2000).
(Sreenivas y Krogh, 1991) definen una clase de sistemas dinamicos de eventos discretos (DEDS), en tiempo continuo, llamados sistemas condicion/evento (C/E) y tambien definen modelos para estos sistemas basados en una extension de las PN y los llaman C/E PNs (por sus siglas en ingles) con dos tipos de valores de senales discretas de entrada - salida (E/S): condiciones de senales y señales de eventos; las senales de condicion E/S llevan informacion del estado y las senales de evento E/S llevan informacion de transicion de estado. La idea general es modelar un sistema como un conjunto de modulos con un comportamiento dinamico particular y su interconexion a partir de sus señales, (Patil et al., 2012). Las condiciones y los eventos de entrada pueden ser conectados con algunas transiciones dentro del modulo por condiciones y arcos de eventos. Los modulos de lugares pueden ser conectados a las condiciones de salida por condiciones de arco, y las transiciones a los eventos de salida por eventos de arco. Estos conceptos proveen una base para un enfoque de composicion para construir modelos de sistemas grandes a partir de componentes pequenos, (Patil et al., 2012). Este tipo de propuestas de modelado se han desarrollado basicamente para ser utilizadas en verificacion de propiedades como: alcanzabilidad, acotabilidad y vivacidad; aunque Ashley (2004), presenta una propuesta basada en sistemas de condicion para realizar diagnostico de fallos.
Otra forma que ha sido ampliamente estudiada en el modelado de SED utilizando PN son las redes de Petri temporizadas (t-PN), que fueron introducidas por Merlin y Farber (1976); Berthomieu y Diaz (1991). Las t-PN, son PN extendidas con tiempo en las transiciones; poseen la expresividad necesaria para modelar sistemas en lazo cerrado y presentan beneficios para realizar analisis de verificacion de propiedades. (Berthomieu et al., 2004; Gardey et al., 2005). Para modelar sistemas complejos, se han realizado propuestas de division en subsistemas; pero la composicion de PNs no ha sido trivial. Berthomieu et al. (2006) presentan una propuesta de composicion, siempre que las transiciones sean sincronizadas. En Peres et al. (2011) se presenta una solucion que facilita la especificacion de los sistemas dependientes del tiempo, en un planteamiento de composicion de componentes modelados como t-PN. En la mayor parte de las t-PN las transiciones tienen un tiempo asociado, por lo que la evolucion queda determinada por el disparo de las transiciones. Una transicion se puede disparar, si el tiempo esta dentro de su intervalo de disparo estatico (Boucheneb y Had-jidj, 2006). En Salum (2008) se propone una PN conducida por eventos en lugar del paso del tiempo, denominada EDPNs, (por sus siglas en ingles). Las EDPNs emplean arcos inhibidores, arcos de ensayo y lugares con capacidad finita; como el tiempo es considerado un estado (marcado) del sistema (PN), su paso se corresponde con el juego de marcas que genera un arbol de alcanzabilidad. Al introducir arcos inhibidores existen muchas dificultades para utilizar las herramientas de analisis cualitativo de las PN.
Por otro lado, como la transicion de estados en un SED es un evento (Ramadge y Wonham, 1989), este se puede modelar a
partir de su lenguaje. El lenguaje que modela el comportamiento de un sistema se puede representar por su expresion regular, (Sampath et al., 1996), que es una síntesis de todas las combinaciones validas de eventos. En Ramadge y Wonham (1989) un SED es modelado como un autómata y su comportamiento es representado por su lenguaje; pero este tipo de modelos pueden presentar inconvenientes en sistemas con gran cantidad de dispositivos debido a la explosion combinatoria de estados; suele ser mas conveniente emplear formalismos con mayor capacidad de condensacion de estados, como las PNs.
Una PN tienen un poder mas descriptivo que las maquinas de estados finitos en el sentido que el conjunto del lenguaje de la PN, es un superconjunto de los lenguajes regulares y permite un modelado mas conciso, (Kumar y Holloway, 1996; Valk y Vidal-Naquet, 1981). Algunas propuestas para modelar SED bajo el lenguaje en PN se pueden ver en Nakamura et al. (1998); Sreenivas (1993, 2006); Gaubert y Giua (1996) o para encontrar ciclos en sistemas de estados repetitivos en Desel (2013).
Respecto a la utilizacion de PN para identificacion y diagnostico, varias propuestas de modelado se han generado utilizando PN extendidas como: PN interpretadas en Cabasino et al. (2011); Dotoli et al. (2008a); Estrada-Vargas et al. (2012) o como PN temporizadas en Basile et al. (2011).
1.1. Enfoque del trabajo
La aplicacion de la presente propuesta de modelado es el diagnostico de fallos en SED; por lo tanto esta debe permitir explorar los eventos observables para detectar la ocurrencia de eventos no-observables. Los eventos no-observables son eventos que ocurren por algun tipo de fallo o son eventos que generan cambios en el sistema sin que sean registrados por los sensores.
Como se describio en la introduccion, de acuerdo a Lunze (1998), un modelo debe generarse para resolver preguntas sobre el comportamiento del sistema al que representa; por lo tanto, las preguntas a solucionar teniendo en cuenta que el modelo se genera para realizar diagnostico son:
■ Dado el lenguaje legal de un SED, ¿como representarlo bajo una PN de tal manera que el lenguaje legal sea igual al lenguaje de la PN?.
■ ¿Que tipo de eventos no-observables pueden ser explicados? y bajo ¿que condiciones?, a partir de algunas secuencias de eventos observados.
Para solucionar las preguntas se propone un generador determinista del lenguaje legal de un sistema, basado en una red de Petri interpretada temporizada (st-IPN), cuyo lenguaje generado es el mismo lenguaje legal y representa el conjunto de todas las posibles secuencias de eventos del sistema en estado libre de fallos.
Para sistemas de gran escala, se propone dividirlo en subsistemas. El sistema global se modela a partir de modelos locales (en cada subsistema) que representan las mismas características que el modelo global. Un sistema se define como en la Figura 1.
Figura 1: Sistema a Modelar
En la Figura 1, se puede observar que el sistema es una in-terrelacion de señales de E/S en lazo cerrado. Es un sistema de condiciones en donde la ocurrencia de eventos es estocastica y se consideran como senales de entrada tanto las senales externas que afecten al sistema como las ordenes de control y como senales de salida, la respuesta de los sensores.
El modelado de un SED como st-IPNs presenta ventajas frente a otras propuestas porque es escalable, es decir, modela sistemas independiente de su tamano, genera modelos deterministas, permite realizar composicion sincronizada a traves del lenguaje generado y se puede aplicar a problemas de diagnostico basandose en las propiedades de observabilidad en sistemas estocasticos, que se demuestran en este trabajo.
El presente artículo describe en la sección 2 las definiciones de operaciones basicas sobre teoría de lenguaje y la simbología a utilizar en las secciones siguientes, así como los requerimientos del sistema a modelar; en la seccion 3 se relacionan los fundamentos teoricos respecto a PN necesarios para el diseno de la propuesta de modelado; en la seccion 4 se define la propuesta de modelado como una st-IPN; en la seccion 5 se presenta la propuesta de modelado para sistema de gran escala; en la seccion 6 se valida la propuesta a partir de un ejemplo de aplicacion a un proceso y finalmente se describen las conclusiones y trabajos futuros.
2. Eventos y Lenguaje del sistema
Una manera de estudiar el comportamiento de los SED es emplear la teoría de lenguajes. Un evento es la representacion de un cambio instantaneo en alguna parte del sistema, puede caracterizarse por un valor y un instante en el que ocurre, (Giua, 2013); un evento constituye una letra y el conjunto de eventos es el alfabeto; una secuencia de eventos es una pala-bra,(Cassandras y Lafortune, 2008). El conjunto de eventos, Q, tambien incluye el evento nulo, e, que modela la situacion en la que no ocurre ningun evento, (Correcher, 2005).
Sea Q un conjunto de eventos y Q* un conjunto finito de palabras sobre Q; un lenguaje L es un subconjunto de Q*. Dadas dos palabras s y s/, ss/ es la concatenacion de s y s/. |s| es el tamano de la palabra s.
