CC BY-NC-ND
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ISSN: 1697-7912. Vol. 6, Num. 2, Abril 2009, pp. 36-48
http://www.revista-riai.org
Sistema de Control Borroso para el Proceso de Renovación de la Carga en Motores Turbodiesel
S. García-Nieto J.V. Salcedo X. Blasco M.Martínez
Instituto Universitario de Automática e Informática Industrial. Universidad Politécnica de Valencia, Camino de Vera 14, 46022 - Valencia, España. e-mail: [sergarro, jsalcedo, xblasco, mmiranzo]@isa.upv.es
Resumen: El modelado y control del proceso de renovación de la carga en motores turbodiesel se presenta como un importante reto desde el punto de vista de control. Este sistema presenta un fuerte comportamiento no lineal, por lo que tecnicas clasicas de control, resultan insuficientes frente a los requerimientos de diseño que se plantean en los motores diesel actuales. Por tanto, resulta necesario la aplicacion de tecnicas no lineales que puedan resolver aquellos aspectos que están fuera del alcance de los controladores lineales tradicionales. El presente trabajo aborda dos de los aspectos fundamentales en el diseno de un sistema de control. En primer lugar, se plantea una metodología de identificacion de modelos borrosos con estructura Takagi-Sugeno (T-S), a partir de datos experimentales, para sistemas no lineales. En segundo lugar, se propone el diseno de controladores borrosos optimos basados en la estructura PDC (Compensador Paralelo Distribuido*). Los parámetros del controlador son obtenidos como solucion de un problema de minimizacion sujeto a LMIs (Desigualdades Lineales Matriciales * *). Copyright © 2009 CEA.
* El término anglosajón correspondiente es Parallel Distributed Compensation
** El termino anglosajon correspondiente es Linear Matrix Inequalities
Palabras Clave: Sistemas Borrosos, Identificacion, LMIs, Control No Lineal, Motores Diesel
1. INTRODUCCION
Los motores diesel destinados a vehículos de pasajeros son procesos de gran complejidad, y que a su vez se encuentran en continua evolucion. El objetivo de esta rápida evolucion es dar respuesta tanto a las nuevas necesidades de los conductores, como a las continuas restricciones de las autoridades competentes en materia medio ambiental (Guzzella y Amstutz, 1998). La figura 1, muestra de una manera esquematica, los distintos elementos que componen un motor turbodiesel actual, donde las principales magnitudes físicas implicadas en el comportamiento dinamico del sistema se muestran a continuacion:
ma: Flujo Masa de Aire m-T: Flujo Masa Total en Colector í^^-mesc: Flujo Masa de Escape (jj^j
megr: Flujo Masa de EGR
riif: Flujo Masa de Combustible pa: Presion en Colector (bar)
■ TGV: Turbina de Geometría Variable (%)
■ EGR: Valvula de Recirculacion de Gases ( %)
Las necesidades de mejora impuestas por los usuarios se suelen agrupar en tres grandes categorías:
■ Bajo consumo.
■ Elasticidad en la conduccion.
La demanda de potencias cada vez mayores por parte de los usuarios tiene respuesta en los motores diesel mediante el empleo de grupos turbocompresores (vease figura 1) (Guzzella y Onder, 2004). El principio de funcionamiento de estos elementos es simple, se emplea parte de la energía de los gases de escape (producto de la combustion) para incrementar la cantidad de aire que se introduce en los cilindros. Esta mayor cantidad de aire permite quemar una mayor cantidad de combustible, consiguiendo mayor potencia y par motor que un motor diesel atmosferico. En general, un turbocompresor esta formado por una turbina y un compresor acoplados por un eje comlún. El objetivo del grupo turbocompresor es incrementar la velocidad de respuesta en la inyeccion de aire en el colector de admision, cuando el conductor demanda aceleracion a bajas velocidades. Sin embargo, un turbocompresor disenado para respuestas a bajas velocidades, podría dañar el motor debido a las elevadas presiones que aparecerían en el colector de admision a velocidades mas altas.
Existen distintas propuestas para resolver la aparicion de sobre-presiones a altas velocidades. Una posible solucion es utilizar una valvula de descarga que permita desviar parte de los gases de escape de forma que no circulen a traves de la turbina a altas velocidades. Sin embargo, la solucion mas extendida, es usar una turbina de geometría variable (TGV) (Stefanopoulou et al., 2000). Esta puede ser modificada para cada velocidad del motor durante el funcionamiento, variando el area de flujo y el
Alta potencia.
ángulo con el que los gases de escape se dirigen a los álabes de la turbina.
Figura 1. Esquema de un motor diesel con turbocompresor.
Las restricciones medio ambientales comentadas anteriormente, hacen referencia a las nuevas normativas de emisiones contaminantes existentes. En la actualidad, la normativa mas restrictiva es la denominada Euro 4 (Emission Styards: European Union, 2003). Esta consiste (en el caso de motores diesel), en la imposición de una serie de límites de emisión maxima a lo largo de dos tipos de ciclo de test. Uno de los ciclos es el urbano y otro el extra urbano, midiendose en ambos, diferentes tipos de contaminantes como oxidos de nitrógeno (NOx) y humos.
Las emisiones de NOx se presentan cuando la combustion se produce en un entorno con elevadas presiones y altas temperaturas. Sin embargo, la emision de humos es consecuencia de un entorno antagonico al descrito, es decir, cuando la combustion se produce a bajas presiones y bajas temperaturas.
La solucion mas generalizada en el sector automovilístico para reducir la emision de NOx, es la recirculacion de una parte de los gases de escape hacia el colector de admision. Esta tecnica se denomina recirculacion de gases de escape (EGR), y a nivel tecnologico, se consigue mediante una valvula que conecta los colectores de admision y escape. El fundamento de esta tecnica es la recirculacion de los gases de alto calor específico, procedentes de la combustion. Los cuales actuan como gases inertes, disminuyendo la temperatura de la combustion, y por tanto la velocidad de la reaccion de formacion de NOx.
