Redes de petri continuas: Expresividad, análisis y control de una clase de sistemas lineales conmutados Academic research paper on "Sociology"

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ISSN: 1697-7912. Vol. 4, Num. 3, Julio 2007, pp. 5-33

http://riai.isa.upv.es

REDES DE PETRI CONTINUAS: EXPRESIVIDAD, ANALISIS Y CONTROL DE UNA CLASE DE SISTEMAS LINEALES CONMUTADOS

M. Silva 1 L. Recalde 1

Instituto de Investigación en Ingeniería de Aragón, I3A Dep. de Informótica e Ingeniería de Sistemas, Universidad de Zaragoza, España, {silva, lrecalde}@unizar.es.

Resumen: Gracias a la existencia de potentes teorías de análisis y síntesis, así como a su directa representabilidad gráfica, las redes de Petri constituyen uno de los formalismos mas aceptados en las aplicaciones de ingeniería en las que convienen modelos (de eventos) discretos. No obstante, a veces surgen problemas de decidibilidad o, en sistemas con grandes poblaciones, de enorme complejidad computacional. En este trabajo se presenta la urdimbre y algunos flecos de la teoría desarrollada para una relajación fluida o continua de los modelos discretos y dinamicos. Con ella se puede abordar eficientemente el estudio de sistemas de otra forma no abordables, al tiempo que se establecen algunos puentes a conceptos y resultados del análisis y síntesis de prestaciones, o de la observación y control de sistemas denominados continuos, aunque las clases de modelos que se obtienen son tecnicamente, a veces tambien conceptualmente, híbridos. Obviamente, el precio que se paga por toda relajacion es una perdida de fidelidad en los modelos. En este sentido se ha de tener en cuenta que, aunque insoílito en aplicaciones de ingeniería, los modelos discretos pueden ser no continuizables, del mismo modo que no todo sistema continuo no-lineal se puede aproximar satisfactoriamente por uno lineal (piensese, por ejemplo, en sistemas caíticos). Copyright ©2007 CEA-IFAC

Palabras Clave: Red de Petri, ciclo de vida, relajaciín matemítica, teoría estructural, anílisis cualitativo, analisis cuantitativo, optimizaciín parametrica, obser-vaciín y control dinamico.

1. INTRODUCCION

Las redes de Petri (RdP) constituyen una familia de formalismos bien conocidos para el modelado, analisis y síntesis de sistemas concurrentes y dis-

1 Los desarrollos presentados se han beneficiado en gran parte de los proyectos CICYT y FEDER DPI2003-06376 y DPI2006-15390, así como de la subvención del Gobierno de Aragón al GISED como Grupo de Excelencia en Investigación (2003-2007).

tribuidos formalizados como discretos (Peterson 1981, Brams 1983, Silva 2002, Silva 1993, Jensen 1997, David y Alla 2004, Valk y Girault 2003). Su centralidad conceptual se constata al considerar que son definibles axiomaticamente (por el propio Petri), como Sistema de Adicion de Vectores (Vector Addition System, VAS), a traves de la Teoría de Regiones de un grafo etiquetado (por codificacion del conjunto de nodos-estados globales), o a

partir de la lógica lineal (lógica no monótona de Girard) (Silva y Teruel 1996).

Partiendo de la base de que es impropio hablar de sistemas continuos o discretos, ya que estas son características de los modelos, cabe apuntar que por abuso del lenguaje se han lexicalizado las dos expresiones, así como la de sistema híbrido. La matematizacion como sistemas continuos dinámicos se remonta al menos a finales del siglo XVII, principios del XVIII, epoca en que se configura el cálculo sublime (calculo diferencial e integral) merced al impulso, entre otros, de Newton o Leibnitz, así como el cálculo de variaciones, donde de mencionar un unico apellido habría que optar por el de Bernouilli, sabiendo, que en realidad nos referimos a toda una saga (Sussmann y Willems 1997). En suma, mís de trescientos anos de perspectiva avalan estos desarrollos.

Sin embargo, la visiín de sistemas dinímicos como (de eventos) discretos es mucho mas reciente. Disciplina vertebrada en la interseccion de la Au-tomítica, la Investigacion de Operaciones y la In-formítica, se puede considerar su nacimiento dentro de la segunda mitad del pasado siglo XX. Por ello, entre otras cosas, pero muy principalmente por la necesaria multifuncionalidad a lo largo del ciclo de vida, no existe para ellos un marco formal ínico, que sea aceptado con identico consenso al que existe para las ecuaciones diferenciales en el íambito de los sistemas modelados como continuos.

En los sistemas discretos se asume que las variables de estado, memorizacion del pasado diními-co, se pueden modelar como discretas, codificandose, segín los formalismos, con alfabetos varios, o numíericamente, por ejemplo. En las redes de Petri el estado, denominado marcado, se codifica con variables: booleanas, en las redes Elementales; numáricas (con naturales), en las redes Lugar/Transicion; o con polinomios en ciertas redes de Alto Nivel (por ejemplo, las redes Coloreadas). Dicho esto, los desarrollos que se presentan en este trabajo parten del nivel de abstraccion intermedio, de entre los tres mencionados. En cualquier caso, aceptando que puede convenir que un sistema sea modelado en un momento determinado como discreto, cabe observar que los cambios de valor de su estado serín bruscos, puesto que se "salta" de un valor discreto a otro. Esos cambios se producen merced a eventos (sobre apuntes lingüísticos acerca de cuestiones relativas a "sistemas de eventos discretos", vease (Silva 2006b)). Eso hace que los modelos basados en redes de Petri se construyan empleando dos clases de objetos: los lugares (que designan a las variables de estado locales) y las transiciones (cuya actividad -eventos- puede cambiar el valor de algunas de las anteriores). Se denomina marcado del sistema

discreto dináamico al conjunto de los valores de las variables denominadas lugares.

Las redes de Petri se definen como modelos en los que estados y eventos estan en alternancia. Se representan gráficamente mediante grafos bipartidos, como ocurre tambien con las redes de Colas (RdC), o incluso con formalismos que manejan visiones continuas como son los diagramas de Forrester (DdF). Los almacenes (de írdenes de ejecucioín, de productos parcialmente elaborados, de recursos...) se denominan colas (RdC), depásitos (DdF), o lugares (RdP); la evoluciín en los anteriores se realiza merced a estaciones donde residen servidores (RdC), válvulas (DdF) o transiciones (RdP). En todos ellos subyace una logica de evolucion del tipo producciín/consumo: para producir algo, se necesita consumir otros elementos, bien definitivamente, o bien temporalmente (por ejemplo, recursos reutilizables, que son retornados tras la operacioín). La localidad de los estados parciales (de donde el marcado global es un estado distribuido), y de los eventos hacen que en la construccion de modelos se puedan emplear estrategias descendentes y modulares (o ascendentes).

Las redes de Petri no son un simple formalismo, del mismo modo que el diseño y realizaciín de un sistema no es algo que se produzca monolíticamente en una simple fase o etapa. Dicho de otro modo, el ciclo de vida de los sistemas (en particular de producciíon) comprende muy diversas fases, y su creciente complejidad hace que el empleo de míeto-dos formales sea cada vez mís importante. De forma tradicional se procede empleando para cada fase un formalismo diferente (grafos o diagramas de estado, míquinas de estado algorítmicas, redes de colas, PERTs o grafos conjuntivos/ disyuntivos. . . ), entre los considerados específicamente mías "adecuados". No obstante, es bien sabido que la "optimizacioín" de las partes de un sistema no lleva forzosamente a un íptimo global, algo que aquí se puede aplicar a la secuencia de visiones o fases de diseno y operacion del mismo. Por ello, se aboga por la idea de emplear un paradigma formal de modelado que permita acometer economicamente el trabajo en su conjunto, facilitaíndose la coherencia entre fases, así como el establecimiento de sinergias entre las mismas. Es decir, se trata de optimizar globalmente el ciclo de vida.

El paradigma de modelado basado en redes de Petri se puede ver construido sobre la base de los diferentes niveles de abstraccioín de los modelos (con variables booleanas, numíericas, polinomios...) (Silva y Teruel 1996) y de las interpretaciones (asociacion de significados a los lugares y transiciones), así como la conexioín del modelo con el mundo exterior (guardas o condiciones loígicas externas, eventos, temporizaciones, procedimien-

tos de ordenación a niveles superiores...) (Silva y Teruel 1998, Silva 2006a). A la coherencia y economía que supone el empleo de diferentes modelos de un mismo paradigma, hay que anadir beneficiosos efectos de sinergia en los analisis de los diferentes modelos por fases (la comprensión de una determinada propiedad en uno de ellos permite mejorar la de otras en otros modelos). Por ello, en nuestra estrategia de investigacion siempre procuramos aplicar esta visioón de conjunto, desplazóndonos en los difusos lómites conceptuales y metodologicos de las teorías de Control, Informótica, e Investigación de Operaciones, realizando pequeñas transgresiones que dotan a la investigacioón de alicientes adicionales.

Las visiones plasmadas por los modelos (de eventos) discretos son particularmente interesantes en sistemas realizados artificialmente (de manufactura, de transporte, logósticos, de coordinacióon de trabajos...). Ahora bien, si el sistema esta muy poblado (i.e., existen muchos elementos, sean activos o pasivos: piezas, vehículos, clientes, posiciones en almacenes...) el anólisis del mismo puede ser computacionalmente muy dificultoso, incluso imposible en la praóctica, bien por incapacidad de decidir, bien por problemas de explosión de estados (globales). En suma, a pesar de las potencias de cóalculo disponibles, los problemas pueden ser difócilmente tratables en la próactica. Ello lleva a la idea de relajar el modelo. Es decir, a asumir una cierta póerdida de fidelidad, con la esperanza de ganar en capacidad de anóalisis, en particular reducir draósticamente la complejidad computacio-nal asociada a los procedimientos de anóalisis o sóntesis.

En el caso presente, se relajan las redes Lugar/Transición por fluidificacion o continuizacion. La idea no es nueva en el óambito de los modelos formales. Por ejemplo, se utiliza cuando se pasa de un problema lineal de programación en los enteros a otro problema de programación lineal en los reales (eventualmente no negativos), lo que finalmente supone algoritmos polinóomicos de calculo, o al relajar una red de colas en una fluida (Mandelbau y Chen 1991, Chen y Yao 2001). En el caso de redes de Petri se relaja el disparo de las transiciones, lo que lleva a que las variables naturales que representan el marcado de los lugares tomen valores en los reales no negativos. La presentacioón de las primeras ideas de fluidifica-cióon en redes de Petri se remontan a dos dóecadas atróas, con motivo del 8th European Workshop on Applications and Theory of Petri Nets (Zaragoza, junio, 1987), ahora International Conference on Applications and Theory of Petri Nets. Rene David (INP Grenoble) las planteaba inspirado en la fluidificacióon de redes de colas (para una revisioón en marco amplio, (David y Alla 1992)), mientras que con Jose Manuel Colom, proponóamos el uso

sistemítico de la programacion lineal y geometría convexa para el estudio de sistemas discretos, a partir de su ecuacion de estado (una vision de conjunto de lo perseguido, y lo obtenido en esta segunda aproximacion se puede ver en (Silva et al. 1998)). Mas recientemente, se reflejan resultados de ambas aproximaciones en (David y Alla 2004).

En esencia, partiendo de un modelo de red discreto, la fluidificacion se aplica al disparo de una transicion (ahora se podrí disparar media vez, o una y tres cuartos, por ejemplo), con lo que su contador de disparos y el marcado de los lugares en su entorno devienen variables continuas. Si se fluidifican todas las transiciones, el modelo de red se dice continuo (aunque tecnicamente sea híbrido, como se vera posteriormente). Si no, coexistirán marcados enteros y continuos, y la red sera denominada híbrida. En este trabajo se resumen algunas de las líneas desarrolladas en el ímbito de las redes continuas, siempre buscando la coherencia con lo obtenible del modelo discreto del que se asume se puede derivar, y empleando al maximo los resultados de la teoría estructural de anílisis de las redes, es decir, resultados en los que el estado (marcado) inicial es, en esencia, un paríametro; dicho de otro modo, considerar simplemente como un íltimo recurso el empleo de tecnicas de simulacion o de enumeracion de estados, aproximaciones a las que, sin embargo, en el estado actual de conocimientos, hay que acudir con cierta frecuencia en el desarrollo de la ingeniería correspondiente.

Finalmente, cabe apuntar que existen modelos alternativos híbridos basados en redes de Petri. Por un lado, fluidificando solo unos pocos lugares, sobre la base de una red estocíastica, línea propuesta desde la Universidad de Duke (Hor-ton et al. 1998); en el LAAS (Champagnat et al. 1998, Champagnat et al. 2001) se consideran modelos híbridos basados en una red discreta, asociaíndole a los marcados de lugares sistemas de ecuaciones diferenciales (proximo a esta: (Demon-godin y Koussoulas 1998)). Muy centrado en las líneas desarrolladas por nuestro grupo en Zaragoza desde 1999, con la colaboracioín de colegas de diversas universidades, el presente trabajo parte recordando que es una red de Petri autónoma (no interpretada) discreta y como se fluidifica (o conti-nuiza). Posteriormente se hace enfasis en tecnicas de anaílisis, así como en las diferencias que pueden exhibir los modelos discreto y continuo asociados a una misma red. Se destacan aspectos como la decidibilidad y la relativamente baja complejidad algorítmica para problemas de analisis y síntesis frecuentes. La introducciíon de una base temporal asociada al disparo de transiciones plantea problemas porque la eleccion de la semíntica mís apropiada (problema de modelado al fin y al cabo) puede llevar a conclusiones relativamente diferen-

tes. En particular se exploran la semantica de finitos servidores ("pocos" servidores, pero "muchos" clientes), y la de infinitos servidores ("muchos" servidores y "muchos" clientes); tambien se menciona una semíantica basada en el producto de ■marcados, derivable de la de infinitos servidores, de especial interés para modelos poblacionales. La potencia expresiva con infinitos servidores es tal que se pueden simular móquinas de Turing, con lo que ello arrastra de indecidibilidades; por otro lado, el empleo de productos permite la simula-ciín de modelos caoticos. Por íltimo, la busqueda de interpretaciones a nivel de red de conceptos como observabilidad, control optimo en rógimen permanente (problema de complejidad polinomi-ca si todas las transiciones son controlables y la funciín objetivo es lineal), o control dinámico (esencialmente, pero no uínicamente basado en aproximaciín MPC, Model Predictive Control), cierran la presentacioín.