Definición 1. Operacion de Proyeccion.
Dados dos conjuntos de eventos Q1s Q tales que Q1 c Q, se define la operacion de proyeccion de palabras, PQl : Q* ^ Qi¡, así PQ1 (e) = e siendo e un evento nulo, y para a e Q, s e Q*, PQ1 (as) = aPQi (s) si a e Q1 y PQl (as) = PQ1 (s) si a <t Q11(Cassez y Tripakis, 2008).
Esta operacion permite eliminar palabras en Q* que no pertenecen a Qi[. Dentro del contexto del presente trabajo es importante definir la proyeccion sobre lenguajes compuestos.
Definición 2. Operacion de Proyeccion sobre conjuntos de eventos compuestos Pc.
Dados dos conjunto de eventos Qp, Qq y dados dos eventos ep y eq, tal que, ep e Qp y eq e Qq, un evento compuesto w es la concatenacion de ep y eq, es decir, w = epeq, entonces Q = QpQq es un conjunto de eventos compuestos. La operacion Pc se define como: Pc : Q ^ Qq, es PcQq (e) = e; PcQq (epeq^ =
PQ,(ep)PQ,(eq).
Esta operacion elimina palabras en Q* que no pertenecen a QpQq y eventos Qp (o Qq) que no pertenecen a Qp (o Qq).
El sistema a considerar en el contexto del presente trabajo tiene una estructura basada en la lectura de senales de E/S, como el mostrado en la Figura 1; el comportamiento del sistema se ve afectado por señales de entrada tales como: externas al controlador, externas a la planta e internas al controlador (ordenes de control) agrupadas en: Entradas = {EExC, EExP, EInP} y por senales de salida representadas por las lecturas sensoriales como: Salidas = {sr1,..., sr„sr}, siendo nsr el numero de lecturas sensoriales. Todas las senales se consideraran binarias.
Definición 3. Representacion de senales binarias.
Dado un conjunto de ns señales, cuyos valores se representan en cadenas de ceros o unos; la notacion xdec representa la combinacion de una cadena tal que x es el nombre de la señal y dec es la representacion decimal de la cadena. El conjunto X agrupa todas las combinaciones posibles de las senales; es decir X = {x0, ••• , x2ns-1}.
Por ejemplo: si el numero de señales binarias es ns = 3, entonces X = {x0, x1t ••• , x7}; donde x0 = [000] ••• x7 = [111].
Las entradas externas al controlador, EExC = jec1, ••• , ec
con cardinalidad nec tales como comandos del SCADA o los requerimientos del operario, entre otros, afectan el funcionamiento del sistema. Al conjunto de todas las combinaciones posibles de entradas externas al controlador se le ha denominado modo de operacion (OM).
Definición 4. Modo de Operacion.
Un modo de operacion es una cadena de ceros o unos que representan los valores de las señales de entrada externas al controlador. Un modo de operacion se representa como oom, con base en la Definicion 3. El conjunto de todos los modos de operacion se denomina OM. OM = {o0, ••• , o2nec_1}.
EExP son señales de entrada que afectan directamente a la planta y corresponden a comportamientos legales o a comportamientos de fallo; pueden ser observables o no-observables, entonces EExP = {EExPo, EExPuo},con EExPo = [eop1, ••• , eopneop} donde neop es el numero de entradas externas observables a la planta y EExPuo = i^euop1, ••• , euopneop}, donde neuop es el niime-ro de entradas externas no-observables a la planta.
Las entradas internas a la planta estan constituidas por el conjunto de acciones de control, EInP = {Cc} = ¡cc1,••• ,ccnccj siendo ncc el numero de ordenes de control.
Para modelar el comportamiento de la planta controlada se interrelacionan sus entradas y sus salidas. Las entradas a la planta son U c Entradas, donde U = {EExPo, EExPuo, Cc}, EExPo y Cc son entradas observables y EExPuo son entradas no-observables. Por lo tanto el número total de entradas es m = mo + muo, donde mo es el numero de entradas observables, mo = neop+ncc y muo = neuop es el numero de entradas no-observables.
Las salidas de la planta es el conjunto Y = {Salidas}; el nuí mero total de salidas es n, n = nsr.
El conjunto de entradas es U = {u0, ■■■ , u2m-1}, donde us es una cadena valores de entrada en un instante determinado; us = \euopi ■ ■ ■ euopneop eopi ■ ■ ■ eopne„p cci ■■■ ccncc\, us es un símbolo de entrada cuya representacion se basa en la Definicion 3.
El conjunto de salidas es Y = {y0, ■■■ , y2n-1}, donde yj es una cadena de valores de salida en un instante determinado; yj = [sr1...srn], yj es un símbolo de salida cuya representacion se basa en 3.
Un símbolo de E/S relaciona un símbolo de entrada y uno de salida: {usy^, donde us e U siendo U = {u0, ■■■ , u2m-1} y yj e Y siendo Y = {y0, ■■■ , y2n-1}.
El lenguaje es un conjunto finito de secuencias de símbolos, < = e1e2 ■ ■■ en, conocidos como palabras. De acuerdo a (Cas-sandras y Lafortune, 2008), el lenguaje generado por un SED puede ser considerado con tres niveles de abstraccion: lenguaje estocastico temporizado, lenguaje temporizado y lenguaje sin tiempo. La adicioí n de tiempo a una palabra puede hacerse dando a cada símbolo un valor de tiempo, resultando una secuencia de pares de símbolos: símbolo-tiempo. Entonces una secuencia temporizada es: < = (e1, t1) (e2, t2) ■■■ (en, tn) donde si ti ~ f(ti), siendo f (ti) una funcion de densidad, donde el tiempo se considera estocastico.
Dado que el comportamiento de los sistemas industriales no es determinístico y es el enfoque del presente trabajo, se considera modelar con base en eventos temporizados estocasticos cuyo símbolo se define a continuacion.
Definición 5. Evento temporizado.
Un evento temporizado < es un símbolo de E/S; que se genera cuando al menos una serial de E/S cambia de un instante tí-1 a tí; el cual para cada modo de operacion om, tiene asociado un tiempo C. Se representa como: < = (usy^ .fjm, donde si tom no es constante, entonces teL ~ f(fovm), es decir tom tiende
U/Il Uní v Util' Ufll
a una funcioí n de densidad de probabilidad.
Por lo tanto:
< = {uy) .f (f0vm)
en el instante tí. tevm, es el tiempo transcurrido entre dos eventos consecutivos en un modo de operacioín om.
tom = iTii - ití_1|
Definición 6. Operacion proyeccion de evento temporizado Pt.
Sea un evento temporizado de la forma < = a.tev donde a es un evento. Dados dos conjuntos de eventos temporizados Q1s Q tal que Q1 c Q, se define la operacion de proyeccion de evento temporizado, PtQ1 : Qi¡ — Q*, así: PtQi (e) = e siendo e un
evento nulo y PtQí (a.tev) = PQ1 (a) PQ1 (tev) donde PQ1 (a) = a si < e Q1 y PQ1 (a) = e de lo contrario; pero PQ1 (tev) = tev si < e Q1 o < <t Q1.
Esta proyeccioí n elimina de Q los eventos temporizados que <t Q1; pero si tiene en cuenta el tiempo que los eventos temporizados eliminados gastan en Q.
Definición 7. Operacion proyeccion de secuencia temporizada Pt.
Sea s una secuencia de eventos temporizados donde s = <0 ■■■ <k. Dados dos conjuntos de eventos temporizados Q1s Q tal que Q1 c Q, se define la operacion de proyeccion de secuencia temporizada, PtQ 1 : Q1¡ — Q*, así, V< e s, donde s e Q*, PtQi (s) = PtQl ■ ■ ■ PtQl <). Para encontrar el tiempo en la proyeccion, se inicializa una variable tproy = 0. Para í = 0 : k, si PtQ1 (a.tev) = a.tev entonces tproy = tev y la variable regresa a cero tproy = 0; de lo contrario, si PtQi (a.tev) = e.tev, t = t + tev
1 proy lproy ' 1
Esta definicioí n permite hallar el tiempo de los eventos proyectados.
Definición 8. Alfabeto del sistema.