El otro elemento fundamental en las normativas medio ambientales es la cantidad de partículas (humos). Este factor depende directamente del ratio aire-fuel (AFR) en la combustion. Es decir, dada una cantidad de combustible determinada, habra que garantizar una cierta cantidad de aire fresco de entrada para que el nivel de humos se mantenga por debajo de cierto límite.
Un primer analisis del problema, pone de manifiesto la contraposicion de intereses entre la reduccion de humos y de NOx, ya que que la reduccion de humos limita la capacidad de reducir la emision de NOx. Por tanto, se debe plantear una solucion de
compromiso que permita garantizar un comportamiento adecuado de ambos aspectos, pues si se recircula gran cantidad de gases de escape al colector de admision, entrara menor cantidad de aire fresco, y por tanto, para una misma cantidad de combustible inyectada, disminuirá el ratio AFR, con lo que aumentara la cantidad de humo.
Por otra parte, el diseño de sistemas de control para motores diesel presenta una complejidad anadida, ya que no se dispone de sensores capaces de medir AFR, NOx y humos. Por tanto, la cuantificacion del comportamiento del sistema se debe realizar mediante otras magnitudes. En general, se emplean las medidas de la presion en el colector de admision, Pa, y el flujo masico de aire que circula por el compresor, ma. Estas variables son accesibles y estan íntimamente relacionadas con el AFR, NOx y humos (Stefanopoulou et al., 2000).
Por ultimo, existen otras dos variables que afectan en gran medida al comportamiento de este tipo de motores. Por un lado se encuentra el régimen de giro del motor (RPM). Esta variable depende de multiples factores como el par motor generado, par resistente, la inercia del vehículo, etc. Por otro lado, se encuentra la masa de fuel (mf), es decir, la cantidad de fuel inyectado.
La obtencion de un modelo matematico del sistema de renovacion de la carga, debe mantener el equilibrio entre modelos capaces de representar con suficiente precision este complejo proceso y, al mismo tiempo, pueda ser empleado desde el punto de vista de control. La propuesta seleccionada en este artículo es el empleo de modelos borrosos reglados con estructura Takagi-Sugeno (T-S). Donde, desde un punto de vista de ingeniería de control, se han empleado las variables ma y pa como variables controladas, EGR y TGV como variables manipuladas y, finalmente, mf y RPM como perturbaciones medibles. La influencia dinamica de estas ultimas (m f y RPM), sera identificada y empleada para realizar simulaciones, sin embargo no se hara uso de dicha dinamica en el proceso de diseno del controlador. En (Arino et al, 2007), (Chen et al., 2007) y (Tong et al., 2002) se describen distintas alternativas para la inclusion de perturbaciones en el diseño de controladores a partir de modelos T-S.
Los modelos borrosos T-S fueron introducidos en (Takagi y Su-geno, 1985) y, son considerados como potentes aproximadores universales de funciones. El empleo de estas estructuras en el area de motores es relativamente novedoso pero muy prolífico, tal y como muestra el elevado numero de publicaciones existentes (Khiar et al., 2007), (Lee et al, 2007). Enmarcado dentro de este contexto, una contribucion previa de los autores es (García-Nieto et al, 2007). Dicho trabajo previo describe el empleo de estructuras T-S en la identificacion del sistema de renovacion de la carga y su empleo en el diseno de controladores PDC. Ademas, se analiza la estabilidad del sistema en bucle cerrado mediante LMIs. Las principales diferencias entre el artículo (García-Nieto et al., 2007) y la propuesta que se detalla en los apartados sucesivos son:
■ Identificacion: en primer lugar, en (García-Nieto et al., 2007) se disponía de un unico conjunto de datos, del cual, el 80 % de los mismos fueron empleados en la identificacion y, el resto, para validacion. Sin embargo, actualmente se dispone de un segundo conjunto de datos, del mismo ta-mano que el primero. Esta circunstancia, ha permitido que en este articulo se haya empleado el 100 % del primer conjunto de datos en el proceso de identificacion del modelo.
Posteriormente, se ha realizado la validación empleando los nuevos datos. La disponibilidad de una mayor cantidad de information experimental, mejora a priori los resultados de identificacion que se pueden obtener. Por otra parte, en el presente trabajo se plantea la normalization de los espacios de variables con el objetivo de mejorar los resultados que se obtienen cuando se emplean algoritmos de agrupamiento.
■ Control: el presente trabajo describe el diseno de un con-trolador PDC basado en la minimization de un índice cuadratico, garantizando la estabilidad del sistema en bucle cerrado de manera global, tal y como se mostrara a continuation, utilizando LMIs. Sin embargo, el trabajo presentado en (García-Nieto et al, 2007) describe el diseño local de controladores LQR para cada regla y el analisis posterior de la estabilidad mediante LMIs del con-trolador PDC obtenido. Esta ultima propuesta se basa en una metodología iterativa de prueba y error. Otro aspecto diferenciador entre los dos trabajos es la elimination del error en regimen permanente. El diseno que se presenta en este artículo plantea la elimination del error permanente de todas las variables controladas (ma y pa), tal y como se mostrara en los apartados sucesivos. Al contrario de lo que sucedía en (García-Nieto et al, 2007), donde tánicamente se proponía la elimination del error en regimen permanente para una tínica variable controlada (ma).
La propuesta de control planteada es el diseno de un controlador borroso optimo basado en la estructura PDC introducida en (Sugeno y Kang, 1986) y ampliamente desarrollada en (Tanaka y Wang, 2001). La idea fundamental de esta tecnica es el diseno de un controlador local para cada uno de los modelos locales que se describen en los consecuentes del modelo borroso. Sin embargo, un diseño específico de cada controlador no puede garantizar la estabilidad del sistema de manera global. En respuesta a esta necesidad y basado en los trabajos presentados en (Tanaka y Wang, 2001), se propone el diseno de los parámetros de los controladores locales como la solucion de un problema de minimization sujeto a LMIs. Estas (Boyd et al, 1994), se presentan como una potente herramienta a la hora del diseno y analisis de sistemas de control. El resultado final, es la obtencion de un controlador borroso optimo que garantiza la estabilidad del sistema en bucle cerrado de manera global.