2. REDES DE PETRI AUTONOMAS DISCRETAS Y CONTINUAS. MARCO CONCEPTUAL.

2.1 Red de Petri discreta.

Definicion 1. (Red de Petri discreta). Una red de Petri es una estructura definida como N = (P, T, Pre, Post) donde P y T son conjuntos disjuntos de lugares y transiciones respectivamente, y Pre, Post son las matrices de pre- y postincidencia en lxlT'.

Una RdP se puede representar graíficamente como un grafo bipartido dirigido: los lugares se representan como círculos, y las transiciones como barras o rectíngulos. Pre[p, t] = w > 0 significa que hay un arco de p a t con peso o multiplicidad w, y Post p, t] = w > 0 representa un arco de t a p con peso w. Dado un nodo v G P U T, se define *v (v*), como el conjunto de sus nodos de entrada (salida). Para que la RdP represente un sistema diníamico hay que definir un estado inicial.

Definicion 2. Un sistema dinímico (N, m0) esta compuesto por una red de Petri N y un marcado inicial m0 G ', que no es mas que el estado distribuido inicial.

La evoluciíon del marcado (estado) se basa en una regla de disparo que responde a una líogica de consumo/producciín de recursos; se puede enunciar como: si existen suficientes recursos puede (no tiene por que) hacerse la evolucion.

Una transicioín t estía sensibilizaba en un marcado m si m > Pre[P, t]; y su disparo lleva a un nuevo marcado m' = m + C [P, t]. Esto se denota como

m—m', y se dice que m' es un marcado alcan-zable (desde m). El espacio de alcanzabilidad es el conjunto de marcados alcanzables desde m0, y se denota como CA(N,m).

Dada una RdP (P, T, Pre, Post, m0), con matriz de incidencia C = Post — Pre, si m es alcanzable por el disparo de una secuencia a G T*, es decir, si m0 m, entonces: m = m0 + C • a donde a[t] es el nuímero de disparos de t en a (el contador de disparos). A esta ecuacioín, con variables en los naturales, se le conoce como ecuacion fundamental o ecuacion de estado.

Desgraciadamente, aun interpretandola en los naturales, satisfacer la ecuaciíon de estado es condi-ciíon necesaria pero no suficiente, en general, para la alcanzabilidad; los marcados que son solucioín de la ecuacioín pero no son alcanzables se denominan espurios. Por ejemplo, en el sistema dinímico de la Figura 1, el marcado [0,1, 0,0] verifica la ecuacion de estado con vector de disparos [0,1,1], pero no es alcanzable ya que no existe una secuencia disparable formada for t2 y t3. Debido a la existencia de marcados espurios, resulta que a travíes de la ecuaciíon de estados síolo se podrían semi-decidir las propiedades analizadas. No obstante, existen subclases de redes en las que no hay marcados espurios (o estos no son singularmente problemíticos).

Figura 1. El marcado [0,1, 0, 0] es una solucion espuria de la ecuaciín de estado.

Los anuladores derecho e izquierdo de la matriz de incidencia C son dos objetos estructurales que reciben el nombre de T- y P-flujos, respectivamente. Si son no negativos se denominan semiflujos. Si existe un P-semiflujo estrictamente positivo, es decir y > 0 tal que y • C = 0, se dice que la red es conservativa, y si existe un T-semiflujo positivo, es decir x > 0 tal que C • x = 0, se dice que la red es consistente.

Los flujos son importantes porque inducen relaciones de invariancia enraizadas en la estructura que son uítiles para razonar acerca del comportamiento del sistema. Por ejemplo, si y > 0 verifica y • C = 0, entonces para todo marcado inicial m0, todo marcado alcanzable m verifica: y • m = y • m0 + y • C • a = y • m0. Es decir, los P-semiflujos corresponden a leyes de conservacioín de marcas. Analogamente, si x > 0 verifica C • x = 0, se tiene que m = m0 + C • x = m0. Es

decir, los T-semiflujos corresponden a potenciales secuencias repetitivas. Los semiflujos cuyo soporte no contiene otros semiflujos, y tal que el mínimo comín denominador de sus componentes es 1 se llaman semiflujos mínimos. Por ejemplo, el sistema de la Figura 2 tiene 2 T-semiflujos mínimos [110 0 11], y [0 0 1 1 0 0], pero no se pueden disparar aislados.

Figura 2. El T-semiflujo mínimo [1 1 0 0 1 1] no se puede disparar aisladamente.

Una transiciín t es viva si desde todo marcado alcanzable puede llegar a disparase, es decir, para todo m e CA(N, m0) existe un marcado m' al-canzable desde m en el que t estí sensibilizada. Un sistema es vivo si todas sus transiciones lo son. La vivacidad asegura que todas las acciones se pueden volver a realizar. Una red es estructuralmente viva si existe al menos un marcado inicial (finito) que hace el sistema vivo. Dicho de otro modo, una red estructuralmente no viva no admite ningín marcado que la haga viva, de donde se infiere una patología estructural.

Un sistema es libre de bloqueo si en todo marcado alcanzable hay alguna transicion sensibilizada (algo analogo a que el motor "no se gripa"). Claramente la ausencia de bloqueo es una condicion necesaria para vivacidad.

Un sistema es reversible si desde todo marcado alcanzable es posible volver al marcado inicial (y por tanto a cualquier otro marcado alcanzable).

Un sistema es limitado si todos sus lugares son limitados, es decir, para cualquier marcado alcan-zable el numero de marcas en cada lugar esta acotado. Una red es estructuralmente limitada si para todo marcado inicial el sistema es limitado. Utilizando el Lemma de Farkas (Murty 1983) se puede demostrar que es equivalente que una red sea estructuralmente limitada o que exista y > 0 tal que y • C < 0.

Dos transiciones estan en conflicto si el disparo de una limita o impide el disparo de la otra. Mís formalmente, t,t' e T estín en conflicto si existen k,k' e N tal que m > k • Pre[P, t] y m > k' • Pre[P,t'], pero m > k • Pre[P,t] +

k' • Pre[P, t']. Para que esto ocurra, es necesario que los predecesores de t y t' no sean disjuntos (•t n • t' = 0), y en ese caso decimos que t y t' estan en conflicto estructural.

La relaciín de conflicto estructural no es transitiva. Por ejemplo, en la Figura 3 las transiciones ti y t2, y las transiciones t2 y t3 estan en relacion de conflicto estructural, pero t1 y t3 no estín en relacion de conflicto estructural, dado que no comparten ningun lugar de entrada. Se define la relacion de conflictos acoplados como su clausura transitiva, y es una relaciín de equivalencia. El conjunto de todas estas clases de equivalencia se denota A (Conjunto de Conjuntos de Conflictos Acoplados). Por ejemplo, en la Figura 3 t1 , t2 y t3 estan en relaciín de conflicto acoplado, A = {{t1,t2,t3}}. Dada una red, si Pre[P, t] = Pre[P, t'] = 0, se dice que t y t' estín en relaciín de conflicto igualado. Esta es una relaciín de equivalencia, y establece una particion en el conjunto de las transiciones, I ( Conjunto de Conjuntos de Conflictos Igualados). En la Figura 3 ninguna transicion esta en relaciín de conflicto igualado con otra, I = {{^}, {t2}, {t3}}. En cambio, en la Figura 4, t1 y t2 estín en relaciín de conflicto igualado, I = {{t1?t2}}.

Figura 4. Relacion de conflicto igualado.

Muchas subclases de redes se definen restringiendo o eliminando la mezcla de elecciones y sincronizaciones. Por ejemplo, en las redes Sin Eleccián cada lugar tiene como mucho una transiciín de salida (Vp < 1), y en las redes Sin Sincronizacián cada transiciín tiene como mucho una entrada (Vt |^t| < 1). Las redes de Conflictos Igualados son redes en las que si dos transiciones tienen un lugar de entrada comín, todas sus entradas son exactamente iguales (•t n •t' = 0 ^ Pre[P, t] = Pre[P,t']); si ademas todos los arcos tienen peso 1, reciben el nombre de redes de Eleccián Libre (porque no existen condicionantes externos a la resoluciín local y libre del conflicto). Los grafos marcados son redes en las que cada lugar tiene una ínica transiciín de entrada y una de salida (Vp |•p| = |p^| = 1), y los arcos tienen peso 1. Otra clase importante son las redes mono-T-semiflujo, que son redes conservativas, consistentes con un ínico T-semiflujo mínimo x (es decir,

para cada transiciín ti hay un ínico T-semiflujo tal que x[ti] = 1). En este tipo de redes la relacion entre el nuímero de disparos de las transiciones, cuando el nuímero de disparos tiende a infinito, queda completamente definida por la estructura de la red. La Figura 5 representa la relacion entre algunas de estas clases.

Mono-T-semiflujo reducible

Elección Libre

Mono-T-semiflujo

Grafo marcado Sin Elección

Figura 5. Algunas relaciones entre subclases de redes.

Ligado a las sincronizaciones, aparece el concepto de configuracion: una configuracion asigna a cada transicioín uno de sus lugares de entrada. Por lo tanto, el nuímero de configuraciones posibles esta acotado por níeT |*t|. El espacio de alcan-zabilidad puede dividirse en regiones en funciíon de las configuraciones "activas".

Definicion 3. Sea N una red de Petri. Una configuración Ck de N es una aplicaciín de T en P tal que Ck (t) G *t, es decir, elige para cada transicion uno de sus lugares de entrada. Si Ck es una configuracion, denota la region correspondiente:

P1 \vt e T,

m[Ck (t)] r m[p]

Pre[Ck(t),t] -mmPft\ pre[p, t] JJ

Estas regiones son poliedros y, exceptuando la frontera, son disjuntos.

Por ejemplo, la red de la Figura 2 tiene 4 configuraciones, segun si se asocia a p2 o p6 a t2 y p3 o p5 a t5. Utilizaremos (pi,tj) para senalar que el lugar pi G *tj estí asociado a tj en la configuraciín.

Puede ocurrir que en una sincronizacioín uno de los lugares de entrada en realidad nunca limite el disparo. Es decir, que existan regiones vacías para el sistema con ese marcado inicial. Dado un sistema, si un lugar nunca es el uínico que limita el disparo de sus transiciones de salida, se dice que es un lugar implícito, y puede eliminarse sin modificar el comportamiento del sistema.

Definicion 4. Sea una red (P U {p}, T, Pre, Post) y m0 un marcado inicial. El lugar p es implícito para m0 si el conjunto de secuencias dispara-bles en (P, T, Pre[P, T], Post [P, T], m0 [P]) coincide con las disparables en el sistema original.

Ejemplo 1. Sea el modelo de un sistema flexible de manufactura de la Figura 6. Las piezas de tipo A se procesan primero en la maíquina M1 y a continuacion en la míquina M2, mientras que las piezas de tipo B se procesan primero en M2 y luego en M1. Los productos intermedios se almacenan en B_1A y B_1B, y los productos finales en B_2A y B_2B, respectivamente. La míquina M3 toma una parte A y una parte B y ensambla el producto final, que se almacena temporalmente en B_3. En B_3 hay espacio para almacenar hasta 10 productos. Puede haber hasta 10 piezas de tipo A (10 piezas de tipo B) que se encuentren en B_1A (B_1B), o siendo procesadas por M1 o M2. Las piezas se mueven en pallets, y se dispone de 20 pallets de tipo A y 15 pallets de tipo B. En suma, en este sencillo caso, se tienen tres míaquinas secuenciales (autoímatas finitos), cuatro almacenes intermedios y uno terminal. Las relaciones existentes son de exclusion mutua (actividades de M1 y M2) o de producciíon-consumo.

Con este marcado inicial todas las regiones contienen marcados. Sin embargo, si m0[Max_B] > 15, Max_B nunca restringe el disparo de S_M2_B, y por tanto existen regiones vacías. Como esta es la ínica transiciín de salida de Max_B, esta claro que íeste es un lugar implícito para este marcado inicial.

2.2 Red de Petri continua.

La estructura de una red de Petri continua es la misma que la de una red de Petri discreta. Lo ínico que cambia es la regla de disparo (y por lo tanto el marcado), que se relaja permitiendo disparar las transiciones en cantidades no enteras, pero positivas.

Definicion 5. Un sistema continuo (N, m0) es-tí compuesto por una red de Petri "clísica" N = (P,T, Pre, Post), y un marcado m0 G (R>o)IP', es decir definido en los reales no negativos.

El concepto de sensibilizacion de una transiciín se extiende al caso continuo de forma inmediata: puesto que las transiciones se pueden disparar en cualquier cantidad, no necesariamente entera, para que se pueda disparar basta con que todos los lugares de entrada de la transiciín esten marcados, i.e., t esta sensibilizada en m si yp G *t, m[p] > 0. Al igual que en los sistemas discretos, el grado de sensibilizacioón mide la míxima cantidad en la que una transicion se puede disparar en un paso, y viene dado por mínpe»t{m[p]/Pre[p, t]}. El disparo de t en una cantidad a < mínpe»t{m[p]/Pre[p, t]} lleva a un nuevo marcado m' = m + a • C [P, t].

Figura 6. Modelo red de Petri de un sistema de manufactura.

Las propiedades meramente estructurales de las RdP discretas se transponen de forma inmediata a las continuas, por ejemplo, P- y T-(semi)flujos, consistencia, conservatividad, conexiín del grafo, trampas, conjuntos de conflictos igualados I y acoplados A...

En las propiedades comportamentales la extensiín no es tan simple como cabría esperar en un primer momento. Por ejemplo, el disparo de transiciones en redes continuas se puede hacer en cantidades muy pequenñas, de forma que una red puede estar "casi" bloqueada sin llegar nunca a pararse completamente. Por ejemplo, en el sistema de la Figura 7, cada vez que se disparan t1 y t2 en la maxima cantidad posible, el marcado de p1 se reduce a la mitad. Por lo tanto, se pueden encontrar un marcado tan pequenño como se desee, pero nunca se llega a cero (como en la clasica paradoja de Zenon).

Figura 7. El sistema es estructuralmente no vivo como discreto, pero como continuo nunca se bloquea completamente con secuencias finitas de disparos.

Para mantener la coherencia con el caso discreto, parece razonable el considerar los marcados límite, i.e. a traves de secuencias infinitas, como alcan-zables. En (Recalde et al. 1999) se introdujo el concepto de alcanzabilidad en el límite, estudiado mís en profundidad en (Jílvez et al. 2003).

Definición 6. Sea (N, m0) un sistema RdP continuo. Se define CA(N, m0) como el Conjunto Alcanzable de marcados que se obtiene dispa-

rando una secuencia finita, y lim-CA(N, m0) como su extension a secuencias infinitas. Es decir, lim-CA(N, m0) se forma añadiendo a CA(N, m0) los marcados que son límite de secuencias de marcados pertenecientes a CA(N, m0).