El alfabeto del sistema Q, es el conjunto de símbolos de E/S temporizados <'. Con < = (usy^ . f (teovm), donde usyj e U.Y, |U.Y| = |2m| x |2n| y f (tovm) e ó es la funcion de densidad del evento, ó es una funcion de asignacion de las funciones de densidad. Es decir < e (U.Y)* .ó.
El lenguaje estocastico temporizado L, para el sistema a modelar es un subcom^nte de secuencias de eventos temporizados, tal que L c Q*, donde, Q : {<" = (usy^. fite^ que se generan en instantes tí. Es decir:
L = {s|s c Q*} (3)
Por lo tanto L = {<0, ■■■ , < a instantes t0 < ■ ■ ■ < Tk.
3. Bases sóbre Redes de Petri.
Las redes de Petri (PN) constituyen una familia de formalismos bien conocidos para el modelado, analisis y síntesis de sistemas concurrentes y distribuidos formalizados como discretos, (Girault y Valk, 2003; Silva y Recalde, 2007); proveen modelos compactos y capturan características importantes de los SED, como concurrencia, sincronismo, relaciones causales, recursos compartidos, etc. A continuacion se presentan algunas definiciones sobre el tema.
Definición 9. PN.
Una PN N, es un grafo bipartito representado por la tu-pla N = (P, TR, Pre, Post, M0) (Murata, 1989) donde: P es el conjunto de lugares con cardinalidad np, TR es el conjunto de transiciones con cardinalidad ntr, Pre : P x TR — N y Post : TR x P — N son la matrices que contienen los arcos que conectan lugares y transiciones y M0 es el marcado inicial; la funcion de marcado M : P — N representa el numero de marcas en cada lugar. (Murata, 1989; Dotoli et al., 2008b).
La matriz de incidencia I = Post _ Pre es una matriz de np x ntr. Los conjuntos de lugares previos y posteriores a una transicion, se denotaran como: •tr = {p e P : Pre (p, tr) > 0} tr• = {p e P : Post (p, tr) > 0}. (Dotoli et al., 2008b).
Definición 10. Conjunto de alcanzabilidad de una PN.
Sea N una PN, la transicion trr esta habilitada si Vpq e *trr, m(pq) > l[pq, tr^j. La transicion habilitada trr puede ser disparada alcanzando un nuevo marcado Mk+1 que se calcula por Mk+1 = Mk + I—, donde trr es un vector de ceros de tamaño |TR|, excepto en la posicion r, que es igual a 1. La evolucion del marcado de una PN, dada una secuencia de disparo, < = tr1tr2 • • • trk, se denota como M \< > Mk. El conjunto de alcanzabilidad de una PN es el conjunto de todos los posibles marcados alcanzables desde M0, disparando solo transiciones habilitadas; este conjunto es denotado por R(N, M0). (Ramirez-Treviño et al., 2012)
Tomando solo la parte observable de las entradas, es decir, Uo = {EExPo, Cc} y con base en las definiciones de símbolo de entrada, símbolo de salida, alfabeto del sistema y de acuerdo a (Hernandez y Meda-Campana, 2012), a continuacion se define una red de Petri interpretada (IPN).
Definición 11. Red de Petri Interpretada (IPN).
Una IPN es una tupla Q = (N, Uo, Y, A, p), donde, N es una PN basada en la Definicion 9, Uo = {u0, • • • , U2mo -1 } es el alfabeto de entrada donde us es un símbolo de entrada y mo es el numero de entradas observables, Y = {y0, • • • ,y2nt1} es el alfabeto de salida donde y¡ es un símbolo de salida y n es el numero de salidas, A : TR — Uo es una funcion de etiquetado que asigna un símbolo de entrada a cada transicion, p : R(N) —■ Y es una funcion de salida que asigna un símbolo de salida a cada marcado alcanzado.
Una trr e TR de una IPN esta habilitada si Vpq e •trq, m(p^ > I^pq, tr^j. Si A (trr) = us ^ e esta presente y si trr esta habilitada entonces trr se dispara y se alcanza un nuevo marcado Mk+1, el cual se calcula mediante la ecuacion de estado:
Mk+1 =
Mk +1.trr
p (Mk)
donde I.trr se define como en la Definicion 10 y yj es un símbolo de salida, tal que yj e Y.
Definición 12. Deterninismo.
Una IPN es determinística, si dada una secuencia de transiciones <i = tr1 •••trk ••• tal que M0 \<i > Mk, M0 > Mk implica que Mk = Mk. es decir, el marcado alcanzado despues del disparo de una secuencia de transiciones es íinica, (Gaubert y Giua (1996)).
El lenguaje de disparo de una IPN (Ramirez-Treviño et al., 2007) se define como:
Definición 13. Lenguaje de Disparo de una IPN.
Sea Q una IPN y M0 \<i > Mk, el conjunto de todas secuencias de disparo se llama lenguaje de disparo: LF(Q) = j<x|<x =
tr1 trk ^
tr 1 •••trk A M0 -1 • • • Mw — Mk | M0, ••• , Mw e R(N)j.
4. Módeló del Sistema
El siguiente modelo tiene como objetivo representar el comportamiento legal de un SED, a partir del lenguaje legal del sistema; para ello se propone un generador determinístico de lenguaje, el cual es una PN extendida que se ha denominado IPN temporizada estocastica (st-IPN).
Las características agregadas al concepto basico de PN son: en primer lugar la adicion de etiquetas en las transiciones y en las funciones de salida de los lugares, con el objeto de relacionarlos con las señales de E/S y generar una interpretacion en el comportamiento y cambio de estado del modelo y en segundo lugar se tiene en cuenta el tiempo en el disparo de las transiciones y el comportamiento de este tiempo se asume bajo una funcion de densidad de probabilidad no establecida, es decir puede ser normal, o exponencial, o etc; por este motivo se remarca que sea "temporizada - estocastica".
El modelo propuesto pretende servir de modelo de referencia para el diagnostico en SED estocasticos y ademas busca ser determinista; es por ello que en esta propuesta se ha incluido, por un lado, en la funcion de salida, un elemento que dotara a la st-IPN de memoria en la funcion de salida. Se trata del diferencial del símbolo de salida, (dy); y por otro lado, se ha incluido el tiempo de disparo de las transiciones, el cual es el tiempo que transcurre desde que una transicion es habilitada hasta que es disparada (Piera y Music, 2011), considerándolo de naturaleza variable.
Definición 14. Diferencial de símbolo de salida. dy.
Dados dos símbolos de salida y1., yj*1 e Y1, generados en los instantes r¡ y rI_1 respectivamente; dyj se define como:
dyj(yj x yj*1) — {_1,0,1}, donde dyj = yj _ yj*1 con dyj e {_1,0,1}; así los posibles valores de dyj son: 0x0 — 0; 0x1 — 1; 1 x 0 — _1; 1 x 1 — 0.
Esto significa que, dado que se trabaja con señales binarias, dy representa el cambio del valor de la señal de salida, de 0 a 1, o de 1 a 0; por lo tanto, dy representa el comportamiento histórico de las señales de un instante rI_1 a un instante r¡. De esta manera la funcion de salida, esta compuesta por el valor de las señales de salida yj y su diferencial dyj, es decir yj/dyj. Esta condicion de la funcion de salida genera una característica particular de las señales, la cual se ha denominado característica de direccionalidad de las señales.
Teniendo en cuenta el diferencial y empleando funciones de densidad de probabilidad en las transiciones, una st-IPN se define de la siguiente manera:
Definición 15. Red de Petri Interpretada Temporizada Estocasti-ca (st-IPN).
Una st-IPN es una estructura representada por:
stQ = (Q, Q, 5, OM)
Donde Q = (N, Uo, Y, A, p) es una IPN, donde N, Uo, Y tienen el mismo significado que en la Definicion 11; A : TR —
1Nota: Se adicionan los superíndices con el objeto establecer el orden de los eventos
Uo x 5 es una función de etiquetado que asigna un símbolo de entrada y una función de densidad a cada transición, p es la función de salida definida como:p : (RN) r Y/dY; p es isomórfica sobre Y/dY.