Este artículo se encuentra dividido en 5 secciones ademas de la presente introduction. La seccion 2 presenta la description matematica de los modelos borrosos T-S y de los controladores con estructura PDC. A continuation, la seccion 3 presenta la metodología de identificacion a partir de datos experimentales, así como la validation del modelo borroso obtenido. La seccion 4 propone una estrategia de control basada en PDC a partir del modelo borroso identificado. El calculo de los parámetros del controlador se realiza mediante la resolution de un problema de optimization descrito mediante LMIs. La seccion 5 presenta los resultados obtenidos en simulation de la estrategia de control propuesta. Por 'último, la seccion 6 muestra las principales conclusiones obtenidas en el desarrollo de este trabajo, así como algunas de las líneas futuras. Adicionalmente se incluye el apendice A, donde se adjuntan formulas y figuras que por cuestion de espacio no se han podido incluir en secciones anteriores.
2. FUNDAMENTOS MATEMATICOS
La presente seccion presenta la formulacion matematica asociada a los sistemas borrosos empleados en este artículo. En particular, se definen los modelos borrosos con estructura TS (Takagi y Sugeno, 1985) y los controladores borrosos con estructura PDC (Sugeno y Kang, 1986).
2.1 Modelos Borrosos T-S
Los modelos borrosos que se emplean se describen como: REGLA i :
Si zl(k) Es Mu Y ••• Y zp(k) Es Mp Entonces
X (k + 1) = AiX (k) + BiU (k) Y(k) = CiX(k) i = 1, 2,..., r
Donde Mij define los conjuntos borrosos de pertenencia de las variables zp(k), r es el numero de reglas del modelo y, las matrices Ai, Bi y Ci definen el modelo en espacio de estados de los consecuentes. Por tanto, la salida de los modelos borrosos T-S puede ser inferida segúin las ecuaciones:
x{k + l)- EU «*(*(*))
= hi(z(k))(AiX(k) + BiU(k)) i=l
EU wi(z(k))(Ci X (k))
y (k) =
Er=l wi(z(k))
= £ hi(z(k))(CiX (k))
Donde,
z(k) = [zl(k) •••zp(k)] ~=lMij (zj (
wi(z(k))
wi(z(k))=np=lMij (zj (k))
hi(z(k))
Eí=i wi(z(k))
La obtención de los distintos parámetros del modelo borroso se obtienen mediante la aplicacion de tecnicas de identificacion difusa basadas en (Babuska y Verbruggen, 1996), (Babuska, 1998) y (Abonyi, 2003). La idea basica de estos metodos es la obtencion de modelos borrosos T-S a partir de datos experimentales reales, mediante la aplicacion de tecnicas de agrupacion borrosa en el espacio de las variables del modelo.
2.2 Estructura del Controlador PDC
La estructura del controlador empleado se describe como:
REGLA i :
Si z^k) Es Mu Y ••• Y zp(k) Es Mip Entonces (5)
U(k) = -KiX(k) i = 1, 2, ...,r
Donde Mj define los conjuntos borrosos de pertenencia de las variables zp(k), r es el numero de reglas del modelo y, Ki son las matrices de realimentacion del estado en cada regla. Por tanto, la accion de control global del controlador PDC puede ser inferida como:
U (k) = -
ET=1 wi(z(k))(Kix (k))
E-=i wi(z(k))
hi(z(k))(KiX (k))
g 2500 ¡r
S 2000 b
ÍÜ 1500 E
■JR 1000
3. IDENTIFICACION DEL PROCESO DE RENOVACION DE LA CARGA
El diseño de un sistema de control que gobierne el comportamiento de un proceso complejo, siempre resulta un reto. En general, el primer escollo que se presenta es la obtención de un modelo matematico que represente de manera adecuada el comportamiento dinamico del sistema. En muchas ocasiones el sistema es tan complejo y desconocido para las ingenieros, que se emplean tecnicas de identificacion a partir de datos experimentales, conocidas como identificacion basada en Caja Negra (Ljung, 1999). El proceso de identificacion que se presenta a continuation plantea el modelado del proceso de renovacion de la carga de un motor diesel turbo alimentado a partir de datos experimentales obtenidos en ensayos de laboratorio. Las características tecnicas del vehículo sometido a test se muestran a continuation:
■ Motor Diesel PSA (Grupo Peugeot-Citroen)
■ 1600 cc., 4 cilindros en línea y 2 valvulas/cilindro
■ 1000 kg de peso
■ Radio de Compresion 18.3:1
■ Máxima potencia: 78.75 kW
■ Common rail de inyeccion directa
■ Valvula electrónica EGR
я Válvula de geometría variable a la entrada de la turbina
Los datos experimentales, empleados en este ejemplo, han sido obtenidos sometiendo el vehículo descrito anteriormente a un test de homologation Euro 4 (Emission Styards: European Union, 2003). Este test se realiza con el objetivo de comprobar el cumplimiento de la normativa en cuanto a emisiones de contaminantes y, se basa en el seguimiento de un perfil de velocidad preestablecido, mientras los sistemas de medida recogen los valores de una magnitudes determinadas. A continuation, las figuras 2 y 3, muestran el comportamiento dinamico de las variables empleadas para la identificacion del tipo caja negra durante la ejecucion de un ciclo Euro 4 real.
3.1 Metodología de Identificación Borrosa Propuesta
La metodología de identificacion propuesta se basa en los trabajos presentados en (Babuska y Verbruggen, 1996) y (Babuska, 1998). Este metodo aplica tecnicas de agrupacion borrosa sobre el espacio de variables (Gustafson y Kessel, 1979), (Zhao et al, 1994) y (Herrera y Martínez, 2003). El objetivo es la identificacion de subespacios con características similares que dan lugar a un conjunto de submodelos lineales. A su vez, dichos submodelos forman parte de un modelo no lineal global mediante el empleo de un nuí mero determinado de reglas borrosas. Las funciones de pertenencia de los antecedentes de
100^ 80
cc щ 40
ш 40 20 0
Tiempo (s)
Tiempo (s)
rn ~ 8
.8 4 s
90 80 g 70 § 60 50 40
Tiempo (s)
Tiempo (s)
Figura 2. Datos experimentales de las variables de entrada
200 400 600 800 1000 1200
Tiempo (s)
-S 1.4
200 400 600 800
Tiempo (s)
1000 1200
Figura 3. Datos experimentales de las variables de salida
las reglas son extraídas directamente de la proyección de la matriz de pertenencia procedente del agrupamiento sobre el plano de cada una de las variables que compone el termino de los antecedentes. La figura 4 muestra de manera esquematica, las distintas etapas que componen el metodo de identificacion propuesto en (Babuska, 1998).
El presente artículo propone una simplification del metodo original basado en el empleo de funciones de transferencia y, permite obtener una representation en espacio de estados. El metodo de Babuska propone que los consecuentes de las reglas sean modelos MISO (Multiple Entrada Salida tínica) con estructura NARX1 . Es decir, que en un consecuente solo se pueda describir el comportamiento dinamico de una salida. Sin embargo, este tipo de estructura no resulta apropiada cuando se decide disenar controladores empleando las tecnicas descritas en (Tanaka y Wang, 2001), basadas en empleo de modelos borrosos T-S, donde los consecuentes vienen descritos mediante representation interna (espacio de estados).
1 Modelo No Linear Autorregresivo con variables Exogenas: y(k) F{y(k — 1),, ■ ■ ■ , y(k — n), u(k — 1), ■ ■ ■ , u(k — m)}
Figura 4. Etapas del proceso de identificación
La cuestión determinante, que diferencia el método de identificación de Babuska y el empleado en este artículo, es la selección de la estructura de los consecuentes. En el metodo original, cada salida del sistema puede tener una estructura NARX diferente del resto de salidas del proceso, mientras que el empleo de una representacion en espacio de estados, requiere que todas las salidas presenten la misma estructura, de manera que la representacion global pueda ser expresada de manera matricial. Por ejemplo, para el caso del sistema de renovacion de la carga se propone:
ma(k +1) = F{ma(k), ma(k - 1), Pa(k), pa(k - 1),RPM(k), mf (k), EGR(k - 1), TGV(k - 1)}
Pa(k +1) = F{ma(k), ma(k - 1), Pa(k), Pa(k - 1),RPM(k), mf (k), EGR(k - 1), TGV(k - 1)}
La aplicacion de esta restriccion en el planteamiento de la estructura de los consecuentes, produce que el espacio de variables donde se realiza la agrupacion sea el mismo en todas las salidas. Es decir, si se define una estructura dinamica distinta para cada una de las salidas de los modelos, el espacio de variables donde se realice la agrupacion sera muy distinto y, por tanto el conjunto de reglas y funciones de pertenencia tambien. Sin embargo, si todas las salidas son definidas mediante la misma estructura, el espacio de agrupamiento sera similar. Por tanto, se podra establecer un conjunto de reglas y funciones de pertenencia comunes. Asimismo, se podra expresar el conjunto de todas las salidas mediante una estructura matricial clasica en espacio de estados, tal y como muestran en las ecuaciones (9), (10) y (11). La representacion mediante espacio de estados propuesta, emplea los incrementos de las variables EGR y TGV como las acciones de control del sistema. Esta modificacion respecto al esquema original hace posible el empleo de toda la metodología descrita en (Tanaka y Wang, 2001), ya que como se apunta en el capítulo 2 de dicha referencia y se desarrolla exhaustivamente en (Tanaka, 1994); las acciones de control no deben aparecer en los antecedentes de la reglas borrosas para evitar un complejo proceso de desborrosificacion que haría inviable los resultados propuestos en (Tanaka y Wang, 2001).
El punto de partida para aplicar la metodología de identificacion es el conjunto de datos experimentales. A partir de estos, se aplican las distintas etapas definidas en la figura 4, donde la estructura de los consecuentes sera la determinada en la ecuacion (7). Sin embargo, resulta recomendable un preprocesado de los datos con el objetivo de normalizar los rango de las variables del proceso entre -1 y 1. La tabla 1 muestra los rangos reales de las senales y las funciones de conversion empleadas.
Tabla 1. Normalización de las Variables.
Variable Rango Real Normalización - fn(x)
m a [0, 250] (kg/h.) = 0.008 • rha - 1
Pa [0.9,2] (bar) = 1.818 • pa - 2.64
RPM [720,3000] (rpm) = 0.001 • RPM - 1.63
m.f [0.9,2] (kg/h.) = 0.167 • rhf - 1
EGR [0,100] <%) = 0.02 • EGR - 1
TGV [0,100] = 0.02 • TGV - 1
La aplicación de las distintas etapas que constituyen la metodología de identificacion que se muestran en la figura 4, junto con un proceso iterativo de prueba y error, permiten establecer el mejor ratio entre precision del modelo y complejidad. El resultado es la definition de 3 túnicas clases en el proceso de agrupacion borrosa y, por tanto, se obtendrán un modelo borroso con estructura T-S de 3 reglas (Takagi y Sugeno, 1985). Sin embargo, en el metodo original de Babuska los consecuentes de cada una de las reglas son expresados mediante expresiones Entrada-Salida, con la siguiente estructura:
ma(k + 1) = aima(k) + a^ma(k - 1) +
+a3Pa(k) + a4Pa(k - 1) + biRPM(k) +
+b2ih f (k) + b3EGR(k) + biTGV(k) + ci
Pa(k) = ahrna(k) + a6iha(k - 1) + +a7pa(k) + a8Pa(k - 1) + b5RPM(k)+ +b6h f (k) + b7EGR(k) + b8TGV(k) + c2
Mientras que en el metodo propuesto, los consecuentes se expresan mediante representacion en espacios de estados. Esta transformacion de Entrada-Salida a representacion interna, se consigue aplicando la forma canonica controlable (Ogata, 1996), obteniendo el modelo T-S de 3 reglas siguiente:
REGLA 1 : Si hna(k) Es Di Y rha(k - 1) Es Ei Y Pa(k) Es Fi Y Pa(k - 1) Es Ji Y
Donde2
RPM(k) Es Li Y rhf (k) Es Mi Y EGR(k - 1) Es Ni Y TGV(k - 1) Es Zi Entonces
X '(k + 1) = AiX '(k) + B[ U'(k) + fiW (k) Y (k) = Ci X'(k)
rha(k - 1) rh a(k)
Pa (k - 1)
RPM(k) m f(k) 1
X' (k)
EGR(k) TGV (k)
hh a(k)
U '(k)
z(k) = [X'(k) U'(k)]
Oi = Di(hha(k)) ■ Ei(hha(k - 1)) ■ Fi(pa(k))-
■Ji(Pa(k - 1)) ■ Li(RPM(k)) ■ Mi(hhf (k)) ■Ni(EGR(k)) ■ Zi(TGV(k))
Sin embargo, los consecuentes descritos por las ecuaciones (9), (10) y (11) no pueden ser empleados directamente para el diseño de los controladores con estructura PDC. Esto es debido a que el vector de las acciones de control U'(k) aparece directamente en los antecedentes de las reglas borrosas (ecuacion (13)), hecho que complica enormemente el proceso de desborrosificacion del controlador borroso (Tanaka y Wang, 2001). Este problema, que ya fue apuntado en la introducción, se ha resuelto modificando la representacion en espacio de estados sustituyendo las variables controladas EGR(k) y TGV(k) por los incrementos de dichas variables, tal y como muestra a continuacion:
REGLA 2 : Si hha(k) Es D2 Y hha (k - 1) Es E2 Y Pa(k) Es F2 Y Pa(k - 1) Es J2 Y RPM (k) Es L2 Y hhf (k) Es M2 Y EGR(k - 1) Es N2 Y TGV(k - 1) Es Z2 Entonces
X '(k +1) = A'2X '(k) + B'2 U'(k) + Í2W (k) Y (k) = C2 X'(k)
REGLA 3: Si hha(k) Es D3 Y hha(k - 1) Es E3 Y Pa(k) Es F3 Y Pa(k - 1) Es J3 Y RPM (k) Es L3 Y hhf (k) Es M3 Y EGR(k - 1) Es N3 Y TGV(k - 1) Es Z3 Entonces
X3 (k +1) = A'3X '(k) + B'3 U'(k) + $3W (k) Y (k) = C3 X'(k)
X '(k + 1) = AiX '(k) + B'U'(k) + ViW (k) = = AiX'(k) + B¡AU'(k) + BiU'(k - 1) + ^iW(k)
Donde,
U'(k) = AU'(k) + U'(k - 1)
Aplicando la ecuacion (15) a los consecuentes de las las reglas (9), (10) y (11), se obtiene un modelo borroso donde los antecedentes de las reglas no varían y los consecuentes vienen descritos por las ecuaciones (17), (18) y (19).
CONSECUENTE REGLA 1 :
X '(k + 1) U'(k)
Ai Bi 0 I
X'(k) U'(k - 1)
X(k+i)
AU' (k)] +^iW (k)
Y{k)=[C[ 0]
X '(k) U'(k - 1)
2 El subíndice de las matrices define el nombre de la matriz. Es decir,
[B]a — A = [B]. Por ejemplo, \ma(k) Pa(k) 1 es equivalente a
l J Y (fe)
Y(k) = rha(k) pa(k)
CONSECUENTE REGLA 2 :
X '(k + 1)
U '(k)
A'2 B2' 0 I
X'(k) U'(k - 1)
X(k+1)
AU'(k) ] +Ф2W(k)
Y (к) = [C2 0]
X '(k) U'(k - 1)
CONSECUENTE REGLA 3 :
X '(k + 1) U '(k)
A3 B3 0 I
X '(k) U'(k - 1)
X(k+1)
AU '(k)] +ФзW (k)
Donde,
Y (к) = [С3 0]
rha(k - 1)
rna (k) Pa(k - 1) Pa (k)
EGR(k - 1) TGV(k - 1)
RPM (k) m f(k) 1
X '(k) U '(k - 1)
AEGR(k) ATGV(k)
rn a(k) Pa(k)
z(k) = X (k)
Además de presentar las gráficas referentes a las comparativas de modelo y proceso, se empleara un índice que permita cuantificar la calidad del modelo con mayor objetividad. El índice seleccionado es el denominado VAF (Varianza Considerada), que representa la varianza en porcentaje entre dos senales temporales. Este índice, el cual se define mediante la ecuación (22), es ampliamente utilizado en la literatura dentro del ambito de identificacion de sistemas dinamicos (Verdult y Verhaegen, 2000). Cuando el valor del índice es mas cercano al 100 %, mayor es la precision del modelo identificado respecto al comportamiento real del proceso.
VAF (y, y) = 100 %
var(y - y)
Donde y e y serán vectores en el caso mono variable y matrices en el caso multivariable. Por tanto, la evaluación del índice en el caso de matrices se define como la aplicacion de la ecuacion (22) para cada una de las columnas de la matriz y, analizada respecto a su columna correspondiente en la matriz y. Por tanto, dadas dos matrices y e y se calculara como
VAF(y(N, 1),y(N, 1)), ••• ,VAF (y(N,p),y(N,p)) (23)
La figura 5 muestra la validacion del modelo borroso de 3 reglas frente al proceso real, empleando el segundo conjunto de datos.
-Proceso
■ - ■ Modelo
15O 2OO 25O Tiempo (s)
A la vista de los nuevos consecuentes, el controlador borroso disenado a partir del modelo planteado, no presentara problemas de desborrosificacion. Asimismo, se han empleado las variables mf (k) y RPM (k) como perturbaciones medibles dentro del modelo borroso, tal y como se puede apreciar en el vector W(k). Las funciones de pertenencia de los antecedentes de las reglas y las matrices de los modelos en espacio de estados de los consecuentes vienen descritas en el apendice A.
3.2 Validación del Modelo
50 100 150 200 250 300 350 400
Tiempo (s)
Figura 5. Validación - Real (Solido) vs Modelo Identificado (Discontinua).
El calculo del índice VAF, reflejado en la tabla 2, permite establecer conclusiones cuantitativas y analíticas, mas alla de la apreciacion visual de la gráfica 5.
Tabla 2. Valores índice VAF( %).
Dat. Identificación 93.4120 95.1030
Dat. Validación 96.9329 97.2370
El modelo borroso obtenido sera validado mediante un segundo conjunto de datos, procedentes de otro test Euro 4 realizado sobre el mismo vehículo. Sin embargo, en este segundo test la masa del vehículo se ha modificado, añadiendo una masa extra de 100 kg. El objetivo es validar el comportamiento del modelo con este segundo paquete de datos experimentales.
En primer lugar, se puede observar como el valor del índice de precision presenta valores superiores al 90 % en ambos experimentos (identificacion y validacion). Por tanto, el modelo identificado puede representar con cierta garantías el comportamiento del proceso real. En segundo lugar, el valor del VAF es ligeramente superior en la validacion. Esta cuestion resulta sor-
prendente 3 , ya que en general, la respuesta de un modelo ante un paquete de datos de validación suele ser peor que ante los datos de identificacion. Una posible respuesta a este resultado se basa en el analisis de los datos que se muestran en la figura 6. Esta muestra como los datos de validacion presentan un respuesta dinamica con transiciones suaves, es decir, no existen saltos bruscos en el comportamiento. Sin embargo, los datos de identificacion presentan variaciones abruptas puntualmente, destacadas en la figura 6. Estas variaciones se deben en gran medida al efecto del cambio de marchas manual, en particular al tiempo empleado en la modificacion de una marcha.
Realizar un cambio de marcha de manera lenta (tiempo consumido elevado), provoca una disminucion muy significativa de la ma. Esta disminucion es consecuencia de un flujo de fuel prácticamente nulo, ya que en el proceso de cambio de una marcha el conductor levanta el pie del acelerador. Esta circunstancia da lugar a un descenso brusco de las variables del proceso y, por tanto, que dichas variables alcancen valores muy distintos a los que presentaban en el instante previo a la modificacion de la marcha del vehículo.
La figura 6 muestra como los datos de validacion (ventana inferior) presentan un respuesta dinamica con cambios suaves, es decir los estados del proceso tienen un recorrido pequeño en el dominio no lineal de dicho proceso. Sin embargo, los datos de identificacion (ventana superior) presentan cambios mucho mayores y bruscos, debidos al aumento del tiempo consumido en el cambio de una marcha. Esta circunstancia provoca un recorrido de los estados en el dominio no lineal mucho mayor, hecho que parece ser la causa objetiva del mejor dato de VAF para la validacion.
4. CONTROLADOR BORROSO OPTIMO
La metodología de diseno que se propone en esta seccion, se basa en los trabajos presentados en (Takagi y Sugeno, 1985) y (Tanaka y Wang, 2001). El objetivo es la obtencion de un controlador no lineal con estructura borrosa T-S que minimiza un índice cuadratico de tipo LQR y, al mismo tiempo, garantice estabilidad seglún la teoría de Lyapunov (Branicky, 1998).
El controlador optimo borroso se diseña mediante la resolucion de un problema de optimizacion donde el objetivo es minimizar una cota superior del índice de coste cuadratico. Este planteamiento presenta la gran ventaja de poder ser expresado en terminos de LMIs, lo cual garantiza su resolucion en tiempo polinomial mediante algoritmos muy eficientes al tratarse de un problema convexo (Boyd et al, 1994).
La estructura utilizada para el controlador se denomina PDC. Este tipo de controladores fue introducido en (Takagi y Sugeno, 1985) y (Tanaka y Wang, 2001). La idea fundamental es el diseño de un controlador local para cada uno de los submodelos de los consecuentes. Posteriormente, a partir de los disenos locales, se genera un controlador global borroso que comparte la estructura T-S del modelo identificado. Es decir, el numero de reglas, los antecedentes y las funciones de pertenencia del controlador son los mismos que los empleados en el modelo borroso descrito en (9), (10) y (11). En cambio, los consecuentes pasan a ser los controladores locales diseñados.
La desventaja de esta tecnica es que no se puede garantizar la estabilidad del bucle cerrado a partir de la estabilidad por separado de cada uno de los modelos locales. Afortunadamente, la aplicacion de la teoría de Lyapunov, unido al empleo de LMIs, permiten resolver este problema (Tanaka y Wang, 2001).
Cambios Bruscos
950 1000 1050 Tiempo (s)
ire 0.5
- Datos Identificación Datos Validación
-1 — 800
950 1000 1050 Tiempo (s)
Figura 6. Comparacion de los dos conjuntos de datos experimentales empleados (no son simulaciones basadas en el modelo borroso).
4.1 Diseño del Controlador mediante LMIs
El controlador T-S propuesto en ese artículo, debe minimizar el siguiente índice de tipo LQR,
J = XT QX + UT RU
sujeto a la dinamica del proceso 4 :
X(k + 1) = Y^ hi(z(k))AiX(k) + BiU(k)
En primer lugar se amplían los modelos en espacio de estados de los consecuentes de las ecuaciones (9), (10) y (11), incluyendo 2 integradores. El objetivo de esta modificacion del modelo original es eliminar el error en reígimen permanente de la ma y pa en el seguimiento de referencias local. La ecuacion (26) muestra la estructura del modelo ampliado para abordar el problema de seguimiento de referencias.
3 Los resultados de identificacion y validacion presentados en el artículo pueden resultar sorprendente, pero analizando los datos que aparecen en la figura 6 se puede encontrar una respuesta razonable, tal y como se comenta en el texto.
4 La ecuacion (25) muestra el modelo dinamico empleado en el diseño del controlador LQR. Se puede observar como no se ha tenido en cuanta la dinaímica de las perturbaciones, tal y como se anticipoí en la introduccioín.
Ai 0 r Bi
-Ci 1 0" 0 1 A* 0 0" 0 0
0 0 0 0
Sujeto a:
Minimizar y F,M1,...,Mr ,Y0
F > 0,
Y XT (0) X (0) F
Uii < 0
Vij < 0, i > j s.a. hi n hj = $
Donde,
Aux1 FC*T -MT
C*F -Q-
Aux2 FC*1 -MT FC* 1 -MT C*F -Q-1 0 0 0 -Mj 0 -R-1 0 0
Cj F -jMi
F FA*T - MTB*t A*F - B* Mi F
F GT Gij F
(A*F + A*F - B*Mj - Bj*Mi)
Las matrices de realimentación del estado se extraen a partir de la solución de las LMIs como
Ki = Mi F-1 i = 1, 2,..., r
(9), (10) y (11)), donde las matrices de ponderación Q y R empleadas en el diseño se presentan en el apendice A. La resolucion de las LMIs se ha realizado mediante el empleo de la Toolbox YALMIP (Lofberg, 2004) para MatLab y la LMIToolbox. El resultado es la obtencion de tres matrices de realimentacion del estado, tal y como muestra la ecuacion (36),
En segundo lugar, se realiza el diseno optimo mediante LMIs empleando una version simplificada del teorema 25 introducido en (Tanaka y Wang, 2001), enunciado es:
Teorema 1. Las matrices de realimentacion que minimizan una cota superior del índice de coste pueden ser obtenidas resolviendo un problema de minimizacion sujeto a LMIs. En concreto, se garantiza que J < XT(0)PX(0) < y al resolver el siguiente problema de minimizacion,
2.2471 -0.0372 8.7726 0.5316
-9.2847 -0.9759 -19.6217 -1.9687
6.5575 3.1015 -1.4572 -2.3804
-1.0573 1.7763 7.3364 7.9389
1.3905 0.0495 1.0714 0.0291
-1.6831 0.9800 0.5619 1.1749
2.5502 0.4526 2.5526 0.4543
-0.6747 -0.6170 -0.6759 -0.6179
9.5522 -20.1545 -0.5848 6.3629 1.1137 0.3925 2.5518
0.3713 -1.6329 -0.5781 6.0317 0.0374 1.0669 0.4528
-0.6755 -0.6172
El controlador global del sistema presenta una estructura equivalente a la del modelo identificado en el numero de reglas, antecedentes y funciones de pertenencia. Sin embargo, los consecuentes de las reglas pasan a ser los controladores calculados individualmente en la seccion anterior. Las ecuaciones (37), (38) y (39) muestran el sistema de control diseñado.
REGLA 1 : Si ma(k) Es D1 Y ma(k - 2) Es E1 Y pa(k - 1) Es F1 Y pa(k - 2) Es J1 Y RPM (k - 1) Es L1 Y mf (k - 1) Es M1 Y EGR(k - 1) Es N1 Y TGV(k - 1) Es Z1
El metodo de diseno basado en LMIs que se ha presentado en el teorema 1, se ha aplicado al modelo identificado (ecuaciones
Entonces
U (k) = -K1X (k)
REGLA 2 : Si ma(k) Es D2 Y ma(k - 2) Es E2 Y pa(k - 1) Es F2 Y pa(k - 2) Es J2 Y RPM (k - 1) Es L2 Y mf (k - 1) Es M2 Y EGR(k - 1) Es N2 Y TGV(k - 1) Es Z2 Entonces U (k) = -K2X (k)
REGLA 3
VEHICULO SOMETIDO A TEST EURO 4
Si ma(k) Es D3 Y iha(k - 2) Es E3 Y
pa(k - 1) Es F3 Y pa(k - 2) Es J3 Y
RPM(k - 1) Es L3 Y mf (k - 1) Es M3 Y (39)
EGR(k - 1) Es N3 Y TGV(k - 1) Es Z3
Entonces
U (k) = -K3X (k)
5. VALIDACION DE RESULTADOS
Tras el diseno del controlador en el epígrafe anterior, es preciso proceder a su validation. Esta cuestion no es facil, debido a un importante inconveniente que esta asociado a la imposibilidad de implementar el diseño realizado, relativo al control de Renovacion de la Carga, en la Unidad Electro)nica de Control (ECU) que equipan los vehículos. Dichas unidades no son accesibles de forma directa, pues estan protegidas por los fabricantes, y en consecuencia no es posible sustituir la parte correspondiente a dicho control por el nuevo control desarrollado 5 , lo que nos lleva a la imposibilidad de realizar experiencias con el motor real y su ECU. Sin embargo, con la identification borrosa del proceso de Renovacion de la Carga se ha conseguido un modelo no lineal que se adapta al comportamiento de proceso de una forma muy razonable y en todo el rango de funcionamiento, de manera que la validation puede justificarse en simulation. Por lo tanto, para validar los resultados de este diseno, que como se acaba de comentar, correspondería a una parte del diseno de control global, es necesario aislar el subproceso de Renovacion de la Carga del resto del proceso y generar una condiciones realistas de prueba que permitan inferir que los resultados que se obtienen son coherentes, comparables y en su caso mejorados, con los que de forma global se han obtenido con el proceso real y la ECU comercial. En este sentido, cuando se analizan los resultados del control global de un motor con la ECU comercial ante el Test Euro 4 (ver figura 7) se observa que, respecto al proceso de Renovacion de la Carga, este viene caracterizado por unos perfiles de ma, pa, mf, RPM, etc. determinados (figuras 2 y 3) que aseguran la consecucion de los objetivos del citado Test, en particular la velocidades lineales y par motor correspondientes, ademas y respecto a las especificaciones a cumplir, es sabido que la ECU comercial establece un control de referencia variable de la ma (relacionado con la m f a traves de la relacion aire fuel-AFR (control de ratio)) y sujeto a que pa se mantenga dentro de un rango de funcionamiento adecuado. Por ello, la solucion adoptada viene reflejada en la figura 8, en la que se ha aislado el proceso de renovacion de la carga estableciendo una referencia de ma igual a la obtenida como salida en las pruebas reales y una referencia de pa por debajo de la obtenida en dichas pruebas. Con este enfoque es posible valorar si el controlador disenado es comparable al subcontrolador de la ECU que se dedica al proceso de renovacion de la carga y en su caso si se ha producido alguna mejora (figura 10).
Los resultados de simulation en bucle cerrado se presentan en las figuras 9, 10 y 11. La figura 9 muestra como la respuesta
5 Las ECU incorporan otros controles y funciones adicionales al de Renovacion de la Carga, pero indispensables para el funcionamiento global del vehículo
mf(REAL) RPM (REAL)
Figura 7. Control del Proceso de Renovacion de la Carga en ECUs Comerciales.
SIMULACIÓN Y VALIDACIÓN DE RESULTADOS í
Ref = ma (REAL) +
Ref. pa
Control PDC
-» Modelo Borroso
rnf(REAL) RPM (REAL)
Figura 8. Control del Proceso de Renovacion de la Carga Propuesto.
de la ma consigue seguir de manera razonable la referencia establecida. Por tanto, el el comportamiento mecanico sera similar al que se produce cuando la ECU gestiona el proceso. Por otra parte, se puede observa como la Pa es capaz de seguir el perfil de presiones determinado. Asimismo, la figura 10 muestra como la respuesta de la presion de aire de la ECU es mayor, hecho que puede favorecer una mayor produccion de NOx en comparacion con presiones mas bajas, como es el caso de la respuesta obtenida con el controlador borroso. En particular, se puede observar como con demandas de ma bajas la Pa del controlador borroso se mantiene en valores cercanos a la atmosferica, mientras que la ECU proporciona valores de presion de aire mayores.
La figura 11 muestra como las acciones de control EGR y TGV, propuestas por el controlador borroso T-S disenado, presentan menor numero de transiciones entre los valores de saturacion de las valvulas. Este hecho podría ser determinante en la vida "útil del accionador, ya que una continua conmutacion entre los valores de saturacion resulta perjudicial para los elementos mecanicos.
_Ref. Flujo ma (ECU Real)
____Flujo m
j^M—k
150 200
Tiempo (s)
_Ref. pa
■■■pa r
i 'i _!'... - 1 .'l
• • IT y ' V
0 50 100 150 200 250 300 350
Tiempo (s)
Figura 9. Respuesta de ma y pa.
< -0.2
C5 0 -
0 50 100 150 200 250 300 350
Tiempo (s)
-TGV (ECU) TGV
100 150 200 250 300 350
Tiempo (s)
Figura 10. Comparativa de pa obtenida con el diseno propuesto y empleando una ECU comercial.
0 50 100 150 200 250 300 350
Tiempo (s)
Figura 11. Acciones de control EGR y TGV.
cion donde el objetivo es minimizar una cota superior del índice de coste cuadratico. Este planteamiento presenta la gran ventaja de poder ser expresado en terminos de LMIs, lo cual garantiza su resolucion en tiempo polinomial mediante algoritmos muy eficientes, al tratarse de un problema convexo (Boyd et al., 1994).
En tercer lugar, teniendo en cuenta los resultados obtenidos en simulacion, el diseno presentado en este artículo permite el control de la pa que reducirá la proliferacion de NOx.
Finalmente, se pretende como trabajo futuro la implementacion del controlador en ECUs abiertas, donde el usuario pueda definir completamente el controlador y sus parámetros. El objetivo es poder realizar un conjunto exhaustivo de tests sobre el vehículo que confirmen los resultados obtenidos en simulacion.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por los proyectos de investigacion GVA-026, GVPRE/2008/326 y DPI2008-02133/DPI.
6. CONCLUSIONES
El presente artículo muestra el proceso completo de identificacion y diseno de un sistema de control para la gestion del proceso de renovacion de la carga de un motor diesel turboa-limentado. En primer lugar, se ha presentado una metodología para identificar un modelo borroso T-S, que representa de manera satisfactoria el comportamiento real del sistema. Esta se basa en la modificacion del metodo de identificacion descrito en (Babuska, 1998). La ventaja de la propuesta introducida en este artículo es la obtencion de un modelo borroso T-S donde los consecuentes son representaciones en espacio de estados MIMO. Por el contrario, el metodo original de Babuska emplea funciones de transferencia MISO en los consecuentes, los cuales no resultan apropiados en el diseno de controladores seglún las tecnicas de diseno planteadas en (Tanaka y Wang, 2001).
En segundo lugar, se ha presentado el diseno de un controlador borroso optimo y estabilizante. El controlador optimo borroso se diseña mediante la resolucion de un problema de optimiza-
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Apendice A "0.01 0 0 0 0 0 0 0
0 0.01 0 0 0 0 0 0
0 0 0.01 0 0 0 0 0
A continuacion se muestran algunos de los datos numericos que 0 0 0 0.01 0 0 0
no se han podido presentar en el texto por falta de espacio. 0 0 0 0 0.01 0 0 0
0 0 0 0 0 0.01 0 0
0 0 0 0 0 0 10 0
Modelo del consecuente de la regla 1, ecuacion (9): 0 0 0 0 0 0 0 10
0 1 0 0 0 0 -0.1647 0.8911 -0.0049 -0.0371 -0.0279 0.1219
0 0 -0.0522 0.1016
0.7063 0 0
1 0 0 0.0855 -0.0027 0.0305
10 0 0 10
Las funciones de pertenencia de los antecedentes de las ecuaciones (9), (10), (11), (37), (38) y (39) en la figura A.1.
0 0 0 0 0
0 0 0.1075 0.0596 -0.1282
0 0 0 0 0
0 0 -0.0024 0.0005 -0.1365
1 0 0 0 0
0 1 Bi 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
Modelo del consecuente de la regla 2, ecuación (10):
0 1 0.5445 1.4793 0 0
0.2511
0.2831 1
0 0 0.0082 -0.0088 0 0
-0.0201 0.0272 -0.6058 1.5700 -0.0024 0.0415
f'''~ ...... _J1 j3
-0.2 0 pa(k-1)
0 0 0 0 0
0 0 0.0262 0.0059 0.0042
0 0 0 0 0
0 0 0.0044 0.0327 -0.0042
1 0 0 0 0
0 1 B2 0 0 0 ^2
(A.2) Figura A.1. Funciones de pertenencia.
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
EGR(k)
TGV(k)
Modelo del consecuente de la regla 3, ecuación (11):
0 1 0 0 0 0
-0.6235 1.5663 -0.0448 0.0691 -0.0100 -0.0128
0 0 0 1 0 0
-0.0760 0.1241 -0.1426 1.0824 -0.0009 0.0160
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0.0198 -0.0013 -0.0052
0 0 0 0 0
0 0 -0.0060 0.0198 -0.0132
1 0 0 0 0
0 1 B3 0 0 0 ^3
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
Matrices de ponderación del diseño óptimo:
