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Soluciones cuasiperiódicas en un circuito eléctrico resonante Academic research paper on "Political Science"

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{"sistemas dinámicos" / "circuitos nolineales" / osciladores / "ciclos límite" / resonancia}

Abstract of research paper on Political Science, author of scientific article — Gustavo Revel, Diego M. Alonso, Jorge L. Moiola

Resumen En este trabajo se estudia la dinámica de un circuito eléctrico resonante. Se presentan varios diagramas de bifurcaciones que pueden asociarse a la forma normal truncada de la singularidad de Hopf doble. Las curvas de bifurcaciones se obtienen a través de continuaciones numéricas. Se muestra la existencia de soluciones cuasiperiódicas con dos componentes frecuenciales (toros 2D), y tres componentes (toros 3D). Estas últimas, en cierta forma, están próximas en complejidad a soluciones caóticas. El análisis se complementa con simulaciones temporales y una discusión sobre la interacción de los autovalores del sistema linealizado al variar uno de los parámetros.

Academic research paper on topic "Soluciones cuasiperiódicas en un circuito eléctrico resonante"

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ISSN: 1697-7912. Vol. 4, Num. 3, Julio 2007, pp. 116-125

http://riai.isa.upv.es

SOLUCIONES CUASIPERIÓDICAS EN UN CIRCUITO ELÉCTRICO RESONANTE

Gustavo Revel Diego M. Alonso Jorge L. Moiola

Instituto de Investigaciones en Ingeniería Eléctrica "Alfredo Desages" Dpto. de Ing. Eléctrica y de Computadoras Universidad Nacional del Sur Avda. Alem 1253, (B8000CPB) Bahía Blanca, Argentina and CONICET e-mail: grevel@uns. edu.ar

Resumen: En este trabajo se estudia la dinámica de un circuito eléctrico resonante. Se presentan varios diagramas de bifurcaciones que pueden asociarse a la forma normal truncada de la singularidad de Hopf doble. Las curvas de bifurcaciones se obtienen a través de continuaciones numéricas. Se muestra la existencia de soluciones cuasiperiódicas con dos componentes frecuenciales (toros 2D), y tres componentes (toros 3D). Estas últimas, en cierta forma, están próximas en complejidad a soluciones caóticas. El análisis se complementa con simulaciones temporales y una discusión sobre la interacción de los autovalores del sistema linealizado al variar uno de los parámetros. Copyright © 2007 CEA-IFAC

Palabras Clave: sistemas dinámicos, circuitos nolineales, osciladores, ciclos límite, resonancia.

1. INTRODUCCIÓN

La aparición de oscilaciones en sistemas físicos puede explicarse, en varios casos, a través del mecanismo de la bifurcación de Hopf. En general, este fenómeno ocurre cuando al variar algún parámetro del sistema un par de autovalores del modelo linealizado cruza el eje imaginario, dando origen a una solución periódica o ciclo límite. Este tipo de bifurcación ha sido ampliamente estudiada en la literatura [véase por ejemplo (Marsden y McCracken, 1976; Hassard et al., 1981)], abordando una importante cantidad de aplicaciones como por ejemplo acoplamiento de satélites (Liaw y Abed, 1990), rodamientos magnéticos (Mohamed y Emad, 1993), sistemas eléctricos de potencia (Wang et al., 1995), compresores (Gu et al., 1999), motores de inducción (Gordillo et al., 2002), por citar sólo algunas de ellas.

Una situación con mayor riqueza dinámica se tiene cuando dos pares de autovalores cruzan simultáneamente el eje imaginario. Este fenómeno se conoce como bifurcación de Hopf doble o HopfHopf y explica la aparición de fenómenos oscilatorios más complejos. Algunos de estos comportamientos son las oscilaciones cuasiperiódicas que se producen como consecuencia de la interacción de dos modos oscilatorios que presentan una relación de frecuencias irracional. La solución emergente también se conoce como toro bidimensional ó 2D. En ciertos casos, esta singularidad también puede explicar el nacimiento de toros de dimensión 3 ó 3D, en los cuales aparece involucrada una tercera frecuencia que modula la amplitud de las oscilaciones del toro 2D. Esta clase de comportamientos pueden presentarse en aplicaciones tales como osciladores electrónicos y sistemas mecánicos (Yu, 2002), compresores (Coller, 2003), y siste-

mas aeroelásticos (Chamara y Coller, 2004), entre otros.