Q := (Uo x Y) .5 es el alfabeto del sistema. Un símbolo del alfabeto es w' = (usy^ . f{trfim), donde (usy^ es el símbolo de E/S, f (tr,om) es la función de densidad de probabilidad del tiempo de la transición r, asociada al símbolo de E/S, en el modo de operación om.
5 := TR x OM r f(tTRxOM) es una función de asignación de las funciones de densidad del tiempo de disparo de cada transición por cada modo de operación.
OM es el conjunto de modos de operación.
Dado un evento w' = (usy^ .teovm; una transición trr e TR con A(trr) = us.f (tnom), esta habilitada en om, si Vpq e 'trr,
m(pt) > l(pq, tr^ ysi (a < tom < b siendo ¡^ f (tr,om) > (1 - a), donde 1 - a es el nivel de confiabilidad y [a, b] el intervalo de confianza.
Si f (tnom) = N (¡, <), entonces a = ¡ - za/2 * < y b = i + za/2 * <, una trr esta habilitada sí cada lugar de entrada cumple con los requerimientos de marcado y si e [a, b].
Si A (trr) = us. f(tr,om) esta presente y si trr esta habilitada entonces trr, se dispara y se alcanza un nuevo marcado Mk+1, calculado a partir de (4); pero yj/dyj = p (Mk). Así cada lugar de la st-IPN representa no solo el estado actual, sino que tambien incluye información de direccionalidad, por lo tanto la red evoluciona a partir de la ecuación de estado:
Mk+i = Mk + I.trr y j/dyj = p (Mk)
Definición 16. Lenguaje de disparo de una st-IPN
Sea < la secuencia de disparo de transiciones de una st-IPN, (stQ) tal que < e LF(Q), (Definición 13), cuyo disparo genera una secuencia s = w°, • • • , wk, tal que s e Q* a instantes t° < • • • < Tk, siendo w' = (usyj). f(tr,om) donde us e Uo, y¡ e Y y f (tr,om) e 5. El conjunto de todas las secuencias de disparo de transiciones < e LF (Q), cuya probabilidad sea mayor a (1 - a) es el lenguaje de disparo de la st-IPN así:
Lf (stQ) = {< e £f(Q) : Prob (<|mo) > (1 - a)} (7)
A continuación se relacionan las secuencias de símbolos de E/S temporizados, con el disparo de secuencias de transiciones y las secuencias de marcado generadas, con el objeto de definir el lenguaje de entrada y el lenguaje de salida de una st-IPN.
Definición 17. Lenguaje de entrada y Lenguaje de salida de una st-IPN.
Sea < la secuencia de disparo de transiciones de una st-IPN, tal que < e LF(stQ), (Definición 7), el lenguaje de entrada se define como la secuencia de las funciones de etiquetado de las transiciones que pertenecen a LF(stQ), es decir, L¡„(stQ) = {<|< = A (tr1) • • • A (trk)} y el lenguaje de salida son las secuencias de marcado alcanzadas Lout (stQ) = {p (m (p0)) • • • p (m (pk))}.
Por lo tanto, L (stQ) = jw°, • • • wk} con w' = (usy^ . f (tr,om), comprende un lenguaje de entrada y un lenguaje de salida.
Aplicando la Definición 2, el lenguaje de entrada se define como: Li„ (stQ) = [Puo.s (s) |s e L(stQ)}, entonces L„ (stQ) = {u° .f(t°oj ,• • • , uks.f[ tkoom)} y el lenguaje de salida como: Lout (stQ) = {Py (s) |s e L (stQ)}, entonces Lout (stQ) =y°,• • • , j .2
Definición 18. Post-lenguaje.
Dada una secuencia de eventos temporizados estocasticos s = w°, • • • ,wk, el post-lenguaje de s sera: st' = L(stQ)/s = {t e Q*|s e L(stQ)}.
4.1. Modelado do Sistemas basado o„ st-IPN
Como una st-IPN es un generador de lenguaje legal, esta se construye a partir del lenguaje legal ordenado del sistema L = íw°,
El modelo inicia con cero transiciones, „tr = ° y con un lugar, „p = 1, (p°). Se toma w° y se calcula yj como yj = PCY ( w°) y dyj = ° como una cadena de ceros de tamano „ (numero de salidas); por lo tanto la función de salida en p° es p (m (p°)) = y j/dyj.
Luego de manera ordenada se toman uno a uno los eventos w' de L, se calcula la función de salida como y i/y'- - y'-1,
se verifica si existe un lugar con esa función de salida; si no existe se genera un nuevo lugar pq+1 con una función de salida p{m{pq+^j = yj/y'j - yj-1 y tambien se genera una nueva
transición „tr = „tr + 1 con A (tr„tr) = Pcu (w'j; si por el contrario existe, se verifica si existe la transición que va hacia el lugar ya modelado, para ello se analizan los vectores pro, post y A (tr„tr); si no existe se anade una nueva transición.
Luego se actualizan las matrices Pro y Post; este procedimiento conforma el algoritmo 1.
Como resultado del algoritmo se genera la estructura de la red que genera el mismo lenguaje que se pretende modelar.
Proposición 1. Soa L = {w° • • • wk} ol lo„guajo temporizado logal do u„ sistema a í„sta„tos t° < • • • < Tk, sí stQ os u„a st-IPN co„struída a partir dol algoritmo 1, o„to„cos L = L(stQ)
Domostraáóm. Dadas s, s1 dos secuencias de eventos temporizados legales tal que: s = w° • • • wk y s1 = wp donde s, s1 e L, s1 eL/s y s e L(stQ). Asumiendo que s1 <t L (stQ), entonces siendo el estado actual de la st-IPN p (m (pk)) = / [yk - yk-í ] y dado el evento wp = (us, y^ . f^^ al aplicar el algoritmo 1 un estado es alcanzado en p {ni (pp^ = yfp/ ^yj - si
3p(m(p')) | p(m(p;)) = p{m{p^, V'', ' = 1 • • • k entonces pp e P de lo contra: rioi pp es un: lugiar nuevo y se genera una transición con A (trp) = up.f(tpm), es decir el evento wp eL (stQ) /s y se contradice la suposición; si pp no es nuevo, pp = p' siendo ' el índice del lugar repetido, se genera una
2Nota: Se adicionan los superíndices con el objeto establecer el orden de los eventos
Algóritmó 1 Construccion de una st-IPN a partir del lenguaje
del sistema_
Entradas: L = {s e (Uo.Y)* .5}, donde s = w0, ••• ,wk en t0 < ••• <
Tk; wi = (us, yj) .f (C).
Salidas: stQ.
CóndiciónesJniciales: i = 0; w0 = (us, yj).f{t°o„m), p (m (p0)) = yj/dyj; dyj = 0n.
Variables: np = 1; (Número de lugares). np : índice temporal de lugar. ntr = 0; (Numero de transiciones). ntr : índice temporal de transicion Pre = []; Post = []; pa = 0; (lugar actual).
Procedimiento:
1. i = i + 1; wi = (us, j.f (fovm); np = np; lugar temporal.
2. p (m(pnp')) = fj/ \yj _ yi__l \; funcion de salida en el lugar temporal.
a) Si p (m(pnp')) + p (m(pq)) Vq, q = 0 •••np _ 1 entonces
1) ntr = ntr + 1; nueva transición con A (trntr) =
u,f (O;
2) Calcular vectores pre y post para nueva tr
■ np = np;
■ pre = ceros(np); pre(pa) = 1;
■ p_st = ceros(np); post(np) = 1;
3) Actualizar Pre y Post
■ Pre = Pre + pre; Post = Post + p_st;
4) p{m{pnp)) = p{m{pnp'));pa = np;
b) De lo contrario, (el lugar ya existe)
1) pa = k ;
2) ntr' = ntr +1; se genera una transición temporal con A(trm/) = u,.f (O; f (C) c 5(ntr, 1, om);
3) Calcular los vectores pre y post para la tr temporal
■ pre = ceros(np); pre(np) = 1;
■ p_st = ceros(np); post(k) = 1;
4) Para r = 1 ••• ntr
Si pre = Pre(:, r) A p_st = Post(:, r) A A (trnl/) = A (trr), entonces tr_existe = 1; fifj^ c 5(ntr, 1, om);
■ saltar a paso 5;
De lo contrario tr^existe = 0;
5) Si tr^existe = 1, entonces
■ Pre = Pre; Post = Post;
De lo contrario; ntr = ntr', numero de tr temporal.
6) Actualizar Pre yPost
■ Pre = Pre + pre; Post = Post + p_st;
. A (trntr) = us.f (C); f (ti) c 5(ntr, 1, om);
c) fin condicional
3. ejecutar paso 1
transición con Л (trp) = up.f(tpm), si Л (trp) = Л (tr¡) entonces wp e L (stQ)/s y se contradice la suposición, de lo contrario trp es una nueva transicion con Л (trp) = ulp.f(tpm) y wp e L (stQ) /s y se contradice la suposicion. Lo que permite concluir que sí si eL y L es legal entonces si eL (stQ) por lo tanto L = L(stQ). □
Un modelo representado como una st-IPN, es un generador determinista del lenguaje del sistema a modelar, porque el marcado alcanzado en ip (m (pk)) despues del disparo de una secuencia de transiciones es unico, ya que p isomorfica.
La asignacion isomorfica da lugar a equivalencias entre los símbolos de salida y los marcados alcanzados. Por lo tanto, sera inmediato inferir el estado actual de la red a partir de una combination particular de símbolos de salida.
4.2. Observabilidad
La observabilidad implica la posibilidad de detectar si un evento no-observable ha ocurrido, analizando la secuencia de eventos generados. El conjunto de eventos de un sistema esta compuesto por eventos observables y eventos no-observables: Q = Q.o U Quo. Un evento temporizado es de la forma: wi = (usyj) .teom. La proyeccion basada en la Definicion 1, Pq (Q) elimina los Quo de una secuencia de eventos. Un evento no-observable se genera cuando existe una entrada no-observable a la planta.
Definición 19. Un evento w es n-observable con respecto a una proyeccion P (Q), si Vt e wt', donde |t| > n, P (swt) Ф- P (st).
Es decir un evento w es n-observable si puede ser detectado con certeza dentro de un numero, n, de eventos observables despues de su ocurrencia. Esto implica que un evento w es observable si para cada traza s de eventos que finalicen en w, existe una traza t de tamaño n, tal que la secuencia st no genere el mismo registro de eventos observables conteniendo a w.
Para realizar test de observabilidad en sistemas estocasticos con base en su lenguaje, a continuation se propone una definicion de observabilidad temporal.
Definición 20. Observabilidad temporal.
Sea s una secuencia de eventos s e L(stQ) y st' = L(stQ)/s. Dado un evento temporizado wp = (usy^ .tpm con Lin (wp) = up.tOm y Lout (wp) = yp; wp es observable si PtUo (swpt) Ф PtUo (st) o PtY (swpt) Ф- PtY (st), en n pasos despues de su ocurrencia (n < |t|).
Donde PtUo y PtY se realizan con base en la Definicion 7.
Esta definicion permite inferir respecto a las condiciones para que un evento no-observable sea detectado en una st-IPN, lo cual se demuestra en la Proposition 2.
Proposición 2. Sea L el lenguaje de un sistema y stQ una st-IPN que representa a Lo. Dada una secuencia s de eventos temporizados tal que s e L(stQ) y sea wk e Quo, wp = (up, y^). (tpm)3 tal que wp e L/s; wp es observable si up e
3Nóta: Se ha añadido el superíndice en los símbolos del lenguaje, para identificar el evento al que pertenecen
Lm(stQ) yyp <£ Lout(stQ) o s' up <£ Lm(stQ) yyp e Lout (stQ) o
s' up e L'„ (stQ), yPj e Lout (stQ) y tpom <t [a, b] do„do fa f (ta) > (1 - a).
Domostracw„. Sea L = swpt el lenguaje del sistema, donde s = w° • • • wkwp, t = wp+1 y wp = (up,ypj) .tpm es un evento inobservable, tal que s e L (stQ) y t e L (stQ) /s; entonces PtUo (st) = u°.t°m • • • uks.^up+KC1 y PtY (st) = y° • • • y^p+1; dado wp eL si:
i) uPp es observable y yp es no-observable, entonces PtUo (wp) = up.tpm y PtY (wp) = e entonces PtUo (st) = PtUo (swpt) y PtY (st) ^ PtY (swpt) de acuerdó a la Definición 2°, wp es observable.
ii) u^ es no-observable y ypp es observable, entonces PtUo (wp) = e y PtY (wp) = yp entonces PtUo (st) ^ PtUo (swpt) y PtY (st) = PtY (swpt) de acuerdó a la Definición 2°, wp es observable.
iii) u^ es no-observable y yp es no-observable, entonces PtUo (wp) = e; PtY (wp) = e; si tpm <t [a, b] wp es observable; de lo contrario wp es no-observable. Por lo tanto la proposición queda demostrada. □
A partir de las proposiciones 1 y 2, se resuelven la preguntas planteadas en el enfoque del trabajo, puesto que se comprueba que una st-IPN modela el lenguaje legal de un SED y su lenguaje permite detectar algunos eventos no-observables legales y eventos de fallo; por lo tanto, en un sistema modelado como una st-IPN, se puede realizar diagnóstico de fallos.
5. Sistemas de gran escala
Los sistemas a nivel industrial, generalmente son sistemas de gran dimensión, compuestos por una gran cantidad de dispositivos distribuidos, independientes o no, que generan concurrencia de estados a partir de la ocurrencia de eventos de manera asíncrona. La generación de un modelo unico en estos sistemas ha llevado a que se presente una explosión en el numero de estados, lo cual conlleva una serie de inconvenientes al realizar analisis sobre ellos como test de observabilidad, o para detectar y localizar comportamientos no normales. Para reducir la complejidad, muchos enfoques de modelado han propuesto la división del sistema en partes mas pequenas, (Peres et al., 2°11).
En esta propuesta, el modelado de este tipo de sistemas se realiza a partir de la división en subsistemas, donde un subsistema es una parte del sistema que posee un comportamiento particular.
La estructura a considerar, de un SED de gran escala, se muestra en la Figura 2.
El conjunto de entradas a un SED de gran escala se clasifican como: E„tradas = {EExC, EExP, EI„P}; donde EExC y EExP tienen el mismo significado que para sistemas sencillos.
Para la aplicación del metodo de modelado a sistemas de gran escala, se han dividido las senales de entrada internas a la planta (EI„P), en dos subgrupos: EI„P = {GCc, LCc}; GCc esta compuesto por órdenes de control globales que afectan a mas de un subsistema, donde GCc = {gcci,- • • ,gcc„gc}, „gc es
Figura 2: Esquema de un SED de gran escala.
el numero de (órdenes de control globales y el conjunto LCc = uLCc;, donde LCc¡, esta compuesto por órdenes de control que solo afectan el subsistema l, con l = 1 • • • c, c es el numero de subsistemas. Entonces, LCc; = {ccu, • • • cclfllJ¡, „lcc es el numero de órdenes de control locales en el subsistema l.
El conjunto de salidas es: Saldas = Y = uS;, donde S; = srl,„l , , srl,„l,sr , es decir, contiene las lecturas sensoriales asignadas al subsistema l y „isr es el numero de lecturas sensoriales en el subsistema l.
El conjunto de entradas es U c E„tradas donde, U = {EExPuo, EExPo, GCc, LCc}, GCc, LCc,E„ExPo constituyen las entradas observables y EExPuo las entradas no-observables.
Las entradas a cada subsistema l son Ul c U donde Ul = {ExPuo, ExPo,GCc, LCcl}, entonces Ul es el conjunto de todas las combinaciones posibles de entradas al subsistema l. El numero total de entradas, no-observables y observables en el subsistema
l es: ml = mluo + mlo donde; mlo = „oop + „gc + „l,cc. Una entrada
a un subsistema l en particular, ul,s, es una cadena de valores binarios, tal que:
uis = [ouopi • • • ouop„euopoop\ • • • op„oopgcc1 • • • gcc„gccci,i • • • cc;,„cc](8)
siendo s la representación decimal de la cadena.
Las salidas de cada subsistema Y; c Saldas, donde Y; = {Sr¡}; entonces Y; es el conjunto de todas las combinaciones posibles de salidas del subsistema l. Una salida de un subsistema l en particular, yl, j, es una cadena de valores binarios, tal que:
yi, j = [sr;,1 • • • srlni] (9)
siendo j la representación decimal de la cadena.
La división en subsistemas se realiza con base en las relaciones de funcionamiento de los dispositivos y las senales de E/S, coherentes con ese funcionamiento en cada subsistema.
Esta clasificación de senales de E/S permite generar modelos en cada subsistema, lo cual evita la explosión combinacio-nal de estados en sistemas de gran escala. Esta descomposición modular presenta ventajas, puesto que se modelan comportamientos de estados concurrentes en diferentes subsistemas, de recursos compartidos por los subsistemas o funcionamiento colaborativos entre sistemas.
Esta es una ventaja importante cuando el objetivo del modelo es realizar diagnóstico de fallos, como en la presente propuesta.
co12 (Ù32 > Lenguaje global
<o\ СО3,
Xo t1 T2 T3 Línea de tiempo
Figura З: Lenguajes Temporizados
5.l. Modelo del SED de Gran Escala
El modelo global (modelo del sistema) es un conjunto de modelos locales (modelos de los subsistemas) que se representan a partir de st-IPNs y eístas se construyen a partir de su lenguaje observable con base en el algoritmo 1.
DefiniciOn 2l. st-IPN para un Sistema de gran escala
Cuando se modela un subsistema se agrega el subíndice l, a la st-IPN definida en la definicion 15, correspondiente al subsistema a modelar, es decir: stQ¡ = (Q¡, Q¡, 6¡, OM). Con Q¡ = (Ni, Uoi, Yi,Xi,pí) donde Ui = {mw, ••• , u^o Y¡ = {y«), • • • ,yl,|2nlл, : TR¡ — Ul x 6¡ es la funcion de etiquetado en cada transicioí n del subsistema l y pl es la funcioí n de salida definida como p¡ : R (Q¡, Mw) — yi,j/dyi,j, pl es isomorfica sobre yi,j/dyij. q, = Ul x Yl.ól es el alfabeto del subsistema. 61 := TR¡ x OM — f(tTRxOM) es una funcion de asignacion de las funciones de densidad del tiempo de disparo de cada transicion por cada modo de operation OM, en el subsistema i.4. OM = {o0, • • • o2nec-1} es el conjunto de modos de operation,
5.1.1. Evento temporizado en subsistemas
Un evento temporizado en un subsistema l es de la forma: w\ = (ul,syl,j) .tel'vom, i identifica el instante de tiempo en el cual se genera el evento, l es el nuí mero del subsistema, ul,s y yl, j se calculan a partir de la (8) y la (9) y tlevom es el tiempo transcurrido entre los eventos ev y ev-1 en el subsistema l, para el modo de operacioí n om. La Figura 3 explica la relacioín del tiempo en los subsistemas frente al sistema global.
Como se observa en la Figura 3, en la línea en negro se presenta una secuencia de eventos w0w1 w2w3 del sistema global, en instantes t0 <• • • < t3, en la línea roja la secuencia de eventos w0w2w1 para el subsistema 1 y en verde una secuencia de eventos w2w2w2 para el subsistema 2.
El tiempo de los eventos en los subsistemas es: t¡vom = \Tevactuai\_ \tev-anterior\. Por ejemplo para el evento w^ = (u2,sy2,^ 4om, el tiempo asociado es t\0m = |t3| _ |t1|.
5.2. Operaciones entre Modelo Global y Modelos Locales
El modelo de un sistema de gran escala, representado como un conjunto de st-IPNs, con diversos comportamientos o modos de funcionamiento, tiene ventajas frente a un modelado del sistema global, puesto que son maís faíciles de interpretar debido su estructura maí s reducida y porque modelan solo lenguajes activos; por lo tanto permiten establecer en un instante de tiempo cuaíl subsistema funciona.
4tri,r, indica la transicion r en el subsistema i. pl,q, indica el lugar q en el subsistema l.
5.2.1. Lenguaje local a partir del lenguaje global
El lenguaje de los subsistemas se puede hallar a partir de la operación de proyeccion de lenguajes presentada en la Definición 6.
Dado el lenguaje de un sistema L = <0 ••• wk, con < = ('usyjj .teovm, ordenando las senales de E/S como <i = (ui>s • • • uc,s)
(Уи • • - Ус,s) .tem, la Pn, (<) = (uuyl,j) .f¿m, si ha existido un evento temporizado en l, basado en Definicion 5; de lo contrario Pn, = E.f°vo (Definicion 7). ulsS y yl, j se organizan como en las equaciones (8) y (9), tev se halla como en la Definicion 7.
Por lo tanto el lenguaje de cada subsistema se puede hallar a partir del lenguaje global.
El lenguaje del subsistema i representado en la Figura 3, a partir de la proyeccion sobre lenguaje global es:
Ptn =(u1,syi,j) .^m^l^l.syi.j) .t2m(u1,syi,j).t0,u,
donde <1 = (ul,syi,j) .^m <1 = (u1,,yi,j) .tlom con tlom = С + t2om у <3 = (ui,syi,j) -t2„m'
5.2.2. Lenguaje global a partir de lenguajes locales
Un evento del sistema global < en el instante ri, se obtiene a partir de la operación de splice sincronizado temporizado, < = Ф • • • Ф <c (ver Munoz et al. (00i4)), donde
< = (usgyjJ KVm У toim = mm (th,om • • • tlom).
Por lo tanto el lenguaje del sistema global L, se construye por la sincronizacion temporal de los lenguajes de los subsistemas L, que esta compuesto.
Nota: El lenguaje del sistema global se puede reconstruir si y solo si se realiza el splice sincronizado temporizado sobre todos los subsistemas que integran el sistema global.
5.2.3. st-IPN global a partir de st-IPN locales
El modelo del sistema global representado como una st-IPN se puede hallar a partir del Producto Síncrono de st-IPNs. (Munoz et al. (00i4)) o del lenguaje global construido por la sincronizacion temporal de los lenguajes de sus subsistemas.
Al dividir un sistema en subsistemas, cada modelo conserva las propiedades en cuanto a representatividad y a observabili-dad; es decir, el modelo de un subsistema representado como una st-IPN es un generador de lenguaje determinístico, capaz de modelar comportamientos estocasticos y de detectar algunos eventos no-observables, bajo las condiciones expuestas en la Proposition 0.
Teorema 1. Sea L (stQ) el lenguaje global compuesto por c lenguajes locales L (stQ¡). Un evento < e L(stQ) es observable en el sistema global sii < e L (stQl) es observable en el algún subsistema l, con l = i : c.
Demostracion. Condition necesaria: si un evento < es observable en el sistema global, entonces el evento < es observable en el subsistema l.
Suponiendo que < es observable pero 3p e [i • • • c] | <p es inobservable . Como < = (usy^.f{fovm) = (ui s • • • ups • • • uc sj (yi,s • • • yp,s • • • yc,s) f (C) es observable; 3up,s Л yp,j tal que
nec es el nuí mero de entradas externas al controlador
Figura 4: Brazo Robotico (Patil et al., 2012);
Pn¡ = (up,syp,j) porque el lenguaje del sistema global se reconstruye a partir de todos los lenguajes locales, entonces 3, l, | + e. Por lo tanto oj'p es observable.
Condición suficiente: si es un evento observable en el subsistema l en algiín l = 1 : c, entonces ü es observable en el sistema global.
Asumiendo que w'p es observable, para algun p e [1 • • • c], pero en ü no. ü = ü'1 ® • • • ® ü'p ® • • • ® ü y wlp c ü por lo tanto ü'p es observable en ü!, lo cual contradice la suposicion y el teorema queda demostrado. □
6. Aplicación a un Sistema Robotico
El sistema a considerar, para aplicar la presente propuesta de modelado, es el sistema presentado en (Patil et al., 2012), el cual no es un sistema de gran escala; pero sí es un sistema que permite mostrar las ventajas de la propuesta.
El sistema es un brazo robotico para recoger piezas en las posiciones pp1, pp2 o pp3 y colocarlas en pp0. Esta compuesto por tres cilindros, dos horizontales y uno vertical; los cilindros horizontales se extienden o retraen, dependiendo de la orden del controlador para ubicar la pieza. El cilindro vertical se desplaza y recoge las piezas por succion, a partir de una sola orden de control. Los sensores son: uno para cada posicion de los cilindros horizontales, otro incorporado en la unidad de succion, sensores de posicion de las piezas y otro para deteccion de la pieza recogida. En la Figura 4 se presentan diferentes configuraciones para la interrelacion de los componentes me-catroínicos.
Las señales externas al controlador EExC, que definen los modos de operacion, son las senales de presencia de pieza en las posiciones 1, 2, y 3; es decir, EExC = {pp1, pp2, pp3}, donde ppi = {1,0} (presencia o no presencia en posicion i = 1 : 3). El brazo roboítico comienza a trabajar cuando se detecta al menos una pieza; por lo tanto los modos de funcionamiento son 7, OM = {o1, • • • , o7}. La combinacion o0 no es posible porque no existiría funcionamiento. Por ejemplo o1 = [001] es el comportamiento del sistema en el cual hay una pieza en la posicioín 3
(pp3 = 1).
Aunque el sistema no es un sistema de gran escala, con el objeto de aplicar el metodo propuesto, se ha subdividido con base en el numero de dispositivos mecatronicos presentes, así: El subsistema 1 corresponde al cilindro horizontal de la izquierda, el cual tiene dos sensores de posicion sr1,1 = LciniCio y sr12 = Lcfin y dos ordenes de control cc1,1 = ExtLC y cc12 = RetLC. El
subsistema 2 corresponde al cilindro horizontal de la derecha, tiene dos sensores de posicion sr21 = Rcinicio y sr2,2 = Rcfin y dos ordenes de control cc21 = ExtRC y cc2,2 = RetRC. El subsistema 3 corresponde al cilindro vertical, el cual tiene un sensor que indica que la pieza ha sido colocada sr31 = pp0, dos sensores de posicion sr3,2 = Vcup y sr3,3 = Vcdown, un sensor que indica succion o no sr3,3 = vacío y dos ordenes de control, una para que el cilindro baje cc3j1 = ExtVC y cc3,2 = Vac que es la orden para vacío del succionador; para recoger no es necesario orden de control puesto que cuando cc3,1 no esta activa, el cilindro se recoge por la compresion de un resorte.
Se desea modelar el comportamiento del sistema cuando esta en modo de operacion o1, los símbolos de E/S se presentan en la tabla 1:
Los símbolos se ordenan como u1s = [cc1,1cc1^], u2,s = [cc2,1cc2,2], U3,s = [cc3,1cc3,2] y y1j = [sr1,1 SrU], y2,j = [sr2,1 sr2,2], y3,j = [sr3,1 sr3,2sr3,3^3,4].
Los lenguajes en cada subsistema Ll, para el modo de operacion o1 son:
L1 = (u1,0, y 1,0) 4,o1 (u1,2, yu) •tí,o/u1,2» yu) -t2,o/u1,U y 1,2)
4o1(u1,1,y1,0) 4o1(u1,0, y^) 4,o1 en T0,T1,T2,T12,T13,T18 instantes.
L2 = (u2,0, y 2,0 ) •t0o1 y2,2) 4J u2,2, y2,3) 4o/u2,U y 2,2)
4o1(u2,1,y2,0) 4o1(u2,0, y2,0) 4,o1 en T0, T3, T4, T10, T11, T18 instantes.
L3 = (u3,0, y3,0) •t°,o1 (u3,2, y3,4) •t1,o1 (u3,2, y3,6) (u3,3, y3,7)
4Ju3,1'y3,^ •t4,o1 (u3,1.y3,0 •4o1 (u3,3,y3,^ •t36,o1 (u3,3,y3j) •t7,o1 (u3,2, y3,14) •t|o1 (u3,0, y3,4)4Ju3,0, y3,^ en T0, T5, T6, T7, T8,T9, T14, T15, T16, T17,T18 instantes.
Estos lenguajes representan el comportamiento del sistema. En el instante t0, los tres subsistemas estan en reposo (el valor de las lecturas de los sensores es de cero y no hay ordenes de control), en el instante T1 se genera un evento en el subsistema 1, de extender el cilindro horizontal izquierdo y la respuesta del sensor sr1,1 es inmediata, por lo tanto el evento en t1 es: (u1>2,y1l2) •t} ; al cabo de un tiempo en el instante t2 se genera un evento en el subsistema 1 denotado como (u12,y13) 4 , luego se genera un evento en el subsistema 2 denotado como (u2,2,y2,2) 4 y así sucesivamente.
Se considera un sistema estocastico por lo tanto ti ^ f (t). Por ejemplo: ü4 = (u3,2, y3,6) 4,o1, t2o1 ~ N (2,0,1) y para
1 - a = 0,95, el intervalo de confianza es [1,804 - 2,196].
Para representar este comportamiento se construyen las st-IPNs para cada subsistema, aplicando el algoritmo 1. Cada subsistema inicia con un lugar, cuya funcion de salida esta representada por las lecturas de los sensores, yj, en t0 y el diferencial dyj como cadenas de ceros; es decir y10/00, lo cual se muestra en la Figura 5.
y,,„/00
(Z) y»
y,.„/000
Cilindro Horizontal Izquierdo Cilindro Horizontal Derecho Cilindro Vertical
Figura 5: Proceso de modelado del brazo robotico a partir del lenguaje: estados iniciales
Tabla 1: Símbolos de E/S: Brazo Robotico
f {^Zm ) (Ordenes de Control (Entradas) Lecturas Sensoriales (Salidas)
ExtLc RetLc ExtRc RetRc Extvc Vac Lcinicio Lcfin Rcinicio Rcfin PP0 vcup vcdown vacío PP3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
N (1,5,0,12) 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1
N (2,0,1) 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1
pl. y,¿00
O y>¿01
y!iD/oo y,.„/000
Cilindro Horizontal Derecho Cilindro Vertical
Cilindro Horizontal Izquierdo
Figura 6: Proceso de modelado del brazo robotico a partir del lenguaje: pasol
En t1 el subsistema 1, evoluciona a otro estado; para esta evolucion se añade una transición con 1 (tr^) = u1j2.t1 y se alcanza un nuevo lugar con funcion de salida y^2/10, (dyj = 10 - 00); los otros subsistemas no evolucionan en este instante, este comportamiento se puede observar en la Figura 6.
Al final, las st-IPNs que modelan el comportamiento de los tres subsistemas se muestran en la Figura 7.
¡ndro Vertical
Figura 7: Modelo del Brazo Robotico.
Analizando la st-IPN para el cilindro horizontal izquierdo, se observa que se modelan comportamientos que permiten es-
tablecer si el cilindro se esta extendiendo o retrayendo, en los lugares p11 y p^3 respectivamente; esta es una ventaja que tiene la presente propuesta frente a un modelo por autoímatas; ademaís se puede observar que en las etiquetas de las transiciones se incluye el tiempo para el modo de funcionamiento o1; pero si se modelan mas comportamientos, se adicionaría una tabla para discriminar los tiempos, ya que la red sería la misma.
6.1. Evolución de la red
Para explicar la evolucioín de la st-IPN, se ha tomado como referencia el modelo resultante del subsistema 3. Siendo el estado actual del subsistema, el estado 1, es decir, M3 ¿ = [01000000000000] con p (m (p3,0) = y3,4/100 y dado un evento wf = (U3,2 , y3, 6) 4óó1; si (U3,2, y3, 6) € L(stQ3) /^3 y si Prob (1,804 < t23oi < 2,196) > 1 - a; se dispara la tr3,2 con 13 (tr3i1) = u3,2.N(2,0,1) y con funcion de salida p (m (p3j1)) = y3,4/100; alcanzando una nueva marca: M3,2 = [00100000000000].
El lenguaje generado por las st-IPNs es el mismo que el de los respectivos subsistemas; ademaís las redes son no deter-minísticas puesto que a partir de un lugar Pq, si se dispara una transicion trj, la marca alcanzada por este disparo es unica.
El lenguaje del sistema global se construye por la sincroni-zacioí n temporal de los lenguajes generados por las st-IPNs de los subsistemas, wl = wi1 ffi • • • ffi wlc. (Ver Munoz et al. (2014)).
Y la st-IPN del sistema robotico, aplicando la operacion de producto síncrono de st-IPNs, (Muñoz et al., 2014), solo para el modo de operacion o1, tendra un estructura lineal cíclica con 22 lugares y 22 transiciones, que es similar a la unioí n de las estructuras de los subsistemas; pero cuando se modelan varios modos de operacioí n en un ciclo, la estructura de los subsistemas es maí s sencilla que la estructura global.
El lenguaje de la st-IPN generada por el producto síncrono de las st-IPNs de los subsistemas es el mismo lenguaje legal del sistema.
6.2. Observabilidad del Lenguaje
Para probar las ventajas de la propuesta de observabilidad temporal expuesta en la Definicion 20, se han introducido eventos no-observables al sistema del brazo roboítico.
El lenguaje en comportamiento normal para el subsistema 3 es: L3 = (u3,0,y3,0) •t°,o1 («3,2,y3,4) .t1,o1 (u3,2,y3fi) -t2Xoi (u3,3,y3j) 4,o1(U3,1' y3,s) .t4,o1 Cu3,1, ^3,0 .4o1 (u3,3,y3,^ .t6,o1 (u3,3, y3j) ("3,2, y3,1^ .t8,o1 (u3,0,y3,^.t9,o1 (u3,0, y3,^ .t^ en T0, T5, T6, T7,
t8,t9,t14,t15,t16,t17,t18 instantes; es decir L3 =
/ .9 , ,14. ,15. ,16. ,17 , ,18
W3W3W3 W3 W3 W3 W3 .
Es de aclarar que superíndice de t, indica la secuencia de eventos en el subsistema 3 y el superíndice de w, es la secuencia en los eventos de todo el sistema.
Considerando una entrada externa a la planta como un fallo en la unidad del succionador; es decir EExP = {fsuc}, el símbolo de entrada al subsistema 3 sera: u3,s = [/succc31cc3^] y el de salida y3, j = [sr31 sr3,2 sr3,3 sr3,4].
Sea s una secuencia de eventos normales en el subsistema 3, tal que: s = (u^o,y3,o) -t°,0i (U32, y3¿) 4,01 («3,2,y3,6) 4,01 (U3,3, y3,7) -t|01 (U3,1,y3,5) 4,01 en To,T5,T6,T7,T8 y sea t una secuencia de eventos observados tal que t eL3/s.
Ahora, asumiendo que en el instante t9 se genera el fallo en el succionador; es decir /suc = 1, el símbolo de entrada no cambia puesto que el fallo es no-observable; pero las lecturas sensoriales podrían cambiar despues de uno o mas eventos; es decir en la secuencia t. Entonces, si la PtUo (L3) + PtUo (st) y/o la proyeccion PtY (L3) + PY (st); entonces el evento de fallo es n-observable, donde n es el numero de eventos que suceden hasta que el fallo es detectado. Por ejemplo si st es:
st = (u3,o,y3,o) -t|°,0i (u3,2,y3,4) 4,01 (u3,2,y3,6) 4,01 (u3,3,y3j) •t3,o1 (u3,1'y3,5) -t4,01 (u3,i.y3,0 -t5,01 (u3,o»y3,o) 4,ol (u3,3,y3,4) (u3,3, y3,^ 4,0i (u3,2, y3,14) -t9,0i (u3,o, y3¿) -t1o0i en To, T5, T6, T7, T8,T9,T14, T15, T16, T17, T18 instantes.
PtY (L3) = PtY (.o) PtY (wf) • • • PtY (w38), donde, PtY (.o) = Pt^(u3,o, y3,o) 4,0i) = Pcy(u3,o, y3,o) P (t°,0J, ver Definiciones 2 y 7; entonces PtY ^w^) = y3,o.
Por lo tanto PtY (L3) = y3,oy3,4y3,6y3,7y3,5y3,iy3,5y3,7y3,i4y3,4y3,o>
PtY (st) = y3,oy3,4y3,6y3,7y3,5y3,iy3,oy3,4y3,6y3,i4y3,4. De donde se concluye que PtY (L3) + PtY (st) y el evento de fallo se puede detectar despues de 2 eventos de su ocurrencia.
Pero si la entrada no es un fallo, sino un cambio en el tiempo que tarda el cilindro horizontal en recoger el brazo, es decir, EExP = \eu01}, el símbolo de entrada al subsistema 2 no cambia puesto que es un evento no-observable; las lecturas sensoriales tampoco se verían afectadas; entonces si PtÜ0 (L2) + PtÜ0 (st) el evento no-observable puede ser detectado.
El lenguaje en comportamiento normal para el subsistema 2 es L2 = (u2,o, y2,o3 .t°0, (u2,2, y 2,23 -t20, (u2,2, y2,33 4 01 ^2,1, y2,23
AoSU2<uAoS"2.°'Ao! en T0,T3,T4,T10,T11,T18 instantes, es decir L2 = w0w2w2w2°w21w28-Por ejemplo si st es:
St = ("2.0. y2.o) .t°.o1 ("2.2. y2.^ (u2.2. y^) 4o1 ("21. y2.2)
•t;3o, ("2.1. y2.°) .t4o, ("2.0. y2.°)
t25 •
Ptü0 (L2) = Ptü0 (wo) PtUo (w^ • • PtUo (w^), donde PtU0 (w3) = Ptü0 (t«2,o, y2,o3 = PCÜ0 tu2,o, y2,o3 P^) =
u2,o.t2o,0 ; entonces:
PtÜ0 (L2) = u2,o-t2,01 u2,2-t2,01 u2,2-t2,01 u2,1-t2;01 u2,1-t4,01 ^o-^,
Si a < tj3 < fe, donde [a, fe] es el intervalo de confianza para el tiempo t^ , se considera que la variacion del tiempo del evento obedece a una variabilidad propia del comportamiento estocastico del sistema, de lo contrario se ha detectado un comportamiento que no es normal.
Lo anterior comprueba la importancia de la proyección de eventos temporizados definida en este artículo, para detectar comportamientos no normales a partir de eventos no-observables, en sistemas estocasticos.
7. Conclusiones
Este artículo presenta un generador de lenguaje regular que permite modelar el comportamiento observado de SED estocasticos, representado bajo una estructura de red de Petri denominada st-IPN; la cual es una extension de las redes de Petri interpretadas, con características relevantes en cuanto a que es deter-minística, su lenguaje es el mismo lenguaje legal del sistema y permite modelar sistemas con eventos estocasticos. A su vez, se define la estructura de lenguaje regular con base en la organizacion de las señales de entrada / salida y con base en los modos de funcionamiento. La evolucion de la red se genera a partir de eventos temporizados y el metodo propuesto puede ser aplicado a sistemas de gran escala a partir de la subdivision en sistemas mas sencillos. Ademas se presenta un nuevo concepto de obser-vabilidad que se ha denominado observabilidad temporal, que permite realizar test de observabilidad en sistemas estocasticos.
Los resultados de este artículo permiten generar nuevos temas de investigation, relacionados con la subdivision optima de sistemas, la generation de eventos temporizados estocasticos y la aplicacion en problemas de diagnostico de fallos.
English Summary
Deterministic Generation of Regular Languages in Discrete Event Systems.
Abstract
In this paper is proposed a stochastic interpreted Petri net, (st-IPN) as a model to represent the regular language derived from the combination of input signals in a Discrete Event System (DES) in closed loop. The input signals are external signals affecting the system and the control commands issued by the controller to the plant and the output signals are the responses of the sensors to the control commands. The st-IPN proposed is a deterministic generator of the system legal language able to represent sequences of stochastic timed events. The proposed model can be applied to large-scale systems, from the division of the system into subsystems, since the global model can be a composition of the subsystems models. Keywords:
Modelling of Discrete Event Systems, Petri Nets, Timed Observability.
Agradecimientos
Este trabajo ha sido realizado parcialmente gracias a la comision academica financiada por la Universidad del Cauca, referencia 2.3-31.2/05 2011.
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