A partir del concepto de alcanzabilidad se extienden de forma inmediata las propiedades de vivacidad y ausencia de bloqueo definidas en el caso discreto.

Definicion 7. Un sistema (N, m0) es lim-vivo si para todo m e lim-CA(N, m0) y para toda transiciín t e T existe un marcado sucesor m' e lim-CA(N, m) tal que m'ft] > 0.

Un sistema (N, m0) es lim-libre-de-bloqueo si para todo marcado m e lim-CA(N, m0) existe una transiciín t e T tal que m^t] > 0.

Un sistema (N, m0) es lim-limitado si existe k e RIPI tal que todo marcado m e lim-CA(N, m0) verifica m < k.

Observese que aunque en la definicion de limi-taciín se ha empleado lim-CA, se podía haber definido igual restringiendolo a secuencias finitas, ya que cualquier cota vílida para los marcados alcanzables con secuencias finitas sera valida para los marcados límite.

El sistema de la Figura 7 permite tambiíen observar que en redes de Petri continuas es posible tener secuencias infinitas donde todos los marcados sean diferentes y esten limitados. Esto es algo que no ocurre con redes de Petri discretas donde no existen secuencias infinitas en las que los marcados esten acotados y no se repitan.

En redes de Petri discretas es posible que un sistema sea limitado, pero no estructuralmente limitado (ver Figura 4.3 de (Silva 2002)). Esto se debe a que pueden existir vectores de disparo que hagan crecer el marcado, pero que no sean nunca disparables con ese marcado inicial concreto. En el caso continuo, si todas las transiciones son dispa-rables desde algín marcado alcanzable desde m0, las dos propiedades son equivalentes, ya que se puede garantizar que hay un marcado alcanzable desde el que se puede disparar ese vector que hace crecer el marcado. Dicho de otro modo, el sistema continuo (N, m0) es limitado si y sílo si la red N es estructuralmente limitada.

Teorema 1. (Recalde et al. 1999) Sea (N, m0) un sistema continuo en el que toda transiciín es disparable al menos una vez. Es equivalente:

■ (N, m0) es limitado.

■ N es estructuralmente limitada.

■ existe y > 0 tal que y • C < 0.

■ Para todo x > 0 tal que C • x > 0, C • x = 0.

Por lo tanto, si un sistema continuo es limitado, tambien lo es como discreto, aunque el contrario no siempre es cierto. Este teorema estructural, en sus dos ultimas afirmaciones da visiones alternativas (basadas en lugares y transiciones, respectivamente) cuya equivalencia reposa en los conocidos teoremas de alternativas (Murty 1983).

Igual que ocurre en el caso discreto, en redes de Petri continuas no se verifican propiedades generales de monotonía. Por ejemplo, aumentar el marcado de un lugar puede hacer que una red viva deje de serlo. El sistema de la Figura 8 es vivo, pero si m0[p2] = 2, disparando t1t1 la red queda bloqueada. Sin embargo, sí que se cumplen propiedades de homotecia o de escalabilidad del marcado. Es decir, las propiedades del sistema continuo no varían si su marcado se multiplica por una constante, algo que no se cumple en general en el caso discreto. Por ejemplo, la red de la Figura 9(b) es viva como discreta con este marcado, pero no lo es si el marcado inicial se multiplica por 2. Esta propiedad se puede interpretar tambien como una condicion que es logico exigir al sistema para que su aproximacion continua tenga sentido.

Otra propiedad de las redes de Petri continuas que no se verifica en el caso discreto es la convexidad de los espacios de alcanzabilidad (tanto usando secuencias finitas como infinitas).

Propiedad 1. Sea el sistema continuo (N, m0). Para todo m1 y m2 e CA(N, m0) (m1? m2 e lim-CA(N, m0)), cualquier marcado m = am1 + (1 — a)m2, con a e [0,1] pertenece a CA(N, m0) (respectivamente, pertenece a lim-CA(N, m0)).

Figura 8. El sistema es vivo con este marcado, pero deja de serlo si se aumenta el marcado de p2 a 2 marcas.

Sin embargo, hay que tener presente que la conti-nuizaciín es una relajaciín y hay propiedades que no tiene sentido estudiar en el modelo continuo. Por ejemplo, la exclusion mutua en el acceso a un recurso esta basada en el carácter discreto. Ademías, en el caso continuo, algunas propiedades pueden confundirse y perder la distinciín entre ellas. Por ejemplo, en condiciones bastante generales lim-vivacidad y lim-reversibilidad (es decir, para todo marcado m e lim-CA(N, m0) se verifica que m0 e lim-CA(N, m)) son equivalentes (Jílvez et al. 2003).

En (Jílvez et al. 2003) se estudia tambien la decidibilidad del problema de alcanzabilidad, demostrándose que, como ocurre en el caso discreto, es decidible (tanto para el caso de secuencias de disparo finitas como infinitas). En (Recalde et al. 2007) se demuestra que propiedades como vivacidad y ausencia de bloqueos son tambien decidibles. En general, el estudio de estas propiedades resulta computacionalmente mucho mís sencillo que en el caso de redes discretas, ya que problemas de programacion entera se transforman en problemas de programacion lineal.

3. RED DE PETRI CONTINUA AUTONOMA:

anAlisis.

Como en el caso discreto (Silva et al. 1998), la ecuaciín de estado tambien puede usarse en el analisis de redes de Petri continuas, simplemente eliminando las restricciones de integralidad. Identicamente, la ecuacion de estado puede tener soluciones espurias. Sin embargo, bajo condiciones muy generales y frecuentes, en la practica si la red es consistente (3x > 0 tal que C • x = 0) y todas las transiciones se pueden disparar, la ecua-ciín de estado ¡no tiene soluciones espurias!, es decir, el conjunto lim-CA(N, m0) coincide con las soluciones de la ecuaciín de estado. Los detalles sobre la relaciín entre ambos conjuntos y otros con diferentes matices se pueden ver en (Recalde et al. 1999, Jílvez et al. 2003).

Teorema 2. (Recalde et al. 1999) Si (N, m0) es consistente, y toda transiciín se puede llegar a disparar,

lim-CA(N, m0) = {m > 0 | m = m0 + C • a,

a > 0}

El espacio de alcanzabilidad es por tanto un poli-topo, y para decidir sobre la alcanzabilidad basta con resolver un problema de programaciín lineal, es decir, se decide con complejidad polinomial en tiempo.

Lamentablemente, la vivacidad de la red continua no es, en general, ni condicion necesaria ni suficiente de vivacidad de la red discreta. Por ejemplo, la red de la izquierda en la Figura 9 es viva como continua, pero no como discreta, y la red de la derecha es viva como discreta, pero no es viva como continua. Sin embargo, en el primer caso el problema es que en la red discreta el marcado no es adecuado, y si se cambia a [2 0] la red es viva como discreta. Parece logico por tanto que la propiedad que hay que buscar es vivacidad estructural, es decir, que la estructura de la red sea "correcta" (Recalde et al. 1999). Sin embargo, en el ejemplo de la derecha la red continua no es viva con ningín marcado inicial (tampoco si solo se consideran secuencias de disparo finitas).

(a) (b)

Figura 9. El sistema de la izquierda es vivo como continuo, pero no como discreto. El de la derecha es vivo como discreto, pero no como continuo con cualquier marcado inicial.

Teorema 3. (Recalde et al. 1999) Sea (N, m0) un sistema lim-vivo y limitado. Entonces, N es es-tructuralmente viva y estructuralmente limitada como red discreta

Los teoremas del rango demostrados para el caso discreto enuncian condiciones necesarias o/y suficientes para que una red sea estructuralmente viva y limitada basadas en la estructura de la red (Silva et al. 1998). Utilizando el resultado del Teorema 3, las condiciones necesarias se extienden al caso continuo.

Teorema 4. (Recalde et al. 1999) Sea (N, m0) un sistema lim-vivo y limitado (vivo y limitado en el

caso discreto). Entonces, N es consistente (3x > 0 tal que C • x = 0), conservativa (3y > 0 tal que y • C = 0) y rango(C) < \1\ -1.

La condición del rango en cierta forma acota la relación admisible entre las elecciones y las sincronizaciones. Si rango(C) > \I\- 1, existen decisiones libres que sin embargo no pueden ser tomadas sin tener en cuenta el resto, en el sentido de que elecciones incorrectas pueden llegar a bloquear el sistema o parte de el. Por ejemplo, en la red del la Figura 10(a), hay un conflicto libre entre ti y t2, pero la sincronizacion posterior hace que si se elige la misma transicion demasiadas veces se llegue a bloquear el sistema. El hecho de que en secuencias infinitas ti y t2 se deban disparar en una cierta proporcion se refleja en que hay un unico anulador derecho de la matriz de incidencia, es decir rango(C) = 2. Como I = {t1,t2}, {t3}, aplicando el teorema la red no puede ser lim-viva con ningun marcado inicial. En cambio, la red de la Figura 10(b) cumple las condiciones necesarias de vivacidad (estructural) ya que rango(C) = 2 y

\I\ = 3.

Figura 10. Redes consistentes y conservativas con (a) \I\ = 2, y rango(C) = 2, (b) \I\ = 3, y rango(C) = 2.

Para las redes mono-T-semiflujo, la condición del Teorema 4 puede mejorarse.

Teorema 5. (JUlvez et al. 2006) Sea N una red mono-T-semiflujo. Si N es estructuralmente lim-viva, entonces toda transicion tiene al menos un lugar de entrada que no tiene otra transicion de salida.

La red de la Figura 11 es mono-T-semiflujo, consistente y conservativa y cumple que rango(C) = 5 = \I\ — 1, pero las transiciones t\,t2 y t3 no tienen un lugar de entrada que no sea entrada de otra transicion, luego no es estructuralmente lim-viva.

Las condiciones suficientes tambien pueden extenderse, y para el caso continuo incluso puede garantizarse lim-vivacidad para un conjunto de

m = m0 + C • a > 0, a > 0

m[p1] = m[p3] = 0 El sistema es lim-libre-de-bloqueo si y solo si £12 y £13 no tienen soluciín. La ausencia de soluciín es un problema lineal de complejidad polinímica, pero teoricamente el nímero de problemas es exponencial.

La condicion de ausencia de bloqueo se puede interpretar en terminos de regiones: se trata de verificar que en ninguna region exista un marcado de bloqueo.

Figura 11. Red mono-T-semiflujo, consistente, conservativa y rango(C) = 5 = \H — 1, pero no estructuralmente lim-viva. marcados, algo que no se puede hacer en el caso discreto.

Teorema 6. (Recalde et al. 1999) Sea N consistente, conservativa y rango(C) = |A| —1. Entonces N es estructuralmente viva como discreta y es-tructuralmente lim-viva como continua. Ademas, cualquier marcado que no deje vacío ningun P-semiflujo hace el sistema lim-vivo.

Esta condicion suficiente se obtiene imponiendo condiciones mís duras en la resoluciín de conflictos, transformando cada conflicto acoplado en un conflicto igualado (manteniendo la matriz de incidencia). Así, si la red que se obtiene es viva, tambien lo sera la red original. La red que se obtiene es de Conflictos Igualados, para la cual el teorema del rango es condiciín necesaria y suficiente (Recalde et al. 1999).

Bajo las condiciones del Teorema 2, una condicion necesaria y suficiente para que un sistema sea lim-libre-de-bloqueo es que no exista solucion de la ecuacion de estado sin ninguna transiciín sensibilizada. Por ejemplo, la red de la Figura 10(b) con marcado inicial m0 = [1,0, 0,1,0] es lim-libre-de-bloqueo si y sílo si el siguiente sistema no tiene soluciín:

m = m0 + C • a > 0

m^ín(m[p1 ], m[p4]) = 0 (t1 no sensibilizada)

m^ín(m[p1 ], m[p5]) = 0 (t2 no sensibilizada)

mín(m[p2], m[p3]) = 0 (t3 no sensibilizada)

Para resolver este problema se pueden definir variables booleanas n(i) =0 ^ m[p¿] = 0. El sistema se bloquea si y solo sí (^(1)+^(4)) •(^,(1) + ^(5)) • (m(2)+ R3)) = 1. Como m[p4] + m[ps] = 1 (P-semiflujo), se tiene que ^(4) + ^(5) = 1, y se puede simplificar la expresion booleana que caracteriza el bloqueo: ^(1) • (^(2) + m(3)) = 1. Sean

m = m0 + C • a > 0, a > 0

m[p1] = m[p2] = 0

4. TEMPORIZACIOí N DE MODELOS 4.1 Marco conceptual

Al igual que ocurre con las redes discretas, es posible anñadir distintas interpretaciones temporales al disparo de las transiciones. Una forma habitual de introducir el tiempo en las redes discretas (modelo markoviano o amnásico) consiste en suponer que todas las transiciones tienen asociado un tiempo con funcion de distribuciín de probabilidad exponencial (Molloy 1982, Ajmone Marsan et al. 1995).

Una primera aproximacioín continua a la interpretacion estocística discreta consiste en asociar a cada transicion una velocidad media. Esta apro-ximaciín de primer orden transforma un modelo estocaástico discreto en un modelo determinista continuo (Silva y Recalde 2002, Recalde y Silva 2001). En particular es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales.

Como el marcado es el estado global distribuido del sistema continuo, si en la ecuacioín de estado hacemos explícita la dependencia del tiempo, se obtiene la ecuaciín m(r) = m(0) + C • a(r), a(r) > 0, que representa la evolucion temporal. Derivando se llega a

m(t) = c • ct(t) d= c • f(t)

donde f (t) es el flujo instantíneo de disparo de las transiciones (i.e., disparos por unidad de tiempo). Si la red tiene P-flujos (y en particular, si es conservativa), las filas de C no son linealmente independientes, es decir, el orden del sistema es menor que el nímero de lugares.

Si la red autínoma es lím-viva (respectivamente lím-limitada), la red temporizada tambien lo sera. Sin embargo, es posible que la red autínoma no sea lím-viva (o lím-limitada), y la red temporizada sí lo sea, ya que los marcados que se alcanzan en la red temporizada son solo una parte de los que se alcanzan en la red autoínoma.

Las dos semanticas habitualmente utilizadas en sistemas discretos, finitos o infinitos servidores, pueden aplicarse tambien en el caso continuo.

Bajo la semantica de finitos servidores (o velocidad constante) el flujo de cada transicion tiene una cota superior (el número de servidores por la velocidad de cada uno). Si todos los lugares de entrada de una transicioún estúan marcados, la transiciúon se dispara con esta velocidad. Si no es así, la velocidad estú ademas limitada por el flujo que llega a los lugares de entrada no marcados. Bajo la semúntica de infinitos servidores, o velocidad variable, el flujo de una transiciún es el producto de una constante (la velocidad de un servidor) por el grado de sensibilizacioún de la transiciún (número de servidores activos). Es decir, f[t] = A[t] • mínpe.t{m[p]/Pre[p, t]}.

Interpretando las transiciones como puntos de encuentro de clientes y servidores, parece que la semaúntica maús adecuada depende del nuúmero relativo de clientes y servidores que haya en el modelo discreto. Suponiendo que cualitativamente hablando puede haber "muchos" o "pocos" de cada uno, la fluidificaciún se puede aplicar a los clientes, a los servidores, o a ambos. El Cuadro 1 representa los cuatro casos. Si hay pocos clientes (Pocos-Pocos y Pocos-Muchos en el Cuadro 1), el sistema no estúa realmente cargado, la fluidificaciúon puede no ser adecuada y las transiciones "deberían" mantenerse como discretas. Si hay muchos clientes y muchos servidores (Muchos-Muchos), el modelo continuo con semúantica de "infinitos" servidores (como metafora de "muchos") parece lo más razonable. Por otra parte, en el caso de muchos clientes y pocos servidores (Muchos-Pocos) la relajaciún es adecuada a nivel de los clientes y la semúantica de "finitos" servidores (como metúfora de "pocos") puede proporcionar una buena aproximacioún. Es importante resaltar que la semaúntica de finitos servidores corresponde a nivel conceptual a un esquema híbrido: la fluidificaciún se aplica solamente a los clientes, mientras que los servidores se mantienen discretos, contaúndose con nuúmeros naturales (y se usan para definir la velocidad maúxima de la transiciún). Sin embargo, la semúntica de infinitos servidores realmente relaja tanto a los clientes como a los servidores. En cualquier caso, ambas clases de modelos de sistemas continuos obtenidos son túecnicamente húbridos.

En el caso de redes discretas, es clúasico el que la semaúntica de finitos servidores se puede simular utilizando semantica de infinitos servidores (Aj-mone Marsan et al. 1995). La idea es que los servidores pueden hacerse explúcitos en el modelo utilizando lugares conectados con arcos de ida y vuelta con las transiciones. Sin embargo, en la red continua el significado de las "marcas de clientes" y de las "marcas de servidores" es muy diferente. Las dos semaúnticas corresponden en la praúctica dos formas diferentes de aproximar la red discreta.

El modelo de la Figura 12 representa un sistema de produccion con dos líneas de trabajo (la de arriba con transiciones impares y la de abajo con transiciones pares). Se ha analizado como red de Petri discreta, utilizando para las transiciones distribuciones de tipo exponencial (modelo mar-koviano) y semínticas tanto de infinitos servidores como de un solo servidor. En ambos casos, al multiplicar el marcado de la red por k, la pro-ductivida/rendimiento (normalizado en el caso de infinitos servidores) se aproxima al que se obtiene cuando la red se considera continua (Cuadro 2). En este caso, con la red continua con semantica de infinitos servidores se obtiene una mejor aproximaciín del sistema original discreto. Puede observarse que el error se reduce al aumentar el marcado, por ejemplo es el 14% para k = 1, el 6 % para k = 3 y el 2 % para k = 10. La semíntica (baísica) de finitos servidores no tiene en cuenta las restricciones que aparecen asociadas al uso de recursos compartidos, que en este caso resultan bastante importantes.

En ambos casos, la evoluciín del sistema se puede describir como un conjunto de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales en conmutacion. Dicha conmutacion no estí asociada a un evento externo, sino que es la evolucion del marcado el que la provoca. Para la semíntica de finitos servidores, la conmutaciín ocurre cuando un lugar queda vacío. Para la semíntica de infinitos servidores, la conmutaciín ocurre cuando en una sincronizacion el lugar de entrada asociado al mínimo cambia. En el caso de redes sin sincronizaciones (es decir, yt G T|*t| = 1) el comportamiento de la red bajo semíntica de infinitos servidores se corresponde con un sistema lineal. Si el sistema tiene sincronizaciones, en cada region la evolucion del sistema estí definida por una ecuaciín lineal, es decir, m = C • A • nk • m, donde A es una matriz diagonal [A[ti] • • • A[t^ 1]] y

Í1 si (pj ,ti) pertenece

Prepj,ti] a la configuracion Ck 0 en otro caso

Ejemplo 2. La Figura 13 modela un recurso compartido (representado por el marcado de p6) entre dos procesos secuenciales. La velocidad de las transiciones es A = [12 11 0,5]. El comportamiento de la red discreta es el mismo si se utiliza semantica de finitos o infinitos servidores, ya que los servidores aparecen de forma explícita en el modelo. El comportamiento como continua sin embargo varía sustancialmente dependiendo de la semíntica que se utilice.

Semántica de finitos servidores (e "infinitos" clientes). En m0, los lugares de entrada de las transiciones t1 y t4 estan marcados, y por lo tanto, f [t1] = f [t4] = 1. Las otras transiciones

Tabla 1. Fluidificación de las transiciones (Silva y Recalde 2004)

Clientes Servidores Semántica de la transición

Muchos(C) Muchos(C) Pocos(D) Pocos(ü) Muchos(C) Pocos(D) Pocos(D) Muchos(C) semántica de infinitos servidores semántica de finitos servidores transiciones discretas transiciones discretas

Figura 12. Esquema sencillo de un sistema de producción con dos máquinas (M1 y M2) y un almacén intermedio (A).

Tabla 2. Rendimiento en estado estacionario del sistema de la Figura 12, suponiendo que cada operacion necesita 1 u.t. (Para k=10 y k=50, se han utilizado

simulaciones.)

Marcados Infinitos servidores Un servidor

k alcanzables Rendimiento de cada ti Rendimiento/k Rendimiento de cada ti

1 250 0,172 0,172 0,172

2 6.300 0,366 0,183 0,303

3 67.375 0,564 0,188 0,399

5 2.159.136 0,966 0,193 0,528

10 ? 1,96 0,196 0,693

50 ? 9,97 0,199 0,91

Continuo 0,2 1

tienen lugares de entrada desmarcados, y por tanto su flujo depende del flujo de entrada a estos lugares vacíos. Para t2, el flujo de entrada a p3 (el único que está vacío) es 1, por lo tanto f[t2] = mín{A[t2], 1} = 1. Por la misma razún, el flujo de la transition t3 será 1. Para t5, el flujo de entrada a p5 es 1, así que su flujo está limitado por su velocidad máxima de disparo, que es 0.5. Por lo tanto, las ecuaciones iniciales del sistema seran:

m[pi](r ) = f [Í3](t) - f[ti](T) = 0

m[P2](T ) = f[Í5](T) - fN(t) = -0,5

m[P3](T ) = f [ti](r) - f [Í2](T) = 0

m[P4](T ) = f [Í2](T) - f[Í3](T) = 0

m[P5](T ) = f [Í4](T) - f [t5](T) = 0,5

m[P6](T ) = f [t3] + f N - f M - - f M

Figura 13. Red de Petri utilizada en el Ejemplo 2.

flujo de t2 sea igual al de t4. Ademas, el flujo de salida de los lugares vacíos esta limitado por los flujos de entrada. Esto lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

Estas ecuaciones se verifican hasta t = 2, cuando m[p6] y m[p2] se quedan vacíos. El marcado en este momento es [1 0 0 0 1 0]. Ahora ti y t5 tienen todos sus lugares de entrada marcados, así que f [t1] = 1 y f [t5] = 0,5. Las transiciones t2 y t4 tienen un lugar de entrada vacío, pero ademís este lugar es el mismo, y por lo tanto tiene que especificarse címo va a repartirse el flujo que llegue a p6 entre las dos transiciones. Por ejemplo, supongamos que se decide que el

max f [t2 s.t. f [t1 f [t5 f [t2 f [t4 f [t2 f [t3 f [t2 f [t3 f [t2 f [t4

= 1 (entradas no vacías) = 0,5 (entradas no vacías) = f [t4] (resolución del conflicto)

< f [t5] (p2 esta vacío)

< f[ti] (p3 estó vacío)

< f [t2] (p4 estó vacío)

+ f [t4] < f [t3] + f [t5] (p6 estí vacío)

< 1 (velocidad maxima)

< 2 (velocidad maxima)

< 1 (velocidad míaxima)

Figura 14. Evolucion del sistema representado en la Figura 13 con semíantica de finitos servidores

La ecuaciín asociada a p2 vacío puede eliminarse, ya que se deduce de p4 y p6 vacíos. En terminos de redes de Petri, se puede observar que p2 es implícito (es decir, nunca es el ínico lugar que limita el disparo de t4 (Dicesare et al. 1993), píg. 33), y por lo tanto no es necesario que aparezca. La soluciín de (1) es f[t2] = f[t3] = f [t4] = 0,5. Por lo tanto las ecuaciones que definen la evoluciín del sistema a partir de t = 2 son:

mp1](T) = —0,5

mp2](T) = rh[p4 ](t ) = rh[p5](T) = m[pe](T) = 0

mp3](T) = 0,5

En t = 4, p4 se queda vacío. El marcado en este momento es [0, 0,1,0,1,0]. La transicion t5 tiene todos los lugares de entrada marcados, y por lo tanto f [t5] = 1. Utilizando un problema de programacion lineal como antes se llega a f [1] = f [t2] = f [t3] = f [t4] = 0,5, y que corresponde a un estado estacionario.

Semántica de infinitos servidores (e "infinitos" clientes). Bajo esta semantica, los flujos de las transiciones estan definidos por:

f [t1](T ) = m[p1](T) (2a)

f [t2](T ) = 2 • mín {m[p3](t), m[p6](t)} (2b)

f N(t ) = m[p4](T) (2c)

f M(t ) = mín {m[p2](T), m[p6](T)} (2d)

f [t5](T ) = 0,5 • m[p5](T) (2e)

Habida cuenta de que p2 es implícito f[t4] = mín{m[p2], m[p6]} = m[p6]. Para t = 0 se cumple que m[p3] < m[p6], y por lo tanto la configuracioín que estaí activa inicialmente es {(p1,t1), (p3,t2), (p4,t3), (pe,t4), (p5,t5)}, que tiene asociado el siguiente sistema lineal:

mp1](T) = f [t3] — f [t1] = m[p4](T) — m[p1](T) m[p2](T) = f [t5] — f [t4] = 0,5m[p5](T) — m[pe](T) rh[p3](T) = f [t1] — f [t2] = m[p1](T) — 2m[p3](T) rh[p4](T) = f [t2] — f [t3] = 2m[p3](T) — m[p4](T) rh[p5](T) = f [t4] — f [t5] = m[pe](T) — 0,5m[p5](T) ril[pe](T) = f [t3] + f [t5] — f [t2] — f [t4] =

= mp4](T )+0,5m[p5](T) — 2m[p3](T) — m[pe](T)

En la Figura 15 se puede ver la evoluciín del marcado de este sistema. En t ~ 1,14 m[p3](T) = m[p6](T) y se cambia de configu-raciín a {(p1,t1), (p6,t2), (p4,t3), (pe,t4), (p5,t5)} que tiene asociado el siguiente sistema lineal:

rn[p1](T) = m[p4](T) — mp1](T) rn[p2](T) = 0,5m[p5](T) — mp6](T) iíI[p3](t ) = m[p1](T) — 2m[p6](T) m[p4](T) = 2m[p6](T) — m[p4](T) rn[p5](T) = m[p6](T) — 0,5m[p5](T) m[p6](T) = m[p4](T) +0,5m[p5](T) — 3m[p6](T)

Finalmente el sistema alcanza un estado estacionario, con m = [0,40,60,20,40,40,2].

-m[p2]

----m[p3]

---m[p6]

____\ i

Figura 15. Evoluciín del sistema representado en la Figura 13 con semíntica de infinitos servidores

Los sistemas (no forzados) que se obtienen con ambas semanticas son positivos. Es decir, no es necesario imponer la restriccioín de que el flujo y el marcado sean no negativos, sino que viene garantizado de forma natural por la propia semantica (Silva y Recalde 2003).

Otras semánticas pueden aparecer de forma natural en dominios de aplicacioín concretos. Por ejemplo, en dinamica de poblaciones el producto de los marcados de los lugares de entrada de una transicion puede ser util para expresar un flujo basado en sumas de tuplas de elementos que se encuentran en una sincronizacion (Silva y Recalde

2002). Esta semántica puede verse, por ejemplo, como el resultado de decolorar redes coloreadas con semantica de infinitos servidores. Intuitivamente, en la red coloreada se distinguen los individuos, y las transiciones representan el "encuentro" de dos individuos; al decolorar se pasa a tener una población y las transiciones agrupan todos esos posibles encuentros. Por ejemplo, la red discreta coloreada de la Figura 16 representa uno de los modelos clasicos y mas sencillos de presa/depredador de Volterra-Lotka. Los marcados m[z] y m[c] representan las poblaciones de presas y depredadores, donde cada individuo tiene un color/personalidad diferente. Si consideramos la transicion t3, esta sensibilizada de m[c] • m[z] formas/colores diferentes. En el modelo decolorado (discreto) (ver Figura 17(a)) la transicion t3 dispara con tasa A[t3] • m[c] • m[z]. Observese que si este modelo se considera como continuo, el sistema ya no es un conjunto de sistemas lineales en conmutacion, sino un unico sistema no lineal. Al permitir el producto de variables en la definition del flujo de las transiciones, se pueden llegar a modelar comportamientos caóticos.

Si las tasas de nacimiento y muerte se definen como ar = 0, af = a, вг = 2, вf = 0, las ecuaciones que corresponden a la red continua decolorada son las clasicas de Volterra-Lotka:

m[c] = A[ti]m[c] — A[t3]m[c]m[z]

m[z] = —A[t2]m[zf] + (a — 1)A[t3]m[c]m[z]

Figura 16. Modelo coloreado de un sistema presa/depredador.

El sistema de la Figura 17(a), visto como discreto es no limitado y no vivo, mientras que visto como continuo es vivo y limitado, debido a la interpretacion determinista. Podemos transformar el sistema anñadiendo cotas a las poblaciones, representados por los lugares ~ c y ~z de la Figura 17(b). Si los marcados iniciales de estos lugares son lo bastante grandes, no suponen ninguna restriccion al modelo continuo. Sin embargo, el proceso es-tocastico asociado al modelo discreto acabara cayendo en una de las dos situaciones de bloqueo, m[z] = 0, con m[c] = 0 o m[c] = k + 20.

Como ejercicio, la Figura 18 muestra las trayectorias para el caso en que el numero maximo de presas es 20 + k. Como para este marcado inicial el

lugar ~ f nunca restringe el disparo de t3, la ecuacion de z en el estacionario es: A[t3] • m[c] • m[z] — A[t2] • m[z] = 0, y por tanto: m[c] = A[t2]/A[t3] = 80/3. Este valor se alcanza realmente solo en los casos en que к es pequeño. En los otros casos el comportamiento es de tipo oscilatorio, aunque estable.

La clase mono-T-semiflujo-reducible. Es la

clase de RdP consistente y conservativa mas general para la que la relacion de flujo entre las transiciones en estado estacionario (vector de ratios de visita en terminología de redes de colas) depende únicamente de la estructura de la red y el vector de velocidades de disparo, pero no de m0. Contiene por ejemplo a las redes de Conflictos Igualados vivas y limitadas (ver Figura 5).

Definición 8. (Júlvez et al. 2005) (N, A) es una red rnono-T-serniflujo-'reducible si es consistente, conservativa y el siguiente sistema tiene una uúnica soluciún: ' C • x = 0

yti,tj en rel. de conflicto igualado continuo, < V G 4 x[ti] = pre[p,ti] • A[t¿] P " x[tj] Pre[p, tj] • A[tj] , x[ti] = 1

donde, ti y tj estan en relacion de conflicto igualado continuo si existe q > 0 tal que Pre[P, ti] = q • Pre[P, tj ] = 0.

Volviendo ahora a las semanticas basicas de finitos e infinitos servidores, aunque en general no se puede asegurar que una semantica sea mejor que la otra, en (Mahulea et al. 2006b) se demuestra que para un importante conjunto de redes pertenecientes a la clase mono-T-semiflujo-reducible, la semantica de infinitos servidores siempre aproxima mejor el flujo del sistema discreto en estado estacionario. Ademús, en (Alla y David 1998) como en diversos otros trabajos praúcticos se ha observado que en muchos casos la semaúntica de infinitos servidores resulta una notoriamente mejor aproximacion del sistema discreto.

Por ello, el resto del trabajo se centrarú en la semaúntica de infinitos servidores.

Homotecias y no monotonías. Las propiedades de homotecia respecto al marcado (escala de amplitud) que aparecían en el modelo autónomo se extienden al temporizado, verificaúndose ademúas para úeste la existencia de propiedades de homote-cia con respecto a la velocidad de las transiciones (escala de tiempos):

Propiedad 2. Sea (N, m0, A).

1. El sistema (N, m0', A) con m0' = к • m0, verifica que para cualquier instante т > 0 m'(r) = к • m(T) y f'(т) = к • f(т) (es decir,

Figura 17. (a) Red decolorada asociada a la red de la Figura 16 (con ac = 0,az = a, f3c = 2, f3z = 0 y |n| = |A| = 20), (b) modelo con poblaciones acotadas.

Figura 18. Trayectorias para A[ti] = A[t2] = 20, A[t3] = 0,75, a = 2, mo[c] = m0[z] = 20, m0[~z] = 40 y mo[~c] = k.

el comportamiento se mantiene por escalado del marcado inicial).

2. El sistema (N, m0, A') con A' = k A, verifica que para cualquier instante t > 0 m'(T/k) = m(T) f'(T/k) = k • f(t) (es decir, el flujo y la escala de tiempos cambia al escalar la velocidad de las transiciones).

Podría parecer que, dado que la continuizaciín relaja las restricciones del sistema, su rendimiento continuo debería ser al menos el del sistema discreto. ¡Esto no es así! El sistema continuo no es siempre una cota superior del discreto. Por ejemplo, en el sistema de la Figura 19, con A = [3 11 10] y semantica de infinitos servidores, el rendimiento en régimen permanente es 0.801 como discreto mientras que es sílo 0.535 como continuo,

lo que esta relacionado con no monotonías, comportamientos paradójicos (contraintuitivos) que se pueden describir con esta clase de modelos.

Como ocurre en las redes discretas, en las prestaciones del sistema continuo temporizado no existe en general ningín tipo de monotonía, ni con respecto al marcado inicial, ni con respecto a la estructura de la red, ni con respecto a las velocidades de las transiciones.

Por ejemplo, si en el sistema de la Figura 19 el marcado inicial de p5 se aumenta a 5, el sistema se bloquea, es decir, ¡las prestaciones del régimen permanente se hacen 0! Mientras que si el marcado se reduce a 3 esas prestaciones se mejoran al pasar de 0.535 a 1.071. Observar que esta disminucion de recursos es equivalente a añadir un lugar "en

Figura 19. Fijando A = [3 1 1 10], el rendimiento en régimen permanente del sistema continuo, no es cota superior del rendimiento que tiene como discreto. Además, la dinámica no es monótona con respecto a los recursos (marcado) empleado. Observese que el comportamiento a altas frecuencias es sensiblemente identico en los tres casos.

paralelo" a p5 (es decir, con un arco de entrada de t2 y un arco de salida a ti), con marcado 3. Por lo tanto, con respecto a la estructura de la red, ¡añadir restricciones puede incrementar las prestaciones!

Finalmente, aumentar la velocidad de una transición (por ejemplo, porque una maquina se reemplaza por otra más rápida) puede tambien producir una disminuciáon de prestaciones. Por ejemplo, la Figura 20 muestra como cambia el rendimiento del sistema en ráegimen permanente, si la velocidad de t1 varía entre 0 y 5, suponiendo que A[t2] = 1. Se observa que incluso aparece una discontinuidad en A[t1] = 2.

4.2 Análisis (semántica de infinitos servidores)

En (Haddad et al. 2006), se ha demostrado que un modelo "análogo" al de redes de Petri continuas con semantica de infinitos servidores es capaz de simular una maquina de Turing. Posteriormente, en (Recalde et al. 2007), se ha probado que son realmente dos modelos equivalentes, de donde la potencia descriptiva de esta clase de modelos es alta, aunque el precio pagado es que propiedades como la alcanzabilidad dejan de ser decidi-bles en general. Obviamente, en algunas subclases se encuentra no soálo decidibilidad, sino incluso polinomialidad computacional para determinadas propiedades.

Los valores propios de los sistemas lineales asociados a las configuraciones no dan informacion sobre estabilidad / tiempo de respuesta del sistema completo. En relaciáon al estudio del estado estacionario, la primera observaciáon es que no se puede garantizar su existencia. Por ejemplo, la red de la Figura 21 oscila indefinidamente (Jimenez et al. 2004). Observando las ecuaciones que se aplican inicialmente, el subsistema asociado a los

lugares p1 y p2 es un segundo orden marginal-mente estable. Ademaás, la soluciáon siempre verifica que m[p1] > 1 y m[p2] > m[p1]/20, es decir no hay conmutacion en las transiciones t2 y t4. Sí que hay conmutacion en t5. Observese en la simulacián que algunas veces m[p3] < m[p4] y otras m[p3] > m[p4]. En realidad, como la alcanzabilidad, el problema de si el sistema se aproxima a un estado estacionario es indecidible en general (Recalde et al. 2007).

Sin embargo, este estado estacionario, si existe, tiene que cumplir ciertas condiciones: el flujo de transiciones asociado tiene que ser un T-semiflujo (ya que m = C • f = 0), y tiene que verificar la ecuaciáon de estado (necesario para que sea alcanzable). Es decir,

m = m0 + C • 7 C • f = 0

f [tj] = A[tj] • mán i , ytj e T

í3i j Pie't3\ Pre[p¿, tj ]J' j

f, 7 > 0

Si la red es consistente y conservativa la ecuaciáon

de estado se puede sustituir por By

m0, m > 0, con By una base de P-(semi)flujos. En otras palabras, las soluciones de estas ecuaciones representan todas las formas posibles de distribuir las marcas de los P-(semi)flujos que hacen que el sistema se mantenga en ese estado. Sin embargo, puede ocurrir que varios marcados verifiquen las ecuaciones. Son los marcados posibles de equilibrio, y las configuraciones asociadas son las configuraciones posibles de equilibrio. Hay casos en los que solo existe un marcado de equilibrio posible (redes Sin Sincronizacion, Figura 22), pero en otros pueden existir infinitos. Por otro lado, si hay varios, puede ser que todos estáen en una ánica configuracion (Figura 23), o en varias (Figura 24) (Mahulea et al. 2007). Como se ha visto previamente, tambiáen puede ser que no existan

Figura 20. Aumentar la velocidad de t1 no aumenta necesariamente el rendimiento del sistema completo. Con trazo discontinuo las prestaciones del sistema discreto para m0, 5m0 y 10m0.

10 12 14 16

Figura 21. Una red continua y su evoluciín con velocidades A = [1 10 10 20 1].

estados de equilibrio, por ejemplo en el sistema de la Figura 21.

r~©Pi P©—i

Figura 22. Con A = [111] este sistema tiene un ínico marcado de equilibrio posible, m = [0,66 0,66 0,66].

Teorema 7. (Mahulea et al. 2007) Sea un sistema continuo (N, A, m0), consistente y en el que todas las transiciones son disparables. Si

A n Bx

= rango

+ \T\ - rango(C),

con Bx y By bases de T-flujos y P-flujos, respectivamente, entonces todos los marcados posibles de equilibrio en la misma configuracion tienen idíentico flujo.

Para las redes de Conflictos Igualados lim-vivas y limitadas, dada una carga para los P-flujos (By • m = By • m0, con By una base de P-flujos), aunque puedan existir infinitos marcados de ríegimen permanente, se puede demostrar que todos los puntos de equilibrio tienen el mismo flujo de transiciones. Este resultado se puede deducir trivialmente a partir de resultados en (Mahulea et al. 2007) y del teorema del rango para redes de Conflictos Igualados (Recalde et al. 1999).

Teorema 8. Sea N una red de Conflictos Igualados consistente, conservativa y rango(C) = \I\ — 1. Sea Bym0 una distribucioín de cargas de los flujos que no deja vacío ninguno, By una base de P-flujos.

Para todo marcado inicial m0' que verifique Bym0' = Bym0, existe al menos un marcado

Figura 23. Con A =[111111] este sistema tiene muchos puntos de equilibrio posibles, todos en la misma configuracion.

Figura 24. Con A = [1 1 1 1 1 1] este sistema tiene muchos puntos de equilibrio posibles, en varias configuraciones. Existe conexidad pero no convexidad en los puntos (regiones) posibles de equilibrio.

posible de equilibrio. Si hay varios, todos tienen el mismo flujo, que sólo depende de la carga de los P-flujos (Bymo), y no de la distribución inicial concreta.

Corolario 1. (Mahulea et al. 2007) Sea N una red Sin Sincronizaciíon conservativa y consistente. Para cualquier marcado inicial, y cualquier vector A, existe un uínico marcado de equilibrio.

Las redes de las Figuras 23 y 24 pertenecen a la clase de Conflictos Igualados (y a la clase de redes Sin Elecciíon). Por lo tanto todos los puntos de equilibrio tienen el mismo flujo. El siguiente teorema proporciona una condiciíon suficiente (para redes de Conflictos Igualados) para que en una configuraciíon haya como mucho un punto de equilibrio.

Teorema 9. (Mahulea et al. 2007) Sea un sistema de Conflictos Igualados (N, A, mo), lim-vivo y limitado como continuo, y sea n la matriz aso-

ciada a la configuración k-esima. Si rank

P| existe a lo sumo un marcado de equilibrio en esta configuracion Ck.

Las redes Sin Sincronizacioín tienen una uínica configuracioín, y si son consistentes y conservativas la condicioín anterior se cumple siempre.

El sistema de ecuaciones (3) puede utilizarse para obtener cotas superiores del flujo de una transicioín en estado estacionario.

max : f [ti]

s.a. m = mo + C • a (4)

C • f = 0 (5)

f[tj] = X[tj] • mín ( 1 ,

L jJ L jJ Pie'tjX Pre[pi,tj ]/' (6)

Vtj e T

f, a > 0

Este problema de programacioín es difícil de resolver debido a la funciín "min" que aparece en la ecuaciíon 6, que lo hace no lineal. Esta ecuaciíon puede relajarse (linealizarse). Para ello es conveniente distinguir entre las transiciones que tienen un uínico lugar de entrada (para las cuales el mínimo puede obviarse) y las transiciones con varios lugares de entrada, para las cuales el mínimo se

puede sustituir por un conjunto de condiciones más debiles:

si„ = •tj, fM = Afel-p^

si \'tj\ > 1, Vpi e *tj

f[tjl < A[tjl -

Pre[pi,tj ]

Sin embargo, esta cota puede no ser alcanza-ble, debido a que el marcado que se obtiene puede no corresponder con un flujo permanente, en el sentido de que ninguno de los lugares de una sincronizacioán estáe limitáando-lo. Por ejemplo, maximizando f[Out] la solu-cioán para el sistema continuo de la Figura 6 es: m[M1_Idle] = m[B_2A] = m[Max_A] = m[B_2B] = m[Max_B] = m[B_3] = m[M3_Idle] = 0,111, m[MLA] = 0,333, m[Pallets_A] = 9, m[B_1A] = 9,111, m[M2_A] = 0,444, m[M2_B] = 0,333, m[Pallets_B] = 4, m[B_1B] = 9, m[M1_B] = 0,555, m[M3_Work] = 0,888, m[B_3_Empty] = 9,888, m[M2_Idle] = 0,222, y f[Out] = 0,111. Pero el flujo de las transiciones S_M2_A and E_M3 no se corresponde con el marcado de sus lugares de entrada (les "sobran" marcas).

Para obtener una cota alcanzable (para alguna distribucioán de las marcas), se puede realizar una buásqueda selectiva por regiones para resolver (4)-(7), utilizando por ejemplo una táecnica de tipo ra-mificaciáon y acotacioán. La idea es resolver primero el problema de programaciáon lineal definido por el sistema de inecuaciones (8). Si el marcado que se obtiene no se corresponde con el flujo (es decir, hay al menos una transiciáon tal que todos sus lugares de entrada tienen "demasiadas" marcas para el flujo calculado) se elige una de estas sincronizaciones y se resuelven los problemas de progra-maciáon lineal que aparecen cuando cada uno de los lugares de entrada se usa para definir el mínimo. Estos subproblemas son los "hijos" del nodo raíz de la buásqueda. El algoritmo se aplica recursiva-mente generando un áarbol de subproblemas. Los marcados áoptimos que sean soluciáon factible del problema (4)-(7) se pueden utilizar para podar el resto del áarbol: si la soluciáon del problema de programaciáon lineal de un nodo tiene flujo menor, no es posible encontrar soluciones oáptimas a partir de ese nodo. La buásqueda continuáa hasta que todos los nodos han sido resueltos o descartados.

Por ejemplo, para el sistema anterior se crean dos problemas anñadiendo en cada uno una ecuaciáon para S_M2_A (ver Figura 25). Si se hace que el flujo este definido por M2Jdle, el sistema lineal resulta no factible, y si se anñade una restricciáon para B_1A el flujo que se obtiene es el mismo, pero con m[Pallets_A] = 18, m[B_1A] = 0,111, y m[Max_A] = 9,111. Ahora el ánico problema es E_M3. Si se añade una ecuacion para

B_3_Empty el sistema es no factible, y añadiendo una ecuacion para M3_Work solo se modifican m[Pallets_A] = 18,444, m[Pallets_B] = 4,444, m[M3Jdle] = 0,555, y m[M3_Work] = 0,444. Este marcado sí se corresponde con un flujo permanente, y no es posible mejorarlo, luego no es necesario igualar el resto de sincronizaciones.

Nodo 1

Desigualdadas={E_M3, S_M2_A} Forzadas: 0 f=0.111

Nodo 2

Desigua!dacies={E_M3} Forzadas: ¡S„M2_A=M2_ldlo} No factible /

Dasigualdades={E_M3} Forzadas: {S_M2_A=B_1A) M.111

Des¡gualdades=0 Forzadas: {S_M2_A=B_1A,

E_M3=B_3_EMPTY1 No factible

Des¡gualdades=0

Forzadas: {S_M2_A=B_1A,

E_M3=M3_WORK)

Figura 25. Ramificacián y acotacion para el ejemplo de la Figura 6.

Por propiedades de escala (Propiedad 2) si el vector A se multiplica por una constante k > 0 entonces para cualquier marcado alcanzable el flujo de las transiciones tambiáen se multiplica por k. De la misma forma, si el marcado inicial de la red se multiplica por k, el sistema tambiáen seráa k veces más rápido. Sin embargo, ¿que ocurre si solo aumentan algunas componentes de A o de m0? Se ha visto previamente que en general, como ocurre para las redes de Petri discretas, aumentar la velocidad de una transiciáon, o el marcado inicial de un lugar, puede ralentizar el sistema. Sin embargo, este comportamiento no suele ser deseable. Por ejemplo, al reemplazar una maáquina por otra maás ráapida, o al anñadir máas máaquinas, el objetivo normalmente buscado es aumentar el rendimiento, no disminuirlo. Sin embargo, existen subclases de redes para las que se puede demostrar que cumplen propiedades de monotonía bajo condiciones bastante generales. Por ejemplo, las redes mono-T-semiflujo-reducibles.

Teorema 10. (Mahulea et al. 2006b) Sean los sistemas mono-T-semiflujo-reducibles (N, A1, m0) y (N, A2, m0), y A1 < A2 tales que imponen las mismas proporciones en los conflictos igualados (es decir, para cada pareja t¿, tj en relacion de conflicto igualado, A1[ti]/A1 [tj] = A2[tj]/A2[tj]). Si estos dos sistemas alcanzan un estado estacionario, y las correspondientes configuraciones contienen el soporte de un P-semiflujo, entonces los flujos en estado estacionario verifican f1 < f2.

Este resultado permite obtener una interesante condicion suficiente de monotonía de prestaciones con respecto a A eP, P C Rl^.

Teorema 11. (Mahulea et al. 2006b) Sea un sistema continuo mono-T-semiflujo-reducible definido por (N, A, m0). Sea P C R»J} tal que para cada pareja t¿, tj en relaciín de conflicto igualado, A[tj]/A[tj] es constante yA e P. Si todas las posibles configuraciones de equilibrio contienen un P-semiflujo el sistema es monítono con respecto a A en P.

Teorema 12. (Mahulea et al. 2006b) Sea (N, A) una red temporizada continua mono-T-semiflujo-reducible, y sea m1 < m2 . Si con ambos marcados iniciales se alcanza un estado estacionario, y las correspondientes configuraciones contienen el soporte de un P-semiflujo, entonces los flujos en estado estacionario verifican f1 < f2 .

Ejemplo 3. Sea la red mono-T-semiflujo de la Figura 26 con A = [1 1 1]. Tiene dos P-semiflujos mínimos, [1 1 1 0] y [1 0 4 1], y 4 configuraciones posibles: C1 = {p1,p2,p3}, C2 = {p1,p4,p3}, C3 = {p4,p2,p3} and C4 = {p4,p3}.

Sea M1 = {[0 1 1 z] | z > 0}. Dado un marcado inicial perteneciente a M1, veamos que C4 no puede ser configuraciín de equilibrio. Si lo fuera, p4 limitaría el flujo de t1 y t2, y teniendo en cuenta que el unico T-semiflujo mínimo es [1 1 1], f [t1] = f[t2] ^ m[p4]/2 = m[p4]. Luego, m[p4] = 0 y por el T-semiflujo, m[p3] = 0. Pero entonces no es posible verificar las ecuaciones asociadas a los P-semiflujos. Razonando de forma aníloga se demuestra que C3, tampoco puede ser configuraciín de equilibrio. Aplicando el Teorema 12, el flujo en estado estacionario es moníotono con respecto a z.

Sea M2 = {[15 z 10] | z > 0}. Ahora C3 y C4 pueden ser configuraciones de equilibrio y la monotonía se pierde, como puede comprobarse en la Figura 26.

Este resultado tambiíen se puede usar para obtener una condiciín suficiente de monotonía con respecto al marcado inicial en una regiín.

Teorema 13. Sea una red (N, A) mono-T-semi-flujo-reducible, y sea R C R>0. Si para todo m0 e R, todas las posibles configuraciones de equilibrio contienen un P-semiflujo, entonces el sistema es monotono con respecto a m0 en R.

Obviamente, si todas las posibles configuraciones

contienen un P-semiflujo, se tiene monotonía para

cualquier temporizacion del sistema en todo R>J. Esta condicion se puede verificar utilizando variables booleanas para seleccionar las configuraciones, analogamente a como se hizo anteriormente para ausencia de bloqueos.

5. OBSERVACIÓN Y CONTROL DE MODELOS TEMPORIZADOS

Para controlar un sistema dinaímico, a menudo es necesario conocer su estado. Para obtener esta informacion, se pueden utilizar sensores distribuidos a lo largo del sistema. Sin embargo, puede ocurrir que algunas variables del sistema no se puedan medir directamente, o que la colocacion de algunos de los sensores tenga un coste excesivo. Sin embargo, bajo ciertas condiciones algunas de estas variables no medidas se pueden estimar. Esta estimacion constituye la observaciín.

5.1 Observacion: apuntes

Cada lugar puede ser medido o no medido. Se dice que un lugar pi es medido si existe algín tipo de sensor que permite conocer su nivel. Denotaremos por S la matriz de los lugares medidos, es decir, para cada pi medido existe una fila j en S tal que S[j, i] = 0 y S[j, k] = 0 para todo k = i.

Definición 9. Sea (N, A) una red de Petri temporizada, y D el conjunto de lugares medidos.

■ Un lugar p e P es observable con D si es posible calcular su marcado inicial m0[p] = m(To)[p] midiendo la evoluciín de D. Si todo lugar es observable se dice que el sistema (N, A) es observable con D.

■ Un lugar p e P es estructuralmente observable con D si es observable con D para cualquier A > 0. Si todo lugar es estructu-ralmente observable se dice que la red N es estructuralmente observable con D.

La observabilidad estructural puede interpretarse como una propiedad de observabilidad "robusta" ya que una red estructuralmente observable sigue siendo observable a pesar de los cambios que pueda sufrir el vector A (supuesto conocido). Por ejemplo, supíngase que el ínico lugar medido del sistema de la Figura 27 es p3. La variaciín del marcado de un lugar viene dado por la diferencia entre los flujos de entrada y de salida. Para p3, se tiene que m[p3] = f[t2] — f[t3] donde: f[t2] = A[t2] • m[p2] y f[t3] = A[t3] • m[p3]. Por lo tanto, mp2] = (mp3] + A[t3] • mp3])/A[t2]. Es decir, conocido m[p3] se puede calcular la evolucion de m[p2]. Ademas, se verifica que m[p2] = f[t1] — f[t2] y f[t1] = A[t2] • m[p1 ], luego m[p1] tambien se puede calcular. Este procedimiento se puede realizar para cualquier valor de A, y por tanto la red es estructuralmente observable.

Proposition 1. (Jílvez et al. 2004) Sea N una red continua Sin Sincronizaciín y D el conjunto de los lugares medidos. Sea p tal que existe un camino

m.[p2]

Figura 26. Flujo en estado estacionario del sistema representado si m0 = [15, z, 1,0] y A = [1,1,1].

de p a D tal que cada lugar tiene una ánica transi-ciáon de entrada. Entonces, p es estructuralmente observable.

Si hay lugares con varias transiciones de entrada, es posible que el sistema no sea observable para todos los valores de A. Por ejemplo, el sistema de la Figura 22 con A[t1] = A[t2] y p3 como ánico lugar medido, no es observable. Como p3 tiene dos transiciones de entrada, ni p1 ni p2 verifican la condicioán de la Proposiciáon 1. De hecho, si se calcula la matriz de observabilidad del sistema (¡como no tiene sincronizaciones es un sistema lineal!) se deduce que p1 y p2 no pueden estimarse. Intuitivamente, si los flujos de las transiciones t1 y t2 tienen "igual velocidad", no se puede decidir cuáanto procede de cada lugar. Por lo tanto, la red no es estructuralmente observable, aunque sí es observable si A[t1] = A[t2].

■o—

Figura 27. El marcado del sistema se puede deducir observando p3.

Aplicando la Propiedad 1 de forma iterativa en redes Sin Sincronizacioán, se puede construir un algoritmo de punto fijo: a partir de los lugares medidos u observados en un paso, se anñaden los lugares que se pueden deducir aplicaándola, construyendo así un conjunto de lugares estructuralmente observables (Julvez et al. 2004).

Esta propiedad no se puede aplicar si la red no es Sin Sincronizacioán. Si una transiciáon tiene máas de un lugar de entrada, en un instante sáolo se puede calcular el marcado del lugar que restringe el flujo en ese momento. Puede ocurrir que un lugar de entrada de la sincronizacioán nunca sea el que limita el flujo de las transiciones de las que es entrada (es decir, sea implícito temporal). En ese caso la uánica forma de asegurar que se observa es midiáendolo directamente.

Si lo que se desea es estudiar la observabilidad para un A concreto, se puede calcular un observador lineal para cada una de las configuraciones, y ejecutarlos en paralelo. Las estimaciones que se obtengan pueden utilizarse para desechar aquellas configuraciones que es seguro que no estaán limitando el sistema. Esto puede suceder por distintas causas. Se llamarán estimaciones no factibles, si no existe solucioán del sistema lineal para estas observaciones; se denominarán incoherentes, si la configuraciáon que define las estimacioán no coincide con aquáella para la que se calculáo; finalmente son sospechosas, las que pertenecen a varias regiones. Puede que despues de eliminar estos estimadores, todavía queden otro varios válidos. Utilizaremos un residuo para elegir entre ellos una observacián. El residuo en un instante dado, r(r), es la distancia entre la salida del sistema y la salida de la estimaciáon del observador. Para medir esta distancia en los ejemplos aquí utilizados se ha utilizado la norma L1.

Veamos un ejemplo utilizando observadores lineales de Luenberger. Sea el sistema de la Figura 28 y sea la salida del sistema el marcado de p1, es decir, S = (1 0 0). La red tiene dos configuraciones, en funciáon de quáe lugar limita a t2: Z = {(pbt1), (p1,t2), (p3,ts)} y Z2 = {(p1,t1), (p2,t2), (p3,t3)}. Por cuestiones puramente estructurales, para el sistema lineal definido por Z1 sálo se puede estimar p1 y p3. Sin embargo Z2 permite estimar el marcado (estado) de todos los lugares. Sea A = ([0,9 1 1] y m0 = [3 0 0]. La evolucián del marcado se muestra en la Figura 29.

Supoángase que el estado inicial del observador 1 (asociado a Z1) es eo1 = (1 2) y que sus valores propios son ( — 12 + 2 • a/3 • i, -12 — 2 • a/3 • i). Para el observador 2 (asociado a Z2), sean e02 = (1 0 2) el estado inicial y ( — 15, —12 + 2 • a/3 • i, —12 — 2 • a/3 • i) los valores propios. Las evoluciones de las estimaciones de los observadores estáan representadas en las Figuras 30 y 31.

Figura 28. Sistema con dos configuraciones

Figura 29. Evolución del marcado del sistema de la Figura 28 con m0 = [3 0 0] y A = ([0,9 1 1].

Figura 30. Evoluciín del observador 1, (e11, e13) es la estimacion de (m[p1], m[p3]).

Inicialmente los dos observadores son vaílidos, pero el residuo del observador 2 es menor que el del observador 1 (coherente con que sea Z2 la configuracion en la que se encuentra el sistema). En t = 1,1 el sistema conmuta a Z1 .El observador 2 deja de ser coherente, ya que su estimaciín predice un valor de m[p2] > m[p1 ], en contra de la hipotesis de que se esta en la configuraciín 2.

La estimacion resultante puede mejorarse todavía utilizando informaciín de que se dispone. Por

Figura 31. Evoluciín del observador 2, (e21, e22, e23) es la estimacion de (m[p1], mp2], mp3]).

ejemplo, en la Figura 32, cuando la primera conmutacion ocurre, la estimaciín del observador 2 esta muy proxima al marcado real. Al conmutar el observador se produce un empeoramiento inicial de la estimacion. Para evitarlo, basta con actualizar el observador 1 con los valores que predice el observador 2 justo antes de conmutar. Por otra parte, cuando se utiliza el observador 1 no se dispone de estimacion de m[p2]. Sin embargo, si se dispone de una estimaciíon de todos los lugares con un error pequeño, sí que se puede realizar una simulacion a partir de la estimacion. La Figura 33 muestra los resultados de la observaciín aplicando estas sencillas mejoras.

Figura 32. Observador coherente con mínimo residuo, (omcr1, omcr2, omcr3) es la estimacion de (m[p1], m[p2], m[p3]).

5.2 Control en rógimen permanente

Sobre los modelos de RdP se pueden plantear problemas de control del mismo tipo que en control clísico. Por ejemplo, se puede estudiar cuíl es el control que hay que realizar sobre el sistema para que en régimen permanente el rendimiento

— m[p1] ■ - ■ m[p2]

- - m[p3]

2.5 3 3.5

Figura 33. Mejora del observador con inicializacion al conmutar y simulación, (obss1, obss2, obss3) es la estimacion de (mpi], m[p2], т[рз]).

sea optimo, o cuál es la política de control que permite pasar de un marcado m0 a un marcado m en tiempo mínimo.

De acuerdo con la semántica de los modelos, se supondrá que la ánica accion que se puede aplicar es reducir el flujo de disparo de transiciones. Pensando por ejemplo en sistemas de produccián, resulta bastante logico pensar en frenar las máquinas, pero resulta imposible hacer que vayan mas rapido que su velocidad maxima. En otras palabras, sálo podemos actuar "cerrando válvulas", frenando parcialmente. Como los sistemas no son monoátonos, "frenar" puede hacer que el sistema vaya máas ráapido.

Si una transicián se puede controlar (su flujo se puede reducir o incluso detener completamente), se dirá que es controlable. El flujo de una transicion controlable ti es f [ti] — u[tj], donde f [ti] es el flujo del sistema no forzado y u[ti] es la accián de control y verifica 0 < u[ti] < f [ti]. Observese que esto significa que el valor máximo de la accián de control es variable, depende del marcado.

Por ejemplo, para la red de la Figura 19 con m0 = [5 0 0 0 4], el flujo de las transiciones en régimen permanente si u = [0 0 0 0] (i.e., si el sistema está sin controlar) es f = [0,535 0,535 0,535 0,535]. Sin embargo se puede llegar a conseguir que el flujo de cada transiciáon sea 1.5625 si se usa como control u = [0,781 0 0 0]. ¡Es decir, frenando el flujo de t1 se llega a casi multiplicar por tres el flujo global, y el de t1 en particular!

En principio, se puede plantear si un subconjunto de transiciones es suficiente para controlar el sistema, o cuáal es el conjunto mánimo que permite controlarlo. Sin embargo, este tipo de problemas no se van a abordar aquá. Por simplicidad se supondraá en lo sucesivo que todas las transicio-

nes son controlables. La ecuación de estado del sistema controlado es lineal a tramos y con acción acotada asimetricamente, superiormente por una funcion del marcado e inferiormente por cero:

m = C • (Л • n(m) • m — u) 0 < u < Л • n(m) • m

Controlando todas las transiciones, los marcados alcanzables en el sistema autónomo (no temporizado) pueden alcanzarse en el sistema temporizado, salvo quizós los que tienen algun lugar sin marcas (varios). En este caso, el marcado se alcanza en el límite (es como descargar un condensador en un circuito RC: teóricamente para descargarlo totalmente hace falta infinito tiempo). Sin embargo, los marcados que es interesante alcanzar en estado estacionario son normalmente marcados estrictamente positivos (si el marcado de un lugar es 0, el flujo de sus transiciones de salida es 0, lo que significa inactividad total) y óestos se alcanzan en tiempo finito.

Propiedad 3. (Mahulea et al. 2007) Sea un sistema {N, X, mo) tal que todas las transiciones son controlables. Si m es alcanzable en el modelo autónomo, entonces m es alcanzable en tiempo finito en el modelo temporizado controlado.

Observese que bajo las condiciones del Teorema 2 m es alcanzable en el modelo autónomo si y sólo si verifica la ecuacióon fundamental.

En control de produccióon, la funcioón de beneficio a menudo depende de la produccióon, del trabajo en proceso y de la amortizacióon de inversiones. Asumiendo que la función es lineal, y que las móaquinas han sido fijadas (es decir X estóa definido), la funcióon objetivo tiene la siguiente forma: w • p — z • m — q • m0, donde p es el flujo de produccion en régimen permanente, y w es un vector que define el beneficio que produce cada producto; m es el marcado medio, y z es el coste unitario del inventario inmovilizado en proceso por unidad de tiempo; finalmente q representa depreciacióon o amortización de las inversiones iniciales sobre m0.

Sea el siguiente problema de programacioón lineal

max: w • f — z • m — q • m0 s.a. C • f = 0, f > 0 (10a)

m = m0 + C • a, m, a > 0 (10b)

f [ti] = Л [ti]

m[pj] Pre[p¿ ,ti]

— v[Pj ^ib

ypj e 'ti, v[pj,ti] > 0

donde v[pj,ti] son variables de holgura. Las ecuaciones representan: (a) f es un T-semiflujo; (b) necesario para que m sea alcanzable (ecuacióon fundamental); (c) regla de disparo de las transiciones controladas con semaóntica de infinitos servidores.

Teorema 14. (Mahulea et al. 2007) Sea un sistema (N, A, m0) y (f, m, v) una soluciín del problema de programacion lineal (10). Para cada transicion ti, sea u[ti] = mín v[pj,ti] su entrada de

control en estado estacionario para m. (Si ^tj\ = 1 la variable de holgura coincide con la entrada de control.) Si para cada u[ti] > 0 la transicion ti es controlable, entonces u es un control íoptimo en estado estacionario.

Propiedad 4. (Mahulea et al. 2006a) Si el periodo de muestreo verifica que

yp e P,J2 A[tj]e < 1, (12)

tj Ep»

el conjunto de marcados alcanzables en el sistema discretizado coincide con los marcados alcanzables en el sistema continuo temporizado.

Observese que se trata de un problema de progra-maciín lineal, y por lo tanto tiene solucion con complejidad polinomial.

5.3 Control del sistema dinlamico

Una aproximación MPC. El sistema de (9) es lineal a tramos y tiene una restriccioín sobre la entrada de control u que depende del estado del sistema m. Sin embargo, definiendo w = f — u, se puede reescribir como un sistema lineal, eso sí, con restricciones dinímicas adicionales sobre las entradas de control:

rri(r) = C • w(t) w(t )

m(T) w (t) > 0

donde G = [A — r] con A (q x n) y r (q x m) y q = J2t£T |*t|, es decir el nímero de arcos "pre" en la red. Dado un arco "pre" (pi,tj) la

fila correspondiente de A es el vector

mientras que la fila correspondiente de r es

Pre[pi,tj

En (Mahulea et al. 2006a) se ha planteado el problema de calcular la entrada que lleva al sistema desde un marcado inicial hasta un marcado final, optimizando cierta funcioín de coste para sistemas modelados con redes de Petri continuas con semíntica de infinitos servidores. Se han investigado dos soluciones, basadas en "Model Predictive Control" (MPC) (Bemporad et al. 2000) implícito y explícito.

Por simplicidad de calculo, el problema se plantea sobre el sistema discretizado en el tiempo, sin embargo esto plantea una dificultad: la elecciín del periodo de muestreo. El muestreo debería preservar la informacion importante del modelo original (en particular la no negatividad de los marcados).

En la praíctica, la frecuencia de muestreo puede tener que ser mayor si se necesita reconstruir las senñales (como en el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon), pero ese es un tema que no se abordaría aquí.

Si se pretende minimizar un índice de rendimiento cuadratico estandar que mida la distancia desde el estado actual (marcado y entrada) al estado que se desea alcanzar:

J (m(k),N) =

(m(k + N) — mf)' • Z • (m(k + N) — mf)+

[(m(k + j) — mf)' • Q • (m(k + j) — mf)+

(w(k + j) — wf)' • R • (w(k + j) — wf)] (13)

donde Z, Q y R han de ser matrices definidas positivas.

Anñadiendo las restricciones del sistema, en cada paso el problema que hay que resolver es:

min J(m(k),N) s.a. : m(k + j + 1) = w(k + j) m(k + j)

w(k + j) > 0, para j = 0, ••• ,N — 1

m(k + j) + e • Cw(k + j), 0,

El ejemplo (sistema no monítono) sobre el que se va a trabajar, es el representado en la Figura 26, siendo la velocidad de las transiciones A = [111]. Supíngase que el objetivo es llevar al sistema desde el estado inicial m0 = [3313] a un estado final mf = [2,50 3,25 1,25 2,50] con wf = [1,25 1,25 1,25]. Observese que aunque el sistema tiene 4 lugares, es en realidad un sistema de orden 2 debido a la existencia de 2 P-semiflujos: m[p1] + m[p2] + m[p3] = 7 y m[p1] + 4m[p3 + m[p4] = 10. Sean R = 0,01I, Q = I y Z = 100I.

El Cuadro 3 resume los resultados numíericos obtenidos en el caso de MPC implícito con periodos de muestreo e = 0,1, 0,05, 0,01, todos satisfaciendo la desigualdad (12), y distintos valores de N. La columna J representa el coste

J(m0, e) =

e • £[(m(j) — mf)' • Q • (m(j) — mf)+

(w(j) — wf Y • R • (w(j) — wf)]

Se indica el tiempo medio en segundos necesario para resolver cada paso en un Intel Pentium 4 a 3.20 GHz.

Se observa que el coste J es prácticamente el mismo para N = 10 y N = 20, es decir, no es necesario incrementar mucho el horizonte. Por otra parte, aunque para e = 0,1 todas las soluciones se pueden implementar en este ordenador, esto no es cierto para valores menores de e, ya que el tiempo necesario para resolver el problema en cada paso es mayor que el periodo de muestreo si N es grande.

Las simulaciones se han realizado tambien para el planteamiento del MPC explícito. La particion del espacio de estados que se obtiene para e = 0,1 y N = 10 se ha representado en la Figura 34. En el Cuadro 3, las columnas 4, 8 y 12 resumen el nímero de regiones politopos nP.

Figura 34. Particion del espacio de estados para el sistema de la Figura 26 con N = 1 y e = 0,05.

En sistemas generales, no hay garantía de que el problema a resolver sea factible en todo momento, o en terminos de MPC explícito, no hay garantía de que la particioín resultante incluya todos los estados factibles. Sin embargo, debido a la forma particular de las restricciones en el caso de las redes de Petri continuas se puede demostrar que la factibilidad se mantiene (Mahulea et al. 2006a).

Aproximación baja-alta ganancia. En (Xu

et al. 2006) se ha estudiado el seguimiento de sistemas modelados con redes Sin Sincronizacioín utilizando tecnicas "baja-y-alta ganancia" (Saberi et al. 1996). En la actualidad se termina su exten-siín a redes cualesquiera.

Figura 35. Red Sin Sincronizacioín con A = [112 1 2].

El objetivo es conseguir que el marcado y la accion converjan a los valores deseados. Aunque existe abundante literatura sobre el uso de este tipo de tíecnicas (Lien 1998, Turner et al. 2000, Chen et al. 2003), una hipotesis habitual es que los límites superiores e inferiores de las acciones son constantes positivas y negativas. Sin embargo, en los sistemas modelados con redes de Petri, la acciín no puede ser negativa, y la cota superior no es constante, sino que depende del estado, como se ha visto.

En primer lugar, se utiliza la teoría LQ para disenar un controlador de "baja-ganancia", de manera que se satisfagan las restricciones. Debido a las restricciones sobre la accion, no se puede garantizar en general la convergencia global asintotica para referencias en escalín. Para poder asegurar la convergencia, evitando al mismo tiempo cambios bruscos en la trayectoria, se ha optado por utilizar como referencia un primer escaloín, seguido de una rampa hasta llegar al valor deseado. Así, el problema se divide en dos partes, primero la generaciín de la trayectoria, y segundo su seguimiento.

A continuacioín, se anñade una parte de "alta-ganancia" para utilizar mejor las acciones disponibles, y hacer que la convergencia sea mís rápida. Se ha demostrado la convergencia asintotica global del algoritmo de control para redes Sin Sincronizacion conservativas y fuertemente conexas.

Por ejemplo, sea la red de la Figura 35 con marcado inicial m0 = [2 3 5 6 9] y marcado objetivo md = [3 5 2 7 8]. Para maximizar el flujo en el estado final, la accion de control objetivo es ud = [1, 3 0 5 6].

La Figura 36 ilustra la convergencia de los marcados con el control disenñado, y la Figura 37 muestra las entradas de control. Observese que la accion calculada siempre respeta las restricciones.

Tabla 3. Resultados del control MPC implícito para el sistema de la Figura 26

© = 0,1 © = 0,05 © = 0,01

N J comput. time [sec] np N J comput. time [sec] np N J comput. time [sec] np

1 0,3409 0,0363 26 1 0,2359 0,0364 26 1 0,0787 0,0372 12

2 0,1794 0,0384 - 2 0,1795 0,0380 98 2 0,0787 0,0380 41

10 0,0851 0,0469 888 10 0,0822 0,0468 1436 10 0,0784 0,0449 651

20 0,0846 0,0614 2635 20 0,0810 0,0616 3202 20 0,0782 0,0562 2489

/ " " mr,2 — m2

0 12 3

/ " " mr,4 — m4

0 12 3

Figura 36. Convergencia de los marcados con el control definido.

........... — U1 "

\ — U3 ■■■■ Va

......... — U5 ■■■■ Vs '

/1 0 1 — U2 .... 4>22m2 2 3

A- — U4 .... tMm4

Figura 37. Las señales de control que se obtienen, y las cotas definidas por el marcado en cada instante.

En la actualidad la aproximación se ha generalizado para redes con sincronizaciones, al tiempo que se sabe cómo planificar trayectorias poligonales que reduzcan el tiempo para llegar a md. En el futuro se abordara la comparación entre las tecnicas de "baja-y-alta ganancia" y MPC.

6. TOMANDO DISTANCIA

Una comparacion recapitulativa de lo aquí presentado con la aproximacioón hoy maós clóasica basada en los Diagramas de Forrester (DdF) permite situar nuestra contribucioón basada en redes de Petri.

El primer punto a evocar es una coincidencia epistemológica importante: ambas clases de formalismos son singularmente apropiadas para modelar sistemas de producción/consumo; de donde resulta "natural" que sean bipartidos, alternaóndose elementos de almacenamiento (depóositos óo lugares) con los de establecimiento de flujos (valvulas óo transiciones).

A partir de lo dicho, las diferencias son sustanciales. Por un lado los DdF definen "directamente" modelos fluidificados (o continuos) y temporizados, separando flujos de materia y de control que, sea dicho, se expresan con funciones de una generalidad absoluta. Con las redes de Petri se parte de una indiferenciacióon entre los flujos de materia y control, y funciones de flujo relativamente simples

(las que corresponden a las semíanticas mencionadas de finitos e infinitos servidores); recientemente se ha demostrado que la diferenciaciín de los flujos de control y materia en las RdP continuas no anñade potencia descriptiva, aunque a veces pueda facilitar la "lectura" de algunos modelos (Recalde et al. 2007).

En el marco petrista es posible la existencia de modelos (siempre "visiones" de las realidades que se consideran) no temporizados, denominados autónomos, lo que permite su consideracion bajo hipotesis de comportamiento no determinista, entendido este en su mas amplio sentido, mís allí de asumir comportamientos estocísticos: todo comportamiento posible, por inverosímil que pueda parecer, se puede producir. Esta hipotesis, frecuente en informítica, sobre todo en sistemas distribuidos, es una posicion "de humildad" frente a la impredictibilidad de los comportamientos reales en sistemas complejos. Por otro lado, en el marco del paradigma de RdP se pueden —al menos en parte— contrastar propiedades de modelos fluidificados frente a las "visiones" (de eventos) discretas. Así, merece la pena recordar que los modelos clísicos de Volterra-Lotka en dinímica de poblaciones evolucionan segín una írbita, cuando se sabe que con certeza, bajo hipítesis estocasticas generales, que los sistemas discretos subyacentes tienden a cero depredadores e infinitas presas, o cero presas y, por consiguiente, tambien cero depredadores (Nicolis y Prigogine 1971). En este caso, la RdP autínoma (discreta o continua) es modelo con-bloqueos y no-limitado, mientras que la relajacion continua y temporizada es sin-bloqueos y sí-limitada. La aproximacion de Forrester se limita al modelo fluidificado y temporizado, mientras que la aquí adoptada tiene siempre otros posibles puntos de vista en el mismo paradigma de modelado. Los formalismos de red continua y temporizada, bajo las semanticas de finitos e infinitos servidores son tecnicamente híbridos (sistemas lineales conmutados); ademas la primera de estas semínticas corresponde a sistemas con-ceptualmente híbridos (los "pocos" servidores son considerados de forma discreta, mientras que los "muchos" clientes son fluidificados). Si se adopta la semantica con productos de poblaciones se obtienen sistemas no-lineales que pueden simular fenomenos caoticos. La semantica de infinitos servidores conduce a modelos que permiten simular míquinas de Turing, con lo que ello acarrea de indecidibilidades. Lo aquí presentado representa la urdimbre de la aproximaciín, donde hay que reconocer la existencia de tres tramas complementarias: la vision autínoma (no-determinista) de los sistemas, de raíz informatica; la evaluaciín de prestaciones de los modelos temporizados no forzados, que releva en gran parte de la investiga-ciín de operaciones; y las cuestiones relativas a la

observaciín y control, propias de la teoría de control. En todos los casos, nuestro interés bísico es la comprensiín de las propiedades de los sistemas, para lo que el enfasis se hace en el estudio de las relaciones estructura-comportamiento, mís que la exploracion por simulaciín de casos particulares. En otros términos, nuestra aproximacion es epis-temolígicamente proxima, pero tecnicamente aín muy distante, de la "no-ortodoxa" en Dinímica de Sistemas "a la Forrester" de (Mosekilde et al. 1988), al estudiar la dinímica de sistemas no lineales.

Ante la posible impresiín de encontrarnos frente a una teoría bastante "hecha", hemos de reconocer que, "el camino se hace al andar" y aun estamos muy lejos de lo deseado. Valga la enumeracion de algunos problemas abiertos para transmitir esa certeza, al tiempo que esperamos se consideren las evocaciones que siguen como una invitaciín a trabajar en estas líneas, con las míltiples variantes que evidentemente se pueden establecer:

■ Dado un sistema (de eventos) discreto concreto. La descripciín con RdP, ¿es "razonablemente" fluidificable?

■ ¿Que política de servicio es la mas adecuada: semantica de finitos o de infinitos servidores? ¿Otra semantica alternativa?

■ Dada una semantica (temporizada) de servicios: ¿existe un régimen permanente? (como se ha dicho, este problema es en general in-decidible para semíntica de infinitos servidores (Haddad et al. 2006, Recalde et al. 2007).

■ Se dispone de resultados razonables para decidir la alcanzabilidad en redes autínomas (no temporizadas). Cuando el modelo se temporiza, la cuestiín se torna mís peliaguda: ¿Címo mejorar la caracterizaciín de los marcados alcanzables en régimen permanente?

■ Incluso si para problemas de diseño fuera-de-línea existen resultados interesantes, las cuestiones de control dinamico requieren de esfuerzos adicionales, particularmente en el entrelazamiento de observaciín y control.

■ En sistemas lineales conmutados, se sabe que varios sistemas estables (con valores propios con parte real negativa) pueden dar un comportamiento inestable. Sin haber probado su imposibilidad en el caso de redes con semantica de infinitos servidores, no hemos sabido encontrar un ejemplo. Hace falta, pues una demostraciín o un contraejemplo que tenga sentido como sistema de produccion/consumo.

■ Asumiendo la existencia de una ley para controlar eficientemente el sistema continuo, y si ello fuese necesario, ¿címo volver al ambito de los modelos discretos?

AGRADECIMIENTOS

Han contribuido con sus tesis doctorales a esta línea de investigación Jorge JUlvez (actualmente en la UPC, Barcelona) y Cristian Mahulea. Ademas, han participado en el desarrollo de puntos precisos de la presente aproximacion: Alessan-dro Giua y Carla Seatzu (U. de Cagliari), Serge Haddad (U. de Paris IX), Emilio Jimenez (U. de La Rioja), Antonio Ramírez Trevmo (Cinvestav, Guadalajara, MX), Jing Xu (U. de Singapur) y Enrique Teruel. Por razones de espacio, en la necesaria selección de temas realizada no se mencionan las importantes colaboraciones con Alberto Bem-porad (U. de Siena) y Rene Boel (U. de Gante). A todos, nuestra gratitud y afecto.

REFERENCIAS

Ajmone Marsan, M., G. Balbo, G. Conte, S. Dona-telli y G. Franceschinis (1995). Modelling with Generalized Stochastic Petri Nets. Wiley. Alla, H. y R. David (1998). Continuous y hybrid Petri nets. Journal of Circuits, Systems, and Computers 8(1), 159-188. Bemporad, A., F.D. Torrisi y M. Morari (2000). Performance analysis of piecewise linear systems and model predictive control systems. In: Proc. of the 39th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, Australia. pp. 4957-4962. Brams, G. W. (1983). Réseaux de Petri: Théorie

et Pratique. Masson. Champagnat, R., P. Esteban, H. Pingaud y R. Valette (1998). Modeling and simulation of a hybrid system through Pr/Tr PN-DAE model. In: Proc. of ADPM'98. Reims, France. pp. 131-137. Champagnat, R., R. Valette, J.C. Hochon y H. Pingaud (2001). Modeling, simulation and analysis of batch production systems. Discrete Event Dynamic Systems: Theory and Application 11(1/2), 119-136. Chen, B.M., T.H. Lee, K. Peng y V. Venkatara-manan (2003). Composite nonlinear feedback control for linear systems with input saturation: theory and an application. IEEE Trans. on Automatic Control 48(3), 427-439. Chen, H. y D.D. Yao (2001). Fundamentals of Queueing Networks. Performance, Asympto-tics and Optimization. Vol. 46 of Applications of Mathematics. Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer. David, R. y H. Alla (1992). Petri Nets and Graf-

cet. Prentice-Hall. David, R. y H. Alla (2004). Discrete, Continuous,

and Hybrid Petri Nets. Springer-Verlag. Demongodin, I. y N. T. Koussoulas (1998). Differential Petri nets: Representing continuous systems in a discrete-event world. IEEE

Trans. on Automatic Control (Special Issue) 43(4), 573-579.

Dicesare, F., G. Harhalakis, J. M. Proth, M. Silva y F. B. Vernadat (1993). Practice of Petri Nets in Manufacturing. Chapman & Hall.

Haddad, S., L. Recalde y M. Silva (2006). On the computational power of Timed Differentiable Petri nets. In: Formal Modeling and Analysis of Timed Systems, 4th Int. Conf. FORMATS 2006 (E. Asarin y P. Bouyer, Eds.). Vol. 4202 of LNCS. Springer. Paris. pp. 230-244.

Horton, G., V.G. Kulkarni, D.M. Nicol y K.S. Trivedi (1998). Fluid stochastic Petri nets: Theory, applications, and solution techniques. European Journal of Operational Research 105, 184-201.

Jensen, K. (1997). Coloured Petri Nets: Basic Concepts, Analysis Methods, and Practical Use. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Springer.

Jimenez, E., J. Julvez, L. Recalde y M. Silva (2004). Relaxed continuous views of discrete event systems: considerations in Forrester diagrams and Petri nets. In: Proc. of the Int. Conf. on Systems, Man and Cybernetics (SMC 2004). The Hague, The Netherlands. pp. 4897-4904.

Julvez, J., E. Jimenez, L. Recalde y M. Silva (2004). On observability in timed continuous Petri net systems. In: Proc. of the 1st Int. Conf. on the Quantitative Evaluation of Systems (QEST 2004) (J.P. Katoen G. Franceschinis and M. Woodside, Eds.). IEEE Computer Society Press. Enschede, The Netherlands. pp. 60-69.

Julvez, J., L. Recalde y M. Silva (2003). On reachability in autonomous continuous Petri net systems. In: Proc. of the 24th Int. Conf. on Application and Theory of Petri Nets (ICATPN 2003) (W. van der Aalst y E. Best, Eds.). Vol. 2679. pp. 221-240. Springer. Eindhoven, The Netherlands.

Julvez, J., L. Recalde y M. Silva (2005). Steady-state performance evaluation of continuous mono-t-semiflow Petri nets. Automatical 41(4), 605-616.

Julvez, J., L. Recalde y M. Silva (2006). Deadlock-freeness analysis of continuous mono-t-semiflow petri nets. IEEE Trans. on Automatic Control 51(9), 1472-1481.

Lien, Y. E. (1998). Toward improvement of tracking performance - nonlinear feedback for linear systems. International Journal of Control 70(1), 1-11.

Mahulea, C., A. Giua, L. Recalde, C. Seatzu y M. Silva (2006a). On sampling continuous timed Petri nets: reachability "equivalence" under infinite servers semantics. In: 2nd IFAC Conference on Analysis and Design of Hybrid Systems, ADHS06. Alghero, Italy. pp. 37-43.

Mahulea, C., A. Ramirez-Trevino, L. Recalde y M. Silva (2007). Steady state control reference and token conservation laws in continuous Petri net systems. IEEE Trans. on Automation Science and Engineering. Aceptado para su publicación.

Mahulea, C., L. Recalde y M. Silva (2006&). On performance monotonicity and basic servers semantics of continuous Petri nets. In: 8th Int. Workshop on Discrete Event Systems WODESO6. IEEE Computer Society Press. Ann Arbor, USA. pp. 345-351.

Mandelbau, A. y H. Chen (1991). Discrete flow networks: Bottleneck analysis and fluid approximations. Mathematical Operations Research 16, 408-446.

Molloy, M. K. (1982). Performance analysis using stochastic Petri nets. IEEE Trans. on Computers 31(9), 913-917.

Mosekilde, E., J. Aracil y P.M. Allen (1988). Instabilities and chaos in nonlinear dynamic systems. Systems Dynamics Review 4(1-2), 1455.

Murty, K. G. (1983). Linear Programming. Wiley and Sons.

Nicolis, G. y I. Prigogine (1971). Fluctuations in nonequilibrium systems. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 68, 2102-2107.

Peterson, J. L. (1981). Petri Net Theory and the Modeling of Systems. Prentice-Hall.

Recalde, L. y M. Silva (2001). Petri Nets fluidifi-cation revisited: Semantics and steady state. European Journal of Automation APII-JESA 35(4), 435-449.

Recalde, L., E. Teruel y M. Silva (1999). Autonomous continuous P/T systems. In: Application and Theory of Petri Nets 1999 (S. Do-natelli y J. Kleijn, Eds.). Vol. 1639 of LNCS. Springer. pp. 107-126.

Recalde, L., S. Haddad y M. Silva (2007). Continuous Petri nets: Expressive power and decidability issues. Research report. Dep. Informática e Ingeniería de Sistemas, Universidad de Zaragoza. Maráa de Luna, 1, 50018 Zaragoza, Spain.

Saberi, A., Z. Lin y A.R. Teel (1996). Control of linear system with saturating actuators. IEEE Trans. on Automatic Control 41(3), 368-378.

Silva, M. (1993). Introducing Petri nets. pp. 1-62. in Practice of Petri Nets in Manufacturing (Dicesare et al. 1993).

Silva, M. (2002). Las Redes de Petri: en la Automática y la Informática. AC/Thomson.

Silva, M. (2006a). Discrete event systems and life cycle: A Petri nets-based view. In: Procs. of the Int. Mediterranean Multiconference, I3M2006 (A. Bruzzone, A. Guasch, M. A. Piera y J. Rozenblit, Eds.). Barcelona. pp. 512.

Silva, M. (2006b). Terminologia. Revista Iberoamericana de Automatica e Informatica Industrial 3(2), 122-123.

Silva, M. y E. Teruel (1996). A systems theory perspective of discrete event dynamic systems: The Petri net paradigm. In: Symposium on Discrete Events and Manufacturing Systems. CESA '96 IMACS Multiconference (P. Borne, J. C. Gentina, E. Craye y S. El Khattabi, Eds.). Lille, France. pp. 1-12.

Silva, M. y E. Teruel (1998). DEDS along their life-cycle: interpreted extension of Petri nets. In: IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics (SMC'98). IEEE. SAn Diego, USA.

Silva, M. y L. Recalde (2002). Petri nets and integrality relaxations: A view of continuous Petri nets. IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics 32(4), 314-327.

Silva, M. y L. Recalde (2003). Unforced continuous Petri nets and positive systems. In: Positive Systems. Proceedings of the First Mul-tidisciplinary International Symposium on Positive Systems: Theory and Applications (POSTA 2003) (Luca Benvenuti, Alberto De Santis and Lorenzo Farina, Eds.). Vol. 294 of LNCIS. Springer. Rome, Italy. pp. 55-62.

Silva, M. y L. Recalde (2004). On fluidification of Petri net models: from discrete to hybrid and continuous models. Annual Reviews in Control 28(2), 253-266.

Silva, M., E. Teruel y J. M. Colom (1998). Linear algebraic and linear programming techniques for the analysis of net systems. In: Lectures in Petri Nets. I: Basic Models (G. Rozenberg y W. Reisig, Eds.). Vol. 1491 of LNCS. pp. 309373. Springer.

Sussmann, H. J. y J. C. Willems (1997). 300 years of optimal control: from the brachystochrone to the maximum principle. IEEE Control Systems Magazine 17(3), 32-44.

Turner, M.C., I. Postlethwaite y D.J. Walker (2000). Non-linear tracking control for multivariable constrained input linear systems. International Journal of Control 73(12), 11601172.

Valk, R. y Girault, C., Eds. (2003). Petri Nets for Systems Engineering. A Guide to Modeling, Verification,, and Applications. Springer.

Xu, J., L. Recalde y M. Silva (2006). Tracking control of join-free timed continuous Petri net systems. In: 2nd IFAC Conf. on Analysis and Design of Hybrid Systems, ADHS06. Alghero, Italy. pp. 30-36.