En este trabajo se aborda el análisis de la dinámica de un circuito eléctrico resonante en las cercanías de una bifurcación de Hopf doble. Si bien se trata de un ejemplo académico, resulta útil para mostrar diferentes comportamientos oscilatorios que pueden presentarse como resultado de la variación de algunos parámetros claves del circuito. Estos comportamientos se asocian a varios de los diagramas de bifurcaciones correspondientes a la forma normal truncada de la bifurcación de Hopf doble (Kuznetsov, 1995). Se describen tres casos de los denominados "simples" donde se detectan, además de las típicas curvas de Hopf que crean soluciones periódicas, curvas de bifurcación de Neimark-Sacker que originan toros 2D. También se distingue uno de los casos llamados "complicados" que difiere notablemente de los casos simples, incluyendo las curvas de bifurcación antes mencionadas pero con el agregado de curvas de singularidades que generan toros 3D. Estos diagramas delimitan regiones del espacio de parámetros con comportamientos dinámicos muy diferentes y permiten identificar los valores de los parámetros que conducen al comportamiento deseado del circuito. Asimismo, alertan sobre los efectos que las variaciones paramétricas pueden ocasionar en la dinámica del sistema cuando se trabaja en inmediaciones de una bifurcación de Hopf doble, ya sea sobre la estabilidad del punto de operación o a las formas de onda y su contenido espectral.

La interacción entre los modos oscilatorios al variar alguno de los parámetros también puede reflejarse en el movimiento de los autovalores del sistema linealizado. El estudio del comportamiento de los autovalores ante variaciones paramétricas ha concitado el interés de numerosos investigadores, con aplicaciones en diversas ramas de la ingeniería, como la mecánica, la eléctrica y la aeroespacial, entre otras. Un caso frecuente se presenta cuando dos pares de autovalores complejos se acercan suficientemente y, a causa de la interacción, se repelen mutuamente de modo que uno de ellos generalmente se inestabiliza. En particular, si los autovalores coinciden exactamente y existe un único autovector asociado, se tiene una resonancia fuerte (Seyranian y Mailybaev, 2003). Para alcanzar esta condición es necesario sintonizar simultáneamente dos parámetros independientes, por lo que su ocurrencia es infrecuente en aplicaciones reales. Sin embargo, los valores de los parámetros pueden estar cerca del punto de resonancia fuerte y sus efectos se observan en un cambio rápido en la dirección de movimiento de los autovalores para pequeñas variaciones paramétricas (muy alta sensibilidad) conduciendo generalmente a la inestabilidad del sistema. Por

ejemplo, en el caso de los sistemas eléctricos de potencia, este fenómeno se ha indicado como un camino posible para la generación de oscilaciones [véase por ejemplo (Kwatny y Yu, 1989; Dobson et al., 2001; Padiyar y SaiKumar, 2006)]. En este trabajo se muestra una condición de resonancia fuerte en el escenario asociado con la bifurcación de Hopf doble.

El trabajo está organizado de la siguiente manera. En la sección 2 se incluyen conceptos básicos de la forma normal truncada de la bifurcación de Hopf doble. Seguidamente, en la sección 3, se presenta el circuito eléctrico y su modelo matemático. En la sección 4 se describen los diagramas de bifurcación obtenidos en forma numérica y se comparan con los diagramas correspondientes a la forma normal. La interacción entre los modos oscilatorios se trata en la sección 5. Finalmente se presentan algunas conclusiones.

2. BIFURCACIÓN DE HOPF DOBLE

Sea un sistema n-dimensional suave dependiente de k parámetros descrito por

X = f (x, a) , X G Rn, n > 4, a G Rk, k > 2.

Supóngase que para a = 0 el sistema tiene un equilibrio en x = 0, y que su linealización posee dos pares de autovalores imaginarios puros i y 2, con wi/w2 irracional.

Un procedimiento general para analizar la dinámica en un entorno de este punto consiste en reducir el sistema a la variedad centro mediante transformaciones de coordenadas, y luego eliminar los términos no lineales de alto orden hasta obtener la forma normal [esta técnica puede verse en detalle por ejemplo en (Guckenheimer y Holmes, 1993)]. Una vez aplicado este procedimiento y considerando coordenadas polares (ïi,ï2, <^i, ^2) se puede llegar a la forma normal truncada de la bifurcación de Hopf doble, que está dada por

ri = ri (^1 + piir'2 + pi2r'2 + sir^) , Ï2 = r2 (M2 + P2ir'2 + P22r" + S2rf) , (1) Cp i = V1, Cp 2 = (¿2,

donde /¿i 2 son los parámetros principales de bifurcación, pjk y Sk, j, k = 1, 2, son coeficientes que pueden depender de los parámetros, al igual que las frecuencias Wk. Nótese que si pi2 = si =0, la primera ecuación junto con la tercera proveen la forma normal de la bifurcación de Hopf con frecuencia wi y parámetro principal De la misma forma, con p2i = S2 =0, la segunda y cuarta ecuación dan la forma normal de una bifurcación

TR,.- tr2,

© © ®4>

© © © ©

H, H,

\® H, ®\ TR^- ©/ / ®

Figura 1. Diagramas de bifurcación asociados a la bifurcación de Hopf doble en el espacio de parámetros —

de Hopf con frecuencia w2 y parámetro principal . En lo que sigue, no obstante, consideraremos el caso más general con pi2, P2i, si y S2 no nulos.

Las dos últimas ecuaciones de (1) corresponden a rotaciones en los planos r2 = 0 y ri =0 con velocidades angulares w1 y w2, respectivamente. Dado que el primer par de ecuaciones está desacoplado del segundo, el diagrama de bifurcaciones estará determinado por el sistema planar

ri = ri (^i + pnr2 + pi2r| + sir|) , (2)

r-2 = r2 (^2 + P2ir2 + P22r| + S2r4) .

Debido a la simetría del sistema, es suficiente considerar los casos donde r^ > 0. El punto de equilibrio Eo con ri = r2 =0 de (2) corresponde a un punto de equilibrio de (1) en el origen. Los posibles equilibrios de (2) con r2 =0 ó ri =0, denominados Ei y E2 respectivamente, corresponden a ciclos límites de (1). Un equilibrio E3 con ri,2 > 0 corresponde a un toro bidimensional ó 2D del sistema original, y un ciclo límite de (2) a un toro tridimensional ó 3D de (1).

Dependiendo de los signos de pii y P22 se tienen diferentes diagramas de bifurcaciones, que pueden dividirse en casos simples (piip22 > 0) y casos complicados (piip22 < 0). A continuación se describen algunos de estos casos que se presentan esquemáticamente en la Fig. 1. Por conveniencia se han seleccionado aquellos que, para la región del espacio de parámetros considerada, están presentes en el circuito eléctrico que se analiza en este trabajo. Los diagramas de fase asociados se muestran en la Fig. 2, donde los ejes de coordenadas son proporcionales a r2. En ellos el origen representa el equilibrio Eo, sobre los ejes de coordenadas se indican los puntos de equilibrio

Figura 2. Diagramas de fase esquemáticos correspondientes a las regiones del espacio de parámetros indicadas en la Fig. 1.

Ei y E2, en tanto que E3 resulta fuera de los ejes. Los puntos negros indican equilibrios estables y los blancos equilibrios inestables. Para los casos simples (Fig. 1a-c) es posible hallar las siguientes curvas de bifurcaciones en el plano de parámetros Mi _ M2. El equilibrio Eo se puede bifurcar en los equilibrios Ei ó E2 sobre sendas curvas Hi y H2, respectivamente (véanse por ejemplo las transiciones 1^2 ó 1—^6); en tanto que el equilibrio E3 puede colisionar con Ei ó E2, determinando las curvas de bifurcación Tñ]^ y Tñ2, respectivamente (por ejemplo transiciones 4^5 ó 7^5). En los casos complicados (Fig. 1d) se tienen situaciones similares pero el equilibrio E3 puede presentar una bifurcación de Hopf dando origen a un ciclo límite (transición 14^13), situación que no puede ocurrir en los casos simples. El tratamiento formal de esta bifurcación y los restantes diagramas asociados pueden consultarse con mayor detalle en (Kuznetsov, 1995).

Con la interpretación dada anteriormente es posible relacionar las bifurcaciones de equilibrios y ciclos de (2) con bifurcaciones de (1). Por ejemplo, las curvas Hi y H2 donde aparecen los equilibrios Ei y E2 corresponden a bifurcaciones de Hopf del sistema original. Estas curvas representan el cruce de un par de autovalores por el eje imaginario, en tanto que el punto (^i,^2) = (0,0), donde ambas se intersecan, representa la ocurrencia simultánea de Hi y H2 , y determina la bifurcación de Hopf doble. Las curvas Tñi y TR señalan bifurcaciones de ciclos hacia toros 2D en (1) conocidas como bifurcaciones de Neimark-Sacker. En tanto que la bifurcación de Hopf del equilibrio E3 determina el nacimiento de un toro 3D.

Aunque un sistema genérico de dimensión cuatro con términos de mayor orden que los considerados

en (1) nunca es topológicamente equivalente al sistema dado por la forma normal truncada, ésta permite capturar información sobre el comportamiento del sistema completo (Kuznetsov, 1995). En este trabajo se considera un ejemplo de un circuito eléctrico que, para distintos valores de los parámetros, presenta los cuatro comportamientos representados en la Fig. 1, los cuales están asociados a la forma normal truncada.

Figura 3. Circuito eléctrico del oscilador acoplado. 4. ANÁLISIS DE LA DINÁMICA

3. MODELO DEL CIRCUITO ELECTRICO

Se considera el circuito eléctrico de la Fig. 3, cuyo modelo matemático está dado por

X1 = % (2X1 + X2 ~ X4 ~ — + ^3X2, X 2 = Xl,

X3 = + V2) X4, X4 = — (xi — X3 — ^2X4),

donde (xi,X2,X3, X4) = (vc1 ,iLl ,vc2 ,Íl2) son los estados del sistema, ^1, ^2 y V3 son los parámetros de bifurcación, que están relacionados con los parámetros físicos del sistema a través de r¡i = Ci, ^2 = R y V3 = Q^i, siendo a la ganancia de la fuente de corriente controlada. Los restantes parámetros del circuito son constantes y sus valores están dados por C2 = i+yj, Li = V2 y L2 = 2 ^; el elemento no lineal está caracterizada por la relación Íg = —^ vg — «2vG + o^vG, con a2 y a3 constantes (nótese que vg = —vc1).

El único punto de equilibrio del sistema es el origen del espacio de estados (xi,X2,X3,X4) = (0,0,0, 0). Mediante cálculos de rutina es posible determinar que la linealización del sistema en el punto de equilibrio posee dos pares de autovalores sobre el eje imaginario Ai = ±iwi y A2 = ±i^2, cuando

Vi = 2 - ^ V2 =

H)0 - 2*)

con frecuencias wi,2 = ^/7 ^ p/72 — 2, donde 7 = 2 [3 — (1 — V2) ^3 — 4. Nótese que para el caso particular de ^3 = — 6+4v/2 ' —0.3431 las frecuencias son coincidentes wi = ^2 = 2 4, este caso se conoce como bifurcación de Hopf resonante 1:1 y, ante perturbaciones apropiadas de tres de los parámetros del sistema, es posible construir la denominada sombrilla de Whitney (Itovich y Moiola, 2005).

La atención se centra en el análisis del comportamiento en un entorno de la bifurcación de Hopf doble. En este punto organizador de la dinámica confluyen, entre otras, dos curvas de bifurcación de Hopf. Dado que estas singularidades generan órbitas periódicas, desde el punto de vista de aplicaciones en osciladores electrónicos, el estudio de la bifurcación de Hopf doble puede resultar útil para interpretar las interacciones entre dos modos de oscilación del circuito cuando varían los parámetros, y el consecuente efecto sobre el contenido espectral de las formas de onda.

El procedimiento de reducción de las ecuaciones diferenciales que modelan la dinámica del sistema a la forma normal no es trivial y puede resultar muy laborioso de aplicar aun para casos aparentemente simples. En este trabajo se sigue un camino alternativo que consiste en realizar un análisis numérico de la dinámica utilizando el programa de continuación de soluciones AUTO (Doedel et al., 2001). El análisis de las bifurcaciones asociadas a la singularidad de Hopf doble se realiza en función de los parámetros ^i y ^2 (variaciones de la capacidad Ci y de la resistencia R, respectivamente), para diferentes valores del parámetro ^3 (relacionado con la fuente de corriente controlada). Las constantes del elemento no lineal se mantienen fijas en todo el trabajo con «2 = 0.6 y «3 = 1. A continuación se describen cuatro situaciones para ^3 = 0, —0.075, —0.140 y —0.220.

4.1 Caso a

El diagrama de bifurcaciones en el plano de parámetros — ^2 correspondiente a ^3 = 0, es decir, sin el efecto de la fuente de corriente controlada, se muestra en la Fig. 4. El punto (r/i, ^2) = (2,1.7071) corresponde a la bifurcación de Hopf doble, donde se cortan las dos curvas de bifurcaciones de Hopf Hi y H2. Para esta condición se tienen autovalores en Ai = ±i y A2 = ±i\/2.

Para facilitar la descripción de la dinámica asociada, se realizaron dos cortes horizontales variando el parámetro con ^2 fijo en ^2 = 1.71 y ^2 = 1.70. Estos cortes pueden verse en las Figs.

Figura 4. Diagrama de bifurcaciones correspondiente a ^3 = 0.

5 y 6, respectivamente, donde las líneas llenas indican que el punto de equilibrio es estable y las líneas de trazos que es inestable; los círculos llenos indican la amplitud de los ciclos límites estables y los vacíos la de los inestables. Comenzando con el corte para ^2 = 1.71 (Fig. 5), se observa que el origen (único punto de equilibrio del sistema) es estable en el segmento comprendido entre las bifurcaciones de Hopf Hi y H2, e inestable a la izquierda de Hi y a la derecha de H2. En Hi nace un ciclo límite estable hacia la izquierda, en tanto que en H2 el ciclo estable se desarrolla hacia la derecha. De esta descripción se desprende que en la región 1 de la Fig. 4 el equilibrio es estable, mientras que en las regiones 2 y 6 es inestable. Asimismo, en las regiones 2 y 6 se tendrán ciclos límites estables en un entorno del punto de equilibrio.

En el corte correspondiente a ^2 = 1.70 (Fig. 6), se observa que el origen es siempre inestable y en los puntos de bifurcaciones de Hopf Hi y H2 nacen ciclos límites también inestables hacia la izquierda y derecha, respectivamente. El ciclo límite creado en Hi sufre una bifurcación de Neimark-Sacker en el punto TRi (dos multiplicadores de Floquet correspondientes a la linealización de la dinámica sobre la solución periódica cruzan el círculo unitario). A partir de este punto el ciclo pasa a ser estable y se crea una oscilación cuasiperiódica para valores decrecientes del parámetro ^i (su evolución no se indica en la figura). Por su parte el ciclo límite que nace en H2 también evidencia una bifurcación de Neimark-Sacker TR2 dando origen a una solución cuasiperiódica para valores crecientes de ^i. Las simulaciones realizadas indican que las soluciones cuasiperiódicas (toros) que nacen (o terminan) en TRi y TR2 están conectadas o simplemente son la misma solución. Recientemente se han propuesto algoritmos para la continuación de toros, lo cual permitiría confirmar esta asevera-

Figura 5. Diagrama de bifurcaciones correspondiente a ^2 = 1.71 y V3 = 0.

0.16.-1-1-

1.995 1.999 2.003 2.007

Figura 6. Diagrama de bifurcaciones correspondiente a ^2 = 1.70 y ^3 = 0.

ción, pero aún es una tarea dificultosa de realizar (Schilder et al., 2006).

Todos los fenómenos mencionados se conectan a través de la bifurcación de Hopf doble y, por lo tanto, podrían ser predichos a partir de la forma normal de esta singularidad. Nótese que el diagrama de la Fig. 4 es análogo al esquema de la Fig. 1a, salvo por una rotación. Para describir la conexión entre los diferentes comportamientos dinámicos se consideran los retratos de fase de la Fig. 2 que indican, en forma esquemática, los escenarios de cada una de las regiones indicadas en las Figs. 1a y 4. Es conveniente recordar que en estos retratos el origen representa el punto de equilibrio del circuito, los puntos que se indican sobre los ejes de coordenadas representan ciclos límites (el ciclo que se origina en Hi corresponde al indicado en el eje de abscisas y el originado en H2 al del eje de ordenadas), en tanto que el punto fuera de los ejes de coordenadas representa un toro bidimensional. Comenzando por la región 1 del diagrama de bifurcaciones de la Fig. 4 donde

Figura 7. Diagrama de bifurcaciones correspondiente a = —0.075 («2 = 0.6 y = 1).

el punto de equilibrio es estable, y recorriendo el diagrama en sentido antihorario, primero se observa que el equilibrio pierde la estabilidad en H\ y se crea un ciclo límite estable (región 2). En la región 3 se tiene un segundo ciclo, pero en este caso inestable, creado en la bifurcación de Hopf H2. El ciclo inestable pasa a ser estable a causa de la bifurcación de Neimark-Sacker TR2 y se crea un toro inestable (región 4). Este toro colapsa en una segunda bifurcación de Neimark-Sacker TR1, por lo que en la región 5 se vuelven a tener dos ciclos, uno estable y otro inestable. El ciclo inestable se desvanece en la bifurcación de Hopf H1 , por ello en la región 6 se tiene un ciclo estable que colapsa al pasar a la región 1 por efecto de la bifurcación de Hopf H2 .

4.2 Caso b

Fijando ^3 = —0.075, resulta el diagrama de bifurcaciones de la Fig. 7. La bifurcación de Hopf doble se produce para (^1,^2) = (2.0750,1.7711), con autovalores Ai = ±¿1.0173 y A2 = ±¿1.3902. Este caso corresponde al diagrama esquemático de la Fig. 1b. El cambio que se ha producido respecto del caso descrito anteriormente es la inversión de las curvas de Neimark-Sacker TRi y TR2 (compárese con la Fig. 1a). Por esta razón al pasar de la región 3 a la 7, el ciclo estable se convierte en inestable y se genera un toro 2D estable en TRi. Este toro colapsa en la curva TR2 y el ciclo inestable creado en H2 se estabiliza (región 5). La dinámica en las demás regiones es análoga al caso V3 = 0.

4.3 Caso c

En la Fig. 8 se presentan las continuaciones correspondientes a ^3 = —0.140. En este caso la

Figura 8. Diagrama de bifurcaciones correspondiente a ^3 = —0.140 («2 = 0.6 y «3 = 1).

© /© / v X

■Vs/ ®

\ s s \ \ N

/ \Nv N H, \ V 1 \ S 1 N \ \ V

, , \ \ -

Figura 9. Diagrama de bifurcaciones correspondiente a ^3 = —0.220 («2 = 0.6 y «3 = 1).

bifurcación de Hopf doble se tiene para (^1, ^2) = (2.140,1.8266), con autovalores A1 = ±¿1.0357 y A2 = ±¿1.3654. El diagrama esquemático correspondiente es el de la Fig. 1c. Se observa que la curva de Neimark-Sacker TR2 traspasa la curva de Hopf H1 . Se recuerda que en la región 7 se tiene un equilibrio y dos ciclos inestables y un toro 2D estable. En la región 8 persiste sólo uno de los ciclos inestables ya que el restante colapsa en la bifurcación de Hopf H1 . Finalmente el toro 2D se extingue en la bifurcación TR2 y el ciclo pasa a ser estable (región 6).

4.4 Caso d

Fijando ^3 = —0.220 se obtiene el diagrama de la Fig. 9 que puede asociarse al esquema de la Fig. 1d. La bifurcación de Hopf doble ocurre para (^1,^2) = (2.220,1.8949), con autovalores A1 = ±¿1.0656 y A2 = ±¿1.3271. El escenario dinámico en este caso es más rico que en los descritos anteriormente y corresponde a los casos

Figura 10. Diagrama de bifurcaciones correspondiente a -q2 = 1.90 y -q3 = -0.220.

-0.06 -0.04

0.02 0.04 0.06

Figura 12. Oscilación cuasiperiódica o toro de dimensión 3 para ■qi = 2.222220, -q2 = 1.888, ■q3 = -0.220.

-0.04 -0.02

0.02 0.04

Figura 11. Diagrama de bifurcaciones correspondiente a ^2 = 1.87 y ^3 = —0.220.

Figura 13. Oscilación cuasiperiódica o toro de dimensión 2 para ■qi = 2.222225, -q2 = 1.888, ■q3 = -0.220.

complicados de la forma normal truncada que involucra bifurcaciones de toros (curvas Y y C en la Fig. 1d). En principio se puede observar que la curva de Neimark-Sacker TRi también cruza la curva Hi . Una diferencia sustancial con los casos anteriores es el cambio de curvatura o criticidad en la bifurcación Hi . Esto puede verse comparando los cortes horizontales realizados para = 1.90 (Fig. 10) y ^2 = 1.87 (Fig. 11) con los cortes de las Figs. 5 y 6, respectivamente. En los casos a-c) la bifurcación de Hopf Hi origina un ciclo hacia la izquierda (valores decrecientes de ^i); el ciclo que nace es estable en la porción de la curva Hi que se encuentra sobre el punto de la bifurcación de Hopf doble (intersección con H2) e inestable por debajo de este punto (véase esta diferencia en la estabilidad del ciclo que nace en Hi en las Figs. 5 y 6). En cambio, en el caso d) el ciclo nace hacia la derecha de Hi y es inestable en toda la curva (Figs. 10 y 11). Esto produce un cambio completo de los diagramas de fase asociados cuya descripción se presenta a continuación.

En la región 9 el origen es inestable y es el único conjunto límite en su entorno. En la región 10 se tiene también un ciclo inestable a causa de la bifurcación de Hopf H2. En Hi se crea un segundo ciclo inestable originando la situación de la región 11. La bifurcación de Neimark-Sacker TRi crea un toro 2D inestable en la región 12. Nótese que en la Fig. 9 no se indican las curvas Y y C presentes en la forma normal (compárese con la Fig. 1d) ya que corresponden a bifurcaciones de toros y hasta el momento no se cuenta con la implementación necesaria para su continuación numérica [véase (Schilder et al., 2006)]. Sin embargo se han efectuado simulaciones para detectar la presencia de los conjuntos límites asociados a las regiones 12-14. Continuando con la descripción de la dinámica, el toro 2D inestable presente en la región 12 experimenta una bifurcación (curva Y) que da origen a un toro tridimensional estable (región 13). La Fig. 12 muestra una proyección del toro 3D en el plano xi — X2 para = 2.222220 y ^2 = 1.888. Este toro colapsa sobre la curva

0.168 0.169

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 /[Hz]

0.168 0.169

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 /№]

Figura 14. Señales temporales y espectros de las oscilaciones cuasiperiódicas. La fila superior corresponde al toro 3D y la inferior al 2D.

C y en la región 14 el toro 2D se estabiliza. La Fig. 13 ilustra este caso para = 2.222225 y = 1.888. Seguidamente el toro colapsa en la bifurcación de Neimark-Sacker TR y uno de los ciclos inestables pasa a ser estable (región 15). Este ciclo se desvanece en la bifurcación de Hopf H2 y el origen pasa a ser estable (región 16). Cruzando la curva Hi se retorna a la situación inicial (región 9).

En la Fig. 14 se exhiben las señales temporales (primera columna) y el espectro de frecuencias de éstas (segunda columna). La fila superior corresponde al toro 3D (^1 = 2.222220 y ^2 = 1.888) y la inferior al toro 2D (^ = 2.222225 y ^2 = 1.888). Si bien los espectros en ambos casos muestran la existencia de dos frecuencias o modos en f1 = 0.1285 Hz y /2 = 0.2130 Hz, se puede observar claramente que la señal correspondiente al toro 3D presenta una modulación en amplitud que en el espectro se manifiesta por la aparición de componentes frecuenciales en torno a /1 y /2 (comparar los recuadros de la segunda columna en la Fig. 14). Esta tercera frecuencia (moduladora) es de aproximadamente /3 = 0.0001 Hz.

5. INTERACCION ENTRE AUTOVALORES

Además de los fenómenos dinámicos descritos en la sección anterior, el acoplamiento entre los modos oscilatorios se pone en evidencia por la interacción entre los autovalores del sistema linea-lizado. En el circuito analizado se ha detectado una condición de resonancia fuerte en el escenario asociado con la bifurcación de Hopf doble. Es importante mencionar que para el caso particular de la bifurcación de Hopf resonante (^3 = —6 + 4>/2) se tienen autovalores coincidentes en ±i2 4 y ambos fenómenos ocurren simultáneamente.

2.02 2.04 2.06

Figura 15. Curva de bifurcaciones de Hopf para V3 = 0.

2 1.5 1

(a) л

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 Reft,

-0.15 -0.1 -0.05

Re[\>2]

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

Re[*12]

Figura 16. Movimiento de los autovalores ante variaciones de ^2 con rh fijo en: a) rh = 1.99, b) ^ = 2.00 y c) ^ = 2.01.

Para el caso de ^3 = 0, es decir anulando la fuente de corriente controlada, las curvas de bifurcación de Hopf Hi y H2 (Fig. 4) se conectan como se muestra en la Fig. 15. En el interior del bucle el punto de equilibrio es estable, y pierde la estabilidad al cruzar la curva de bifurcación de Hopf. Para analizar el fenómeno de la interacción entre autovalores se graficó su movimiento en función

del parámetro para valores de fijos. En la Fig. 16a, b y c, se muestra la evolución de los autovalores (sólo los que tienen parte imaginaria positiva) para ^i = 1.99, 2 y 2.01, respectivamente, a medida que varía el parámetro . Las ramas comienzan con = 1.6 (ambos autovalores en el semiplano derecho) y finalizan con = 2.05; el sentido de movimiento de los autovalores a medida que aumenta ^ es el indicado por las flechas. Se observa que para = 1.6 los autovalores tienen parte real positiva en los tres casos, y al incrementar se desplazan hacia el semiplano izquierdo donde interaccionan y se separan rápidamente (véase el incremento en la distancia entre puntos consecutivos).

Para el caso de = 1.99 (Fig. 16a) el primer autovalor que cruza el eje imaginario es A2 cuando ^2 = 1.6795, situación que corresponde a la bifurcación de Hopf H2. Incrementando el parámetro, el autovalor Ai también pasa al semiplano izquierdo, cruzando el eje cuando ^2 = 1.7283 (bifurcación de Hopf Hi). Luego de la interacción, Ai pasa rápidamente al semiplano derecho sufriendo la bifurcación de Hopf Hi. El escenario para ^2 = 2.01 (Fig. 16b) es similar salvo por una inversión en el comportamiento de las ramas de autovalores. La frontera entre ambos casos se tiene para ^i =2 y corresponde a la situación de resonancia fuerte. En este caso ambos autovalores cruzan simultáneamente del semiplano derecho al izquierdo para ^2 = 1 + ' 1.7071, en tanto que la resonancia fuerte ocurre para ^2 ' 1.9884 en las cercanías de la curva de Hopf en el punto más alto del bucle. Esto reafirma que una pequeña variación del parámetro conducirá a la inestabilidad del sistema, lo cual es predecible por la alta sensibilidad a las variaciones paramétricas causada por la resonancia fuerte.

6. CONCLUSIONES

En este trabajo se han presentado cuatro diagramas de bifurcaciones asociados a la forma normal truncada de la singularidad de Hopf doble no resonante en un circuito eléctrico. El despliegue de la singularidad en todos los casos se ha realizado en forma numérica considerando la variación de dos parámetros. Se ha utilizado un tercer parámetro para lograr la transición entre los diferentes diagramas recorriendo tres casos simples y uno complicado correspondientes a la forma normal truncada. Se ha encontrado evidencia sobre la existencia de oscilaciones cuasiperiódicas que involucran la interacción de tres frecuencias, fenómeno conocido como toro 3D. La transición entre el caso c) (simple) y el caso d) (complicado) se debe a un cambio de signo en el coeficiente de curvatura de una de las curvas de bifurcación de

Hopf. Una descripción completa de este fenómeno, junto al de otros comportamientos asociados, como interacciones entre curvas de bifurcación de silla-nodo de ciclos y de doble período se reportan en (Revel et al., 2008).

El análisis presentado muestra algunos de los efectos que puede causar la interacción de dos modos oscilatorios cuando varían los parámetros del circuito. Para el caso de aplicaciones en osciladores, la presencia de una bifurcación de Hopf doble puede ocasionar que variaciones paramétri-cas conduzcan a señales con contenidos espectrales no deseados. Más precisamente, esto se refiere a la aparición de oscilaciones cuasiperiódicas como una bifurcación de ciclo límite en la vecindad de curvas de bifurcaciones de Hopf, teniendo estas últimas asociado un sólo modo de oscilación. El modelo del circuito utilizado es académico pero sirve para ilustrar la riqueza de posibles oscilaciones periódicas y cuasiperiódicas en el escenario de las formas normales de la bifurcación de Hopf doble.

Agradecimientos

Los autores agradecen a la SECyT de la UNS (PGI 24K/30), a la ANPCyT (PICT-11-12524) y a Conicet (PIP 5032) por el apoyo brindado para la concreción de este trabajo. También agradecen los comentarios de dos revisores anónimos que han permitido mejorar la redacción y claridad del manuscrito original.